連續(xù)擬有序加權(quán)幾何算子及其群決策應(yīng)用

劉衛(wèi)鋒，常 娟，杜迎雪

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 理學(xué)院， 河南 鄭州 450015)

信息集成算子是多屬性決策研究的重要內(nèi)容之一. 當(dāng)前,信息集成算子主要有(加權(quán))算術(shù)平均算子(WA)[1]、(加權(quán))幾何平均算子(WG)[2]、有序加權(quán)平均算子(OWA)[3]、有序加權(quán)幾何平均算子(OWG)[4]、有序加權(quán)調(diào)和平均算子(OWH)[5]、廣義加權(quán)有序平均算子(GOWA)[6]、擬有序加權(quán)平均算子(QOWA)[7]等. 最近，在QOWA算子的啟發(fā)下，劉衛(wèi)鋒等[8]將擬函數(shù)與有序加權(quán)幾何算子相結(jié)合，定義了擬有序加權(quán)幾何算子(QOWG)，并將其推廣至畢達哥拉斯模糊決策環(huán)境. QOWG算子的提出豐富了集成算子的類型，發(fā)展了集成算子理論.

由于實際決策中經(jīng)常碰到區(qū)間數(shù)決策信息的情況，許多學(xué)者開始研究區(qū)間數(shù)決策信息集成，并取得了一系列研究成果. 其中，XU等[9-11]提出了UOWA算子、UOWG算子、區(qū)間數(shù)冪均算子；MERIG等研究了UIOWAWA算子[12]及區(qū)間誘導(dǎo)QOWA集成算子[13]；RAN等[14]將優(yōu)先加權(quán)平均算子推廣到區(qū)間數(shù)，定義了UPWA算子、UPWG算子及UPWHA算子；YAGER等[15-16]研究了COWA算子以及COWG算子，XU[17]將COWA算子應(yīng)用于求解區(qū)間模糊偏好關(guān)系的排序向量；徐澤水[18]定義了WCOWA算子、OWCOWA算子及CCOWA算子；龔艷冰等[19]提出了模糊COWA算子；汪新凡[20]定義了WCOWG算子、OWCOWG算子及CCOWG算子；丁德臣等[21]定義了模糊COWG算子；WU等[22]研究了ICOWG算子；陳華友等[23]探討了COWH算子；ZHOU等[24]提出了CGOWA算子及其擴展；LIU等[25]定義了CQOWA算子. 分析發(fā)現(xiàn)，上述集成算子大致可分為2類： 一類是以XU為代表的將集成算子直接由實數(shù)推廣至區(qū)間數(shù)，如文獻[9-14]. 但此類算子在集成過程中涉及區(qū)間數(shù)的各種運算，利用可能度[9]等方法實現(xiàn)區(qū)間數(shù)的排序，而區(qū)間數(shù)運算往往易導(dǎo)致不確定性的增加，使得到的結(jié)果出現(xiàn)較大誤差甚至失真.另一類是以YAGER和XU為代表，主要通過引入反映決策者決策態(tài)度的態(tài)度參數(shù)將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)，然后進行集成，如文獻[15-25]. 該類算子避免了區(qū)間數(shù)運算和排序引發(fā)的系列問題.

由于目前QOWG算子僅適用于精確數(shù)信息的集成，因而有必要將其推廣至區(qū)間數(shù)決策環(huán)境，定義連續(xù)區(qū)間QOWG算子，擴大QOWG算子的決策應(yīng)用范圍.借助生成函數(shù)， 連續(xù)區(qū)間QOWG算子可將多種信息集成為算子綜合在一個函數(shù)表達式之中，故而在決策中，決策者只需通過控制生成函數(shù)即可實現(xiàn)決策結(jié)果的調(diào)整，從而令不同的生成函數(shù)對應(yīng)于不同的集成算子；同時，連續(xù)區(qū)間QOWG算子中態(tài)度參數(shù)的選擇也給決策者帶來了很大的主動性. 因此，研究連續(xù)區(qū)間QOWG算子，對于發(fā)展QOWG集成算子以及區(qū)間數(shù)集成算子均具有重要的理論和現(xiàn)實意義.

