立足概念教學(xué)　培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)*
——2017年安徽省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課暨觀摩會(huì)的體會(huì)與思考

●　　(宣城中學(xué),安徽 宣城　242000)

1　案例背景

“安徽省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課暨觀摩會(huì)”于2017年11月27—29日在安徽省宿州市宿城一中隆重舉行，來自全省各地市的35位優(yōu)秀教師奉獻(xiàn)出了他們精心準(zhǔn)備的優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)課.比賽內(nèi)容包括教學(xué)設(shè)計(jì)撰寫、上課、觀課與評(píng)課這4個(gè)項(xiàng)目.筆者非常榮幸參加了這次緊張又激烈的比賽.此次活動(dòng)歷時(shí)兩天，以“同課異構(gòu)”的方式進(jìn)行課堂展示，共4個(gè)課題：?jiǎn)挝粓A的對(duì)稱性與誘導(dǎo)公式、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程、命題、曲線與方程.

其中，“曲線與方程”是概念課，數(shù)學(xué)概念的獲得離不開數(shù)學(xué)抽象，而數(shù)學(xué)抽象又是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之首，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑之一.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)要以數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授、數(shù)學(xué)方法的提煉為載體，為培育學(xué)生的核心素養(yǎng)添磚加瓦.下面筆者以北師大版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第3章“曲線與方程”的3個(gè)同課異構(gòu)課例為例，以“數(shù)學(xué)抽象”為切入點(diǎn)，就概念課中如何培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”這一核心素養(yǎng)談?wù)勛约旱挠^點(diǎn)，與同行交流.

2　案例呈現(xiàn)

2.1概念引入階段——引入概念求趣，激發(fā)求知探求動(dòng)機(jī)

數(shù)學(xué)概念的引入方式多種多樣，但不論哪種形式，情境創(chuàng)設(shè)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需著力解決的問題.

對(duì)于課題的引出，本次大賽中宣城中學(xué)C老師和阜陽(yáng)二中L老師都沒有采用開門見山似的課題先行方式，而是貼近學(xué)生實(shí)際創(chuàng)設(shè)情境，自然引出課題.

設(shè)計(jì)1課堂伊始，宣城中學(xué)C老師播放有關(guān)笛卡爾的視頻.視頻結(jié)束，C老師拋出問題：

視頻中人物對(duì)話交流了笛卡爾在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科領(lǐng)域的杰出貢獻(xiàn)，尤其是坐標(biāo)系的建立，讓我們能夠通過方程去研究曲線的性質(zhì)，為什么可以用方程去研究曲線？這種研究可靠嗎？怎樣保證這種可靠呢？今天我們學(xué)習(xí)“曲線與方程”，看看曲線與方程存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系.

設(shè)計(jì)2阜陽(yáng)二中L老師展示了學(xué)生熟悉的百歲山廣告插圖，然后發(fā)問：這張圖片大家熟悉嗎？

生:熟悉，是百歲山.

生：不知道(不熟悉的方程).

L老師：公主通過建立坐標(biāo)系，作圖，發(fā)現(xiàn)它是一條美麗的心形線.

生：哇！

L老師：其實(shí)一個(gè)方程對(duì)應(yīng)一條曲線，今天我們來研究曲線與方程之間具體有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

數(shù)學(xué)概念的引入方式多種多樣，可以從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程[1].兩位賽課教師針對(duì)學(xué)生的心理特征，都注重創(chuàng)設(shè)合理又有趣的情境，來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)“曲線與方程”的興趣和求知?jiǎng)訖C(jī)，讓學(xué)生覺得概念課“很有意思”.創(chuàng)設(shè)情境，引入概念，不僅有利于學(xué)生概念的構(gòu)建，也使得學(xué)生對(duì)概念“回味無(wú)窮”.

2.2概念建構(gòu)階段——生成概念求準(zhǔn)，培養(yǎng)抽象概括能力

建構(gòu)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念，不僅需要教師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄⑹霰磉_(dá)能力，也需要學(xué)生的抽象概括能力.

