均勻設(shè)計在多目標抽樣調(diào)查中的應(yīng)用

馬金萍，郜珍

（西安財經(jīng)學院統(tǒng)計學院，西安710100）

1　問題的提出

20世紀70年代末，方開泰與王元合作創(chuàng)立了均勻設(shè)計（簡記UD）試驗法。均勻設(shè)計是數(shù)論中的一致分布理論與多元統(tǒng)計相結(jié)合，屬于偽蒙特卡羅方法的范疇。它可保證每個因素的每個水平僅做一次試驗，試驗次數(shù)比全面試驗及正交設(shè)計明顯減少，使均勻設(shè)計特別適合多因素多水平的試驗。均勻設(shè)計表記為Un(qs)，其中U表示均勻設(shè)計，n表示做n次試驗，q表示每個因素有q個水平，s表示該表有s列。

對于任意一個正整數(shù)m，定義：

其中1≤nv≤n-1,v=1,2,…,m。

如取式（1）中的n1=1,nv=av,v=2,…,m（其中1＜a＜n為本原根），則記式（1）的H(·)為：

王元、方開泰提出的均勻設(shè)計點集的選取步驟為：

第一步：在式（1）中取m=d，求使此時的式（1）達到最小的向量(h1,h2,…,hd)（稱為生成向量）；

第二步：令：則點集φn={ak=(ak1,ak2,…,akd),k=1,2,…,n}稱為Cd中的均勻設(shè)計點集。

在此通過實例應(yīng)用均勻設(shè)計進行多目標抽樣調(diào)查方案設(shè)計，分析西安市居民吸煙的影響因素。

2　實例分析

我國是世界上最大的煙草生產(chǎn)國和消費國。根據(jù)國家衛(wèi)生計生委的數(shù)據(jù)，全國吸煙人數(shù)超過3億，15歲以上的人群吸煙率為28.1%。提高煙草稅凸現(xiàn)出我國以重稅控煙的決心。掌握國民吸煙的基本情況，對加強控煙政策具有重要意義。

本次調(diào)查數(shù)據(jù)來源于西安市統(tǒng)計研究院，以西安市民吸煙同志為總體，采用隨機抽樣的方法選取抽樣對象共3400人，分析西安市民吸煙同志每日吸煙量與單位、月收入、年齡之間的關(guān)系。單位性質(zhì)在調(diào)查表里設(shè)計為事業(yè)單位、政府機關(guān)、國有企業(yè)、私營企業(yè)、外資企業(yè)、其他六大類；月收入為分段數(shù)據(jù)，表現(xiàn)為1500元以下、1500～3000元、3000～5000元、5000～10000元、10000元以上五個數(shù)據(jù)段；煙齡亦為分段數(shù)據(jù)，表現(xiàn)為4～10年、11～20年、20年以上。下面利用均勻設(shè)計的方法來進行研究。

2．1　表頭設(shè)計

由于本文調(diào)查的數(shù)據(jù)中，工作單位性質(zhì)類型是定性變量，其他為分段數(shù)據(jù)。因此對分段數(shù)據(jù)，可以取其中位數(shù)進行研究。具體各因子水平如下：

自變量水平

A：單位性質(zhì)1—事業(yè)單位，2—政府機關(guān)，3—國有企業(yè)，4—私營企業(yè)，5—外資企業(yè)，6—其他；

B：月收入1265—≤1500元，2250—1500～3000元，4000—3000～5000元，7500—5000～10000元，20000—＞10000元；

C：煙齡7—4～10年，15—11～20年，27—＞20年。因變量水平

Y：每日吸煙量3—≤5支，8—6～10支，15—11～20支，24—＞20支。

其中月收入中≤1500元用1265做水平，＞10000元用20000做水平是根據(jù)西安市當年的收入水平作參考而擬定的；煙齡4～10年用7做水平，＞20年用27做水平是數(shù)據(jù)調(diào)查組在調(diào)查過程中該段數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。

