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    立體幾何復(fù)習(xí)要點例析*

    2018-04-04 03:00:06三山高級中學(xué)浙江慈溪315300慈溪市教育局教研室浙江慈溪315300
    關(guān)鍵詞:平面角二面角三視圖

    ●  (三山高級中學(xué),浙江 慈溪 315300) ●  (慈溪市教育局教研室,浙江 慈溪 315300)

    1 知識內(nèi)容

    《浙江考試》2018年第1期公布了“2018年浙江省普通高考考試說明(數(shù)學(xué))”,明確2018年高考必考科目數(shù)學(xué)考試說明內(nèi)容與2017年相同.關(guān)于立體幾何與空間向量部分,建議關(guān)注以下內(nèi)容與要求:

    1)理解柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征,會計算柱、錐、臺、球的表面積和體積;

    2)掌握三視圖所表示的空間幾何體,會用斜二測法畫出它們的直觀圖;

    3)理解空間點、直線、平面位置關(guān)系的定義,掌握4個公理、1個定理;

    4)理解空間線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理;

    5)理解直線與平面所成角的概念,了解二面角及其平面角的概念;

    6)了解空間直角坐標(biāo)系,會用空間直角坐標(biāo)表示點的位置,了解空間距離、夾角公式、平面法向量、方向向量;

    7)了解求兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的向量求法.

    2 命題分析

    回顧近4年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題,有關(guān)立體幾何與空間向量的試題分布如下:

    2014年考查了3道題共24分:其中一道選擇題5分(考查三視圖求表面積)、一道填空題4分(考查求線面角)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角);

    2015年考查了4道題共29分:其中兩道選擇題均為5分(分別考查三視圖求體積、翻折問題和二面角的平面角)、一道填空題4分(考查線線角)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角);

    2016年考查了4道題共30分:其中一道選擇題5分(考查位置關(guān)系)、兩道填空題分別為6分(考查三視圖求體積和表面積)和4分(考查四面體的體積最大值)、一道解答題15分(考查線面垂直和二面角的平面角);

    2017年考查了3道題共23分:其中兩道選擇題均為4分(分別考查三視圖求體積、二面角的平面角大小比較)、一道解答題15分(考查線面平行和線面角).

    2018年預(yù)測會有3~4個試題,分值在25分左右:選擇題、填空題主要涉及空間點、直線、平面位置關(guān)系的判斷,結(jié)合三視圖求體積、表面積(可結(jié)合數(shù)學(xué)文化),簡單的空間角計算(兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的平面角),翻折問題,動態(tài)軌跡問題;解答題主要考查在空間幾何體(特別是組合體)中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(平行和垂直)及空間角(主要是線面角)的計算.

    3 典例剖析

    考點1空間點、直線、平面位置關(guān)系的判斷.

    例11)設(shè)l為直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是

    ()

    A.若α⊥β,l∥α,則l⊥β

    B.若l∥α,l∥β,則α∥β

    C.若l⊥α,l∥β,則α∥β

    D.若l⊥α,l⊥β,則α∥β

    (浙江省湖州、衢州、麗水三地市2018年1月高三數(shù)學(xué)期末試題第3題)

    2)已知α,β是兩個不同的平面,直線l?α,則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”的

    ()

    A.充分不必要條件

    B.必要不充分條件

    C.充分必要條件

    D.既不充分也不必要條件

    (浙江省嵊州市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第5題)

    分析1)答案為D.選項A中l(wèi)⊥β,l?β,l∥β,l與β斜交均有可能;選項B中α∥β,α與β相交均有可能;選項C中α∥β錯誤,應(yīng)為α⊥β;選項D正確.也可以直接用結(jié)論“和同一直線垂直的兩個不重合平面平行”得到.

    評注空間點、直線、平面的位置關(guān)系考查是命題者比較關(guān)注的一個方向,往往以選擇題形式出現(xiàn),若干個命題組合進(jìn)行真假判斷或者結(jié)合充要條件考查,屬于容易題,可以“證明結(jié)論正確”與“舉反例否定(畫草圖排除)”相結(jié)合來解決.復(fù)習(xí)沖刺查漏補(bǔ)缺時要關(guān)注概念、定理的準(zhǔn)確性,比如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,記憶要求清楚,特別是條件的增刪,會影響結(jié)論的正確性.

    考點2三視圖與體積、表面積.