2.2.1作歸納，抽象概括

設(shè)計(jì)1宣城中學(xué)C老師拋出了以下兩個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生完成了概念的建構(gòu).

問題1在平面直角坐標(biāo)系中，平分第一、三象限的直線方程是什么？

生：x-y=0.

C老師：直線由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成，方程x-y=0有無(wú)數(shù)個(gè)解，直線上的點(diǎn)和方程的解之間有怎樣的關(guān)系呢？

生：直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線上.

C老師：設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)在直線上，則|x0|=|y0|，因?yàn)橹本€平分第一、三象限，即x0=y0，亦即x0-y0=0，滿足方程x-y=0.

反之，滿足方程x-y=0的解(x0,y0)有

x0-y0=0，

則

|x0|=|y0|，

(x0,y0)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上.

問題2在平面直角坐標(biāo)系中，以(a,b)為圓心、r為半徑的圓的方程是什么？

生：(x-a)2+(y-b)2=r2.

C老師：設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)是圓上任意一點(diǎn)，則

兩邊平方得(x0-a)2+(y0-b)2=r2，

即圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解.

設(shè)(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的任意一個(gè)解，代入并開方得

以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上.

由上可知，宣城中學(xué)C老師引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，由具體到抽象，生成曲線的方程、方程的曲線的概念.在這個(gè)過程中，不僅學(xué)生的自我建構(gòu)順暢又自然，而且抽象概括能力也水到渠成地得到提升.

2.2.2借技術(shù)，明確概念

運(yùn)用多媒體輔助教學(xué)，有助于學(xué)生理解概念.宣城中學(xué)C老師使用幾何畫板，以動(dòng)畫的形式進(jìn)一步動(dòng)態(tài)地演示了直線上的動(dòng)點(diǎn)與其方程的關(guān)系.

設(shè)計(jì)2(幾何畫板演示)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,點(diǎn)不在直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程，也就是坐標(biāo)滿足方程，從而坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上.

經(jīng)過這樣的驗(yàn)證，學(xué)生就加深了認(rèn)識(shí)，再?gòu)奶厥獾揭话?，他們就能?zhǔn)確地理解曲線的方程與方程的曲線的概念，且能經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納、抽象的數(shù)學(xué)思維過程.

2.3概念鞏固階段——鞏固概念求實(shí)，培養(yǎng)辨析類比能力

生成概念后，若能切實(shí)提出質(zhì)疑，使概念的內(nèi)涵或外延更加清晰，從而清除模糊和疑問，進(jìn)而提高學(xué)生的辨析類比能力,發(fā)展學(xué)生的抽象素養(yǎng).

2.3.1引反例，加深理解

設(shè)計(jì)1阜陽(yáng)二中L老師從學(xué)生熟悉的問題出發(fā)，引入反例，加深學(xué)生對(duì)概念的理解.

L老師：下列各組曲線與方程，你認(rèn)為它們能不能相互表示？

生：不能.

L老師:為什么？

生：直線上點(diǎn)(1，1)不在方程上.

L老師：多一個(gè)也不行.

2)曲線：△AOB中邊AB上的中線，其中O(0，0),A(2，0)，B(0，2)；方程：x-y=0.

生：不能，中線是線段，方程x-y=0表示的是直線.

L老師：少一個(gè)也不行.

阜陽(yáng)二中L老師引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到只有當(dāng)“曲線C上的點(diǎn)與方程f(x，y)=0的解之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”時(shí)，才能確定“曲線C是方程f(x，y)=0的曲線，方程f(x，y)=0是曲線C的方程”.

2.3.2巧辨析，融會(huì)貫通

設(shè)計(jì)2阜陽(yáng)二中L老師引導(dǎo)學(xué)生從句子成分這個(gè)角度來分析方程的曲線、曲線的方程的區(qū)別.