根據(jù)以上分析，筆者嘗試將QOWG算子推廣至連續(xù)區(qū)間的數(shù)決策環(huán)境.首先，定義連續(xù)QOWG算子(continuous QOWG operator, CQOWG),討論其性質(zhì)和特殊形式. 其次，定義CQOWG算子的orness測度，探討orness測度的性質(zhì). 然后，拓展CQOWG算子，定義了加權(quán)連續(xù)QOWG算子(WCQOWG)、有序加權(quán)連續(xù)QOWG算子(OWCQOWG)以及組合連續(xù)QOWG算子(CCQOWG)，并探討了它們的性質(zhì). 最后，提出基于CQOWA算子的群決策方法，并通過決策實例說明其可行性與有效性.

1　相關(guān)概念

定義1[8]設(shè)ai∈R+(i=1,2,…,n)為一組待集成數(shù)據(jù)，其中R+={x|x>0},若函數(shù)

定義2[15]若函數(shù)F： Ω→R+滿足

則稱F為COWA算子，其中[a,b]∈Ω，Ω={[a,b]|0

FQ([a,b])=μb+(1-μ)a，

其中,μ為BUM函數(shù)Q的態(tài)度參數(shù).

定義3[16]若函數(shù)G： Ω→R+滿足

則稱G為COWG算子，其中[a,b]∈Ω，G與Q有關(guān)，Q為BUM函數(shù).

定義4[23]若函數(shù)H： Ω→R+滿足

則稱H為COWH算子，其中[a,b]∈Ω，H與Q有關(guān)，Q為BUM函數(shù).

定義5[24]若函數(shù)g： Ω→R+滿足

則稱函數(shù)g為連續(xù)區(qū)間廣義OWA算子，簡稱CGOWA算子，其中[a,b]∈Ω，g與Q有關(guān)，Q為BUM函數(shù)，參數(shù)λ∈R-{0}.

定義6[25]若函數(shù)φ： Ω→R+滿足

則稱函數(shù)φ為連續(xù)區(qū)間擬OWA算子，簡稱CQOWA算子，其中[a,b]∈Ω，φ與Q有關(guān)，Q為與函數(shù)φ相關(guān)聯(lián)的BUM函數(shù)，f為[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，稱為φQ,f([a,b])的導(dǎo)出函數(shù).

φQ,f([a,b])=f-1[f(a)-μ(f(b)-f(a))]，

其中μ為BUM函數(shù)Q的態(tài)度參數(shù).

2　連續(xù)擬有序加權(quán)幾何算子

定義7設(shè)[a,b]∈Ω，若函數(shù)φ： Ω→R+滿足

則稱函數(shù)φ為連續(xù)區(qū)間擬OWG算子，簡稱CQOWG算子，其中，Q為與函數(shù)φ相關(guān)聯(lián)的BUM函數(shù)，f為[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，稱為φQ,f([a,b])的導(dǎo)出函數(shù).

下面從定積分角度說明定義7中公式的由來.

設(shè)[a,b]∈Ω，f為[a,b]上的嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，Q(y)為BUM函數(shù),則由BUM函數(shù)可得到QOWG算子的一組加權(quán)向量

下面構(gòu)造一組離散的數(shù)據(jù)集合逼近連續(xù)區(qū)間數(shù)[a,b].

即qj≥qj+1，于是得到q0≥q1≥q2≥…≥qn.當(dāng)f(x)嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)遞減時，同理也可得到q0≥q1≥q2≥…≥qn.

根據(jù)QOWG算子，可以得到

φQ,f([a,b])≈QOWG(q1,q2,…,qn)=

令Δy=1/n，有

φQ,f([a,b])≈

令y=jΔy，則當(dāng)j從0取到n時，有y∈[0,1]，對上式兩端取極限，令n→+，得到

證明

f-1{f(a)1-μf(b)μ}.

下面討論CQOWG算子的特殊情況.

(1) 當(dāng)f(x)=kx,k≠0時，φQ,f([a,b])=bμa1-μ,即CQOWG算子退化為COWG算子.

(2) 當(dāng)f(x)=ekx,k≠0時，

φQ,f([a,b])=μb+(1-μ)a,

即CQOWG算子退化為COWA算子.