    例21)《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”,已知某“塹堵”的三視圖如圖1所示,俯視圖中虛線平分矩形的面積,則該“塹堵”的側(cè)面積為

    ()

    (浙江省上虞市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第5題)

    圖1   圖2

    2)某幾何體的三視圖如圖2所示(單位:cm),則該幾何體的表面積(單位:cm2)是

    ()

    (浙江省嘉興市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第6題)

    分析1)根據(jù)題意,結(jié)合三視圖可以判斷該“塹堵”是直三棱柱(如圖3),△ABC的周長為

    故選C.

    圖3   圖4

    2)根據(jù)三視圖可以判斷該幾何體由上、下兩部分組成(如圖4),其中上半部分為正方體,下半部分為正四棱臺,正方體中5個面的面積之和為

    S1=5×(2×2)=20,

    正四棱臺的下底面面積為S2=16 cm2,正四棱臺的側(cè)面積為

    因此,該幾何體的表面積為

    故選B.

    評注根據(jù)三視圖求體積、表面積每年必考,以選擇題或者填空題的形式考查,命題方向可以以數(shù)學(xué)文化、組合體為載體,或以棱柱、棱錐中的某一部分(幾何體殘缺)為載體,考查三視圖的知識和幾何體的體積、表面積計算,試題難度有容易也有中等,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.對幾何體殘缺的還原,一般方法是從俯視圖出發(fā),結(jié)合正視圖、側(cè)視圖來還原,特殊情況需構(gòu)造正方體(或長方體),使所求的幾何體為正方體(或長方體)的一部分.教師在平時講評三視圖題目時,建議學(xué)生加強(qiáng)識圖訓(xùn)練,多動手畫畫.

    考點3簡單的空間角計算.

    例31)如圖5,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E分別是BC,AB的中點,AB≠AC,且AC>AD.設(shè)PC與DE所成角為α,PD與平面ABC所成角為β,二面角P-BC-A為γ,則

    ()

    A.α<β<γB.α<γ<β

    C.β<α<γD.γ<β<α

    (2017學(xué)年浙江省杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第8題)

    圖5   圖6

    ()

    A.α>γ>βB.γ>β>α

    C.γ>α>βD.β>α>γ

    (金華十校2018屆第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第9題)

    tanγ>tanβ>tanα,

    亦即

    γ>β>α.

    故選A.

    2)如圖7,記AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,聯(lián)結(jié)OB1,OE,易知AC⊥平面BDD1B1.作FH⊥平面BDD1B1,則點H在OO1上;作HM⊥OB1于點M,聯(lián)結(jié)FM;作HN⊥OE于點N,聯(lián)結(jié)FN,易得

    FM⊥OB1,FN⊥OE,FO1⊥B1D1,

    從而

    ∠FMH=α,∠FNH=β,∠FO1H=γ,

    圖7   圖8

    在圖8中不難發(fā)現(xiàn)HN

    tanβ>tanα>tanγ,

    亦即

    β>α>γ.

    故選D.

    評注立體幾何中角的大小比較問題,有多種解法,常見的是直接法,即利用“作證算”,結(jié)合空間問題平面化的技巧,計算簡單的空間角(兩直線夾角、直線與平面所成角、二面角的平面角).第2)小題亦可以用極端思想簡化問題,快捷、正確:當(dāng)點F無限接近點A時,容易發(fā)現(xiàn)γ最小,直接排除選項A,B,C.

    考點4動態(tài)問題.

    (浙江省嘉興市2017年3月高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第17題)

    圖9   圖10

    (浙江省臺州市2017年高三年級第一次調(diào)考數(shù)學(xué)試題第17題)

    分析1)如圖11,取CD的中點H,聯(lián)結(jié)AH,BH,易知∠AHB為二面角A-CD-B的平面角,于是

    圖11   圖12

    (1)

    代入式(1)得到

    故|L|表示周長,值為π.

    評注動態(tài)的立體幾何問題包括變量取值范圍、軌跡、不變性、存在性等問題.解決此類問題需要靈活運(yùn)用有關(guān)知識,建立一些數(shù)學(xué)模型,進(jìn)行推理、論證及代數(shù)運(yùn)算.可以從幾何角度入手,也可以從建系入手,要善于挖掘問題所隱藏的數(shù)學(xué)模型,然后解決問題,如發(fā)現(xiàn)軌跡是圓、圓錐曲線、圓錐等,可以利用它們的性質(zhì)進(jìn)行解答.關(guān)注經(jīng)典結(jié)論,如最小角定理(斜線與平面所成的角是斜線與平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角)應(yīng)用.

    考點5翻折問題.