L老師：能否將上述兩組曲線與方程中的一個(gè)加以修改，使得曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程？

找出概念間的共同點(diǎn)和聯(lián)系處，將概念聯(lián)系起來理解，這種方法既能區(qū)別概念間的異同，又能使知識(shí)融會(huì)貫通.

2.4概念運(yùn)用階段——運(yùn)用概念求活，培養(yǎng)應(yīng)用創(chuàng)新能力

學(xué)生只有將概念靈活運(yùn)用于具體數(shù)學(xué)問題中，并能據(jù)此探求捷徑，尋覓妙法，使思維顯現(xiàn)出求新創(chuàng)造的狀態(tài)，才是真正而深刻地掌握了概念.

2.4.1重例題，深化理解

幾位賽課教師都注重回歸課本例題：

師：學(xué)以致用，請(qǐng)同學(xué)們看下面的例題：

例1證明：圓心為M(3,4)、半徑等于5的圓的方程是(x-3)2+(y-4)2=25，并判斷點(diǎn)O(0,0),A(-1,0),B(1,2)是否在這個(gè)圓上.

圖1

練習(xí)1)寫出如圖1所示的曲線方程；

2.4.2設(shè)活動(dòng)，提升思維

建構(gòu)主義認(rèn)為活動(dòng)是第一位的，強(qiáng)調(diào)要在“做數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”.新課程也強(qiáng)調(diào)以學(xué)生的發(fā)展為本，倡導(dǎo)學(xué)生通過參與、自主探索、研究，發(fā)現(xiàn)知識(shí)，習(xí)得知識(shí)，重在對(duì)學(xué)生潛能的開發(fā)及創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng).

宿松程集中學(xué)S老師在這方面做了有益的探索，為了深化學(xué)生對(duì)曲線與方程對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，采取分組匯報(bào)、合作學(xué)習(xí)的方式，通過鑒別熟悉情境中的錯(cuò)誤，引發(fā)認(rèn)知沖突，從而讓學(xué)生深化對(duì)概念的理解.

3　案例反思

下面筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐和聽課感悟，談?wù)劯拍钫n教學(xué)中如何培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)：

3.1數(shù)學(xué)抽象的起始點(diǎn)：創(chuàng)設(shè)情境

“曲線與方程”是概念課，需要學(xué)生經(jīng)歷抽象思維過程，而抽象化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言難免枯燥，選擇融入數(shù)學(xué)史的方式作為情境引入，通過觀看數(shù)學(xué)家笛卡爾與坐標(biāo)法的視頻，講述笛卡爾和瑞典公主克里斯汀娜的愛情故事，將數(shù)學(xué)家們進(jìn)行的數(shù)學(xué)抽象“再現(xiàn)”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的有力武器和一大長(zhǎng)處，數(shù)學(xué)并不是乏味而單調(diào)的.數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)在魅力會(huì)使學(xué)生從內(nèi)心深處喜歡上數(shù)學(xué)，而創(chuàng)設(shè)情境、引入數(shù)學(xué)概念是最基本的數(shù)學(xué)抽象形式[2]，這是發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的起始點(diǎn).

3.2數(shù)學(xué)抽象的著力點(diǎn)：歸納類比

“曲線與方程”概念很抽象，學(xué)生對(duì)于一般的曲線及其方程概念的內(nèi)涵和外延又較陌生，而教師在課堂上往往又沒能給學(xué)生留出充分的時(shí)間去思考，這使學(xué)生對(duì)概念理解不深、掌握不透.

在概念生成階段，宣城中學(xué)C老師在復(fù)習(xí)了學(xué)生熟悉的直線、圓和橢圓與其方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，讓學(xué)生比較、分析，從特殊到一般，帶領(lǐng)學(xué)生歸納，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象概括，并自我建構(gòu)“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念，取得了較好的教學(xué)效果.在獲得概念的過程中，學(xué)生歸納類比、抽象概括，親自參與數(shù)學(xué)抽象過程、親自經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象思維，優(yōu)化了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，歸納類比、抽象概括是生成概念的重要手段，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的著力點(diǎn).