由于沒有合適的均勻設(shè)計表可供使用，可用擬水平進行構(gòu)造。由文獻[3]附錄可知U31(3130)及其使用表，從而可得U30(303)，根據(jù)使用表的推薦選擇1,9,22列。A,B,C因素實際沒有30個水平，但從試驗次數(shù)考慮，需要把因素A在一列中的{1,2,3,4,5}以1擬，{6,7,8,9,10}以2擬，{11,12,13,14,15}以3擬，{16,17,18,19,20}以4擬，{21,22,23,24,25}以5擬，{26,27,28,29,30}以6擬。

因素B在一列中的{1,2,3,4,5,6}以1擬，{7,8,9,10,11,12}以2擬，{13,14,15,16,17,18}以3擬，{19,20,21,22,23,24}以4擬，{25,26,27,28,29,30}以5擬。

因素C在一列中的{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}以1擬，{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}以2擬，{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}以3擬。從而構(gòu)造了混合水平的設(shè)計表U30(61×51×31)如表1所示。

表1　U30(61×51×31)與抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)

由表1可知，每個組合的個案數(shù)差異較大。根據(jù)個案數(shù)特點，抽查的數(shù)據(jù)中個案數(shù)在30以內(nèi)的取其平均數(shù)，個案數(shù)大于30的，運用等距抽樣方式，確定樣本距離為30，從1～N相繼編號的樣本中抽取第30個單位，接著取第60，90個單位，……,直至抽完。

2．2　模型的建立及分析

對上述的樣本，建立模型進行數(shù)據(jù)分析。依經(jīng)驗考慮多元線性回歸模型y=b0+b1x1+b2x2+...+bmxm+ε,其中Eε=0,Dε=02；b0,b1,...,bm,ε是未知參數(shù)，x1,x2,…,xm是自變量，y是因變量。

在實際問題中，變量間的關(guān)系可能是線性的，也可能是非線性的。由于月收入和煙齡兩因素的數(shù)據(jù)特點，在線性回歸中為了得到更規(guī)范的結(jié)果，將表1中各因素的各水平對每日吸煙量進行多元逐步回歸分析，在SPSS中進行曲線估計，最終考慮對數(shù)曲線模型y=b0+b1x1+b2lnx2+b3lnx3，其中b0,b1,b2,b3是未知參數(shù)，x1,x2,x3分別是A,B,C各因子，y是因變量Y，得到如下結(jié)果。

表2　方差分析

逐步回歸之后，對此時的回歸方程進行整體檢驗，由表2中可以看出，F(xiàn)統(tǒng)計量的觀測值為196.245，即在顯著性水平為0.05的情形下，認為y與x1，lnx2，lnx3具有線性關(guān)系。

表3　回歸系數(shù)表

表3給出了回歸參數(shù)的估計值及其假設(shè)檢驗，同時可得到多元回歸方程為：

y=-10.254-0.116x1+1.712lnx2+3.636lnx3

從其t統(tǒng)計量對應(yīng)的相伴概率均遠小于0.05可以判定，所有模型的回歸系數(shù)都是顯著的。從數(shù)據(jù)可見單位性質(zhì)對每日吸煙量影響較小，而煙齡對每日吸煙量影響最大，其次是月收入。所以，控煙應(yīng)從青少年時期開始，降低將來吸煙的風險。

3　結(jié)論

應(yīng)用均勻設(shè)計解決多因素多水平問題是較好的方法，利用均勻設(shè)計的思想來設(shè)計抽樣調(diào)查方案是一種有效可行的方法，樣本滿足“均勻分散”，減少了試驗次數(shù)，節(jié)約了時間和費用，同時又能獲得對試驗對象較全面的研究。

參考文獻：

[1]王元,方開泰.關(guān)于均勻分布與試驗設(shè)計(數(shù)論方法)[J].科學通報，1981,(26).

[2]方開泰.均勻設(shè)計[J].戰(zhàn)術(shù)導彈技術(shù),1994,(2).

[3]方開泰.均勻設(shè)計與均勻設(shè)計表[M].北京：科學出版社，1994.

[4]覃紅.混水平均勻設(shè)計的構(gòu)造[J].應(yīng)用數(shù)學學報,2005,28(4).

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[6]劉永才.均勻設(shè)計及其應(yīng)用[J].戰(zhàn)術(shù)導彈技術(shù)，2002，(1).