    例51)如圖13,點E是正方形ABCD邊CD上的一點(不包括端點),將△DAE沿AE折起得到△D′AE,且平面D′AE與平面ABCE異面.記二面角D′-AE-B的平面角為α,CD′與平面ABC所成角為β,則在D′的運(yùn)動過程中,使得|tanα|=2tanβ成立的不同β有

    ()

    A.0個或1個B.1個或2個

    C.0個或2個D.0個或1個或2個

    (浙江省諸暨市2016學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第10題)

    圖13

    (浙江省寧波市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第17題)

    圖14   圖15

    當(dāng)點P,M,Q共線且PQ⊥平面BGHC時,等號成立.故所求最小值為1.

    評注翻折問題是將一個平面圖形通過翻折變成空間幾何體.平面圖形在翻折過程中,抓住折疊過程中變與不變的幾何量:某些幾何量(長度、角度等)保持不變,或某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系(垂直關(guān)系等)不變,這些定值、定性問題是翻折前后立體幾何中的重要問題.一般翻折后仍在同一平面內(nèi)的相關(guān)幾何量的位置及大小不變,在解決立體幾何問題時仍然是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,在限時應(yīng)試中,我們要利用選擇題、填空題的特點來解題,即“小題小做”.

    考點6解答題中的證明與計算問題.

    例6如圖16,四棱錐S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,AB=2,BC=CD=SD=1,側(cè)面SAB為等邊三角形.

    1)證明:AB⊥SD;

    2)求直線SC與平面SAB所成角的正弦值.

    (金華十校2018屆第一學(xué)期高三期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題第19題)

    圖16   圖17

    評注高考立體幾何解答題一般分兩個小題.過去分文理科的時候,關(guān)于空間角的計算,理科考查二面角的平面角,文科考查線面角;現(xiàn)在文理不分后,考查線面角的概率很高.建議立體幾何解答題復(fù)習(xí)做好以下3點:1)在復(fù)習(xí)時空間幾何體的類型要豐富,要多樣化.2)第1)小題主要是平行與垂直的證明,對于平行問題盡量用傳統(tǒng)法,對于垂直問題既可以用傳統(tǒng)法,也可以轉(zhuǎn)化為線線垂直后利用數(shù)量積為0.在答題書寫時要特別突出平行和垂直的轉(zhuǎn)化思想.3)對于第2)小題的解答用向量法比較熟練,但要注意合理的建系,寫好關(guān)鍵點坐標(biāo),并與傳統(tǒng)法的結(jié)合,加強(qiáng)分析從而達(dá)到減少計算、提高計算準(zhǔn)確率的目的.

    4 精題集萃

    1.“直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的

    ()

    A.充分不必要條件

    B.必要不充分條件

    C.充分必要條件

    D.既不充分也不必要條件

    (2016年12月浙江省考試院數(shù)學(xué)測試卷第3題)

    2.如圖18,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別是棱AA1,CC1的中點,過EF的平面與棱BB1,DD1分別交于點G,H.設(shè)BG=x,其中x∈[0,1].

    ①四邊形EGFH一定是菱形;

    ②AC∥平面EGFH;

    ③四邊形EGFH的面積S=f(x)在區(qū)間[0,1]上具有單調(diào)性;

    ④四棱錐A-EGFH的體積為定值.

    以上結(jié)論正確的個數(shù)是

    ()

    A.4B.3C.2D.1

    (浙江省嘉興市2017學(xué)年第一學(xué)期高三期末數(shù)學(xué)檢測試題第10題)

    圖18   圖19

    3.如圖19,已知正四面體A-BCD,P是棱CD上的動點.設(shè)CP=tCD(其中t∈(0,1)),分別記AP與BC,BD所成角為α,β,則

    ()

    A.α≥βB.α≤β

    (浙江省嵊州市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第9題)

    4.已知在四面體SABC中,二面角B-SA-C,A-SB-C,A-SC-B的平面角的大小分別為α,β,γ,則

    ()

    C.π<α+β+γ<3π

    D.2π<α+β+γ<3π

    (浙江省紹興市柯橋區(qū)2018屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題第10題)

    5.如圖20,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為BD1,BB1上的動點,則△C1PQ周長的最小值為

    ()

    (浙江省名校協(xié)作體2017學(xué)年第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第9題)

    圖20   圖21

    6.某幾何體的三視圖如圖21所示(單位:cm),則該幾何體的體積是______cm3,表面積是______cm2.

    (2017年4月湖州、衢州、麗水三地市高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第13題)

    7.圖22是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐的體積為______,表面積為______.

    (2017學(xué)年浙江省杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第14題)

    圖22   圖23

    (浙江省臺州市2017學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期末試題第17題)

    參考答案

    1.B2.B3.D4.C5.B

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