3.3數(shù)學(xué)抽象的助推點(diǎn)：巧借技術(shù)

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).聰明的學(xué)生善于抓住問題的本質(zhì)，而相當(dāng)一部分學(xué)生沒有養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，此時(shí)教師可以利用幾何畫板操作畫圖、直觀示意，將抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)更加直觀和形象地呈現(xiàn)出來，便于學(xué)生去理解數(shù)學(xué)知識(shí)和內(nèi)化抽象問題.也可以讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，經(jīng)歷觀察、比較、綜合、抽象、概括的思維過程，讓學(xué)生在過程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升.可見，巧借技術(shù)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的助推點(diǎn).

3.4數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵點(diǎn)：聯(lián)系反例

“曲線與方程”這節(jié)概念課上，學(xué)生必然經(jīng)歷直觀表象到抽象概念的過程，而在這過程中，理解定義中為何要規(guī)定兩個(gè)關(guān)系是教學(xué)難點(diǎn)，學(xué)生不理解兩者缺一都將擴(kuò)大概念的外延.阜陽(yáng)二中L老師以學(xué)定教，認(rèn)為既然學(xué)生心中已積累了用方程表示直線、圓等實(shí)際模型，那就具備了感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，可用舉反例的方法來解決疑難，借助反例來揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，從而促使學(xué)生對(duì)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行探索.這樣學(xué)生就在具體易錯(cuò)的情境中檢驗(yàn)、提升了對(duì)概念的理解和應(yīng)用，這樣感悟的思維體驗(yàn)才是最深刻的，把握的數(shù)學(xué)抽象結(jié)果才是最有價(jià)值的.可以說，聯(lián)系反例是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn).

3.5數(shù)學(xué)抽象的生長(zhǎng)點(diǎn)：設(shè)計(jì)活動(dòng)

數(shù)學(xué)抽象是一種高水平、高級(jí)別的思維，需要學(xué)生的獨(dú)立思考和智力參與.教師不能告訴抽象的結(jié)果，要讓學(xué)生靠自己的力量、用自己的思考，深度參與數(shù)學(xué)抽象的過程，最終形成抽象的結(jié)果[3].因此，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)對(duì)于提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有著舉足輕重的作用.課堂教學(xué)中，開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在觀察、猜想、驗(yàn)證、推理、討論、互動(dòng)等活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)，放手讓學(xué)生積極地思維和自主地探究，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)：每一位學(xué)生都有探究的熱情和創(chuàng)造的潛能，他們?cè)谟^察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、反思與建構(gòu)等思維過程中進(jìn)行抽象思維的碰撞，在經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象思維的深度歷煉后，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)就會(huì)得到一定的提升.因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)正是培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的生長(zhǎng)點(diǎn).

4　結(jié)語(yǔ)

抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，抽象素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的核心，概念課教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的重要渠道，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效依托，是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的良好載體.通過概念教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的思維歷程，并以數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在邏輯為線索，把數(shù)學(xué)抽象貫穿于數(shù)學(xué)概念引入、生成、鞏固、運(yùn)用的全過程[4]，讓學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)情境、巧借幾何畫板、經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)、感悟數(shù)學(xué)反例的過程中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

[1]傅瑞琦．讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”過程——課例“平行線的判定1”教學(xué)實(shí)踐與思考[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(3)：28-30．

[2]倪科技.從“三角函數(shù)的周期性”教學(xué)談高中數(shù)學(xué)概念的引入[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(11)：25-26.

[3]晁豐成.讓“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在“概念教學(xué)”中落地[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2017(5)：21-23.

[4]張輝蓉，王曉杰，宋美臻.我國(guó)數(shù)學(xué)抽象研究及反思[J].課程·教材·教法,2017,37(9)：79-84.