φQ,f([a,b])=1/[(1-μ)/b+μ/b],

即CQOWG算子退化為COWH算子.

(4) 當(dāng)Q(y)=yr,r>0時，

此時，若r=1，則有

φQ,f([a,b])=f-1[f(a)1/2f(b)1/2].

若r→0，則有φQ,f([a,b])=b.

若r→+，則有φQ,f([a,b])=a.

若r=k/K，則有

下面討論CQOWG算子的性質(zhì).

定理7(單調(diào)性)設(shè)φ是CQOWG算子，若a1≤a2,b1≤b2，則對于任意BUM函數(shù)Q和導(dǎo)出函數(shù)f，有φQ,f([a1,b1])≤φQ,f([a2,b2]).

證明分2種情況證明.

(1) 當(dāng)函數(shù)f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增時，函數(shù)f-1(x)也嚴(yán)格單調(diào)遞增，則由a1≤a2,b1≤b2得f(a1)≤f(a2),f(b1)≤f(b2)，也即有f(a1)1-μ≤f(a2)1-μ,

f(b1)μ≤f(b2)μ，于是

f(a1)1-μf(b1)μ≤f(a2)1-μf(b2)μ，

即有

f-1[f(a1)1-μf(b1)μ]≤f-1[f(a2)1-μf(b2)μ]，

所以有

(2) 當(dāng)函數(shù)f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減時，同理可證

定理9(關(guān)于Q的單調(diào)性)設(shè)φ是CQOWG算子，若Q1(x),Q2(x)為BUM函數(shù)，且?x∈[0,1]，Q1(x)≤Q2(x)，則有

下面分2種情況證明.

即有

于是

定理10設(shè)f(x)是任意的嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，若對任意k>0，有g(shù)(x)=f(xk)，則有

證明令y=g(x)=f(xk)，則有

x=g-1(y)=(f-1(y))1/k，

于是有

定理11設(shè)f(x)是任意的嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，g(x)是嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)遞增函數(shù)，令h(x)=

證明令y=h(x)=f(g(x))，則有x=h-1(y)=g-1(f-1(y))，于是

h-1[(f(g(a)))1-μ(f(g(b)))μ]=

g-1{f-1[(f(g(a)))1-μ(f(g(b)))μ]}=

3　CQOWG算子的orness測度

受文獻[25-27]啟發(fā)，本文將給出CQOWG算子的orness測度.

定義8CQOWG算子的orness測度定義為

顯然，當(dāng)μ=0時，ornessQ,f([a,b])=0；當(dāng)μ=1時,ornessQ,f([a,b])=1.

定理12設(shè)φQ,f為任意的CQOWG算子，則φQ,f([a,b])=a+(b-a)ornessQ,f([a,b]).

定理15設(shè)f(x)是任意的嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，Q(x)為BUM函數(shù)，若g(x)=k(f(x))c，k≠0,c≠0，則φQ,g([a,b])=φQ,f([a,b]),ornessQ,g([a,b])=ornessQ,f([a,b]).

證明令y=g(x)=k(f(x))c，則有

g-1[(k(f(a))c)1-μ(k(f(b))c)μ]=

g-1[k(f(a))c(1-μ)(f(b))cμ]=

f-1[(f(a))1-μ(f(b))μ]=φQ,f([a,b]).

由CQOWG算子的orness測度定義可知，

4　CQOWG算子的推廣

CQOWG算子可以對單個連續(xù)區(qū)間數(shù)進行集成，但不能集成多個連續(xù)區(qū)間數(shù)，為此對其進行推廣，使之可以集合成2個或2個以上的連續(xù)區(qū)間數(shù).

則稱γ為加權(quán)連續(xù)QOWG算子，簡稱WCQOWG算子，其中φ為CQOWG算子.

不難證明, WCQOWG算子具有下列性質(zhì)：

(1) 冪等性

若ai=a,bi=b(i=1,2,…,n)，則

(2) 有界性

(3) 單調(diào)性

設(shè)[ci,di](i=1,2,…,n)為另一組連續(xù)區(qū)間數(shù)，若ai≤ci,bi≤di(i=1,2,…,n)，則

γw([a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn])≤

γw([c1,d1],[c2,d2],…,[cn,dn]).

