淺談一類旋轉(zhuǎn)問題*

●　　(龍港高級(jí)中學(xué),浙江 蒼南　325802)

1　試題再現(xiàn)，引發(fā)思考

例1如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為邊BC,AD的中點(diǎn)，將△ABF沿BF所在直線進(jìn)行翻折，將△CDE沿DE所在直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中

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A.點(diǎn)A與點(diǎn)C在某一位置可能重合

C.直線AB與直線CD可能垂直

D.直線AF與直線CE可能垂直

(2016年浙江省寧波市一模數(shù)學(xué)試題第10題)

按照筆者所任教班級(jí)學(xué)生的水平，此題的難度應(yīng)該不是很大，而實(shí)際情況是4個(gè)選項(xiàng)出現(xiàn)的幾率差不多，這說明了學(xué)生在做這道題時(shí)，很多是猜的.那么問題出在哪里呢，問題的突破點(diǎn)又在哪里呢？

圖1　　　圖2

2　本源探索，形成結(jié)論

例1的本質(zhì)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)問題，可以歸納如下：

如圖2，已知正方形ABCD，M為邊AD的中點(diǎn)，△ABM繞BM旋轉(zhuǎn)，在翻折過程中：

問題1點(diǎn)A的軌跡是什么？

問題2點(diǎn)A在面BCDM內(nèi)的射影所在曲線的軌跡是什么？

分析過點(diǎn)A作AH⊥BM，垂足為H，交直線CD于點(diǎn)N.在翻折的過程中，始終有BM⊥AH，BM⊥HN，即BM⊥面AHM.因此問題1的結(jié)論為：以H為圓心、AH為半徑的圓.問題2的結(jié)論為：直線HN.

我們把直線BM定義為旋轉(zhuǎn)軸，AH定義為軸垂線，平面AHM定義為軸垂面，則有如下結(jié)論及其推論：

結(jié)論1點(diǎn)A的軌跡為以垂足H為圓心、垂線段AH為半徑的圓；點(diǎn)A在面BCDM內(nèi)的射影所在曲線的軌跡是直線HN.

推論1在翻折的過程中，點(diǎn)A在面BCDM內(nèi)的射影為O，則點(diǎn)O必在軸垂線HN上.

推論2記點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)軸BM和面BCDM上的射影分別為H,O，則點(diǎn)A,H,O在展開圖中必定共線，且在軸垂線上.

3　變式拓展，變形應(yīng)用

3.1點(diǎn)在棱上的射影

圖3

(2016年浙江省杭州市一模數(shù)學(xué)試題第13題)

于是

得

此題的難點(diǎn)不在于計(jì)算，而在于如何找出題目中涉及到的相關(guān)點(diǎn)的位置，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡.若能準(zhǔn)確無誤地找到，則能輕松地解決問題.

3.2點(diǎn)在面上的射影必在軸垂線上

例3如圖4，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1,E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足.設(shè)AK=t，則t的取值范圍是______.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖4　　　圖5

3.3三點(diǎn)必定共線，且在軸垂線上

圖6　　　圖7

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(2017年浙江省臺(tái)州市一模數(shù)學(xué)試題第10題)

圖8

分析本題的條件比較復(fù)雜，難度較大，其本質(zhì)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)問題.利用推論2知點(diǎn)C,C2,C1共線，且與旋轉(zhuǎn)軸l垂直.過點(diǎn)C作l的垂線，垂足為C2，與AB的交點(diǎn)則為C1(如圖8).

設(shè)∠CC1B=θ，則

CC2=4sinθ+2cosθ,

本題最大的難度在于：如何化立體為平面，把空間的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題.若知道如上結(jié)論和兩個(gè)推論，則能很容易想到作輔助線的方法，從而輕松地解決問題.

4　歸納總結(jié)，思想提升

實(shí)際上，任何一個(gè)旋轉(zhuǎn)問題都有旋轉(zhuǎn)軸、軸垂線、垂足和軸垂線與面內(nèi)的線的交點(diǎn)，以及在旋轉(zhuǎn)過程中形成的軸垂面等問題，我們總能得到垂足和交點(diǎn)都是在一條直線上，即在軸垂線上，還有軸垂面與旋轉(zhuǎn)軸始終是垂直關(guān)系，進(jìn)而得到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)在已知面內(nèi)的射影總在軸垂線上.若能很好地抓住這幾個(gè)關(guān)系，則能使問題簡(jiǎn)單化、明朗化、本質(zhì)化.