η： Ωn→R+,

ηw([a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn])=

不難證明, OWCQOWG算子具有下列性質(zhì)：

(1) 冪等性

若ai=a,bi=b(i=1,2,…,n)，則

(2) 有界性

(3) 單調(diào)性

設(shè)[ci,di](i=1,2,…,n)為另一組連續(xù)區(qū)間數(shù)，若ai≤ci,bi≤di(i=1,2,…,n)，則

(4) 置換不變性

設(shè)[ci,di](i=1,2,…,n)為[ai,bi](i=1,2,…,n)的任意一個置換，則

定義11設(shè)[ai,bi](i=1,2,…,n)為一組連續(xù)區(qū)間數(shù)，若函數(shù)

ρ： Ωn→R+，

ρw([a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn])=

則稱ρ為組合連續(xù)QOWG算子，簡稱CCQOWG算子，其中,(σ(1),σ(2),…,σ(n))是(1,2,…,n)的一個置換，滿足

5　決策應(yīng)用

在使用COWG算子進行區(qū)間數(shù)信息集成的過程中，決策者既可以通過選擇不同的生成函數(shù)實現(xiàn)對決策結(jié)果的調(diào)整，也可通過選擇態(tài)度參數(shù)體現(xiàn)決策的主動性，因此COWG算子在區(qū)間數(shù)信息集成中具有獨特的理論和應(yīng)用優(yōu)勢.下面提出基于CQOWG算子的區(qū)間數(shù)多屬性群決策方法.

j∈I1,i=1,2,…,m；

j∈I2,i=1,2,…,m.

步驟3利用CCQOWG算子，將t個連續(xù)區(qū)間數(shù)決策矩陣集成為綜合決策矩陣Z=(zij)mn，其中，

zij=

i=1,2,…,m，j=1,2,…,n.

步驟5根據(jù)方案的綜合屬性值zi(ω)(i=1,2,…,m)實現(xiàn)方案{x1,x2,…,xm}的擇優(yōu)排序.

步驟1建立區(qū)間數(shù)決策矩陣,見表1～表3.

表1　決策者d1給出的決策矩陣M(1)

表2　決策者d2給出的決策矩陣M(2)

表3　決策者d3給出的決策矩陣M(3)

步驟2將區(qū)間數(shù)決策矩陣M(k)規(guī)范化，得到規(guī)范化決策矩陣R(k)(k=1,2,3).

步驟3利用CCQOWG算子，求出綜合決策矩陣：

步驟4方案綜合屬性值分別為

z1(ω)=0.518 2,z2(ω)=0.581 9,

z3(ω)=0.557 4,z4(ω)=0.570 9,

其中，屬性權(quán)重向量ω=(0.30,0.35,0.15,0.20).

步驟5根據(jù)方案綜合屬性值得到方案的排序為x2>x4>x3>x1，即方案x2最優(yōu).

使用文獻[25]中的CCQOWA算子，計算得各方案綜合屬性值為z1(ω)=0.572 7,z2(ω)=0.654 9，z3(ω)=0.607 6，z4(ω)=0.622 0，因此方案排序為x2>x4>x3>x1.

盡管各方案的綜合屬性值與使用本文中的CCQOWG算子得到的綜合屬性值不同,但是方案的排序完全相同.這在一定程度上說明了使用本文的CCQOWG算子進行決策是有效的.

6　結(jié)　語

首先，通過拓展QOWG算子，提出了連續(xù)區(qū)間QOWG算子，拓展了QOWG算子的應(yīng)用范圍，研究了CQOWG算子的特殊情況和性質(zhì).其次，定義了CQOWG算子的orness測度，研究了orness測度的性質(zhì).然后，定義了WCQOWG算子、OWCQOWG算子以及CCQOWG算子，使得CQOWG算子可以處理多個連續(xù)區(qū)間數(shù)的集成問題，討論了這些算子的性質(zhì).最后，提出了基于連續(xù)QOWG算子的多屬性群決策方法，并通過決策實例說明了其可行性和有效性.

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