基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)的高效求解方法

馮凱旋，呂震宙, ，蔣獻(xiàn)

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072 2. 中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院 飛機(jī)所，西安 710089

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)和數(shù)值計(jì)算方法的快速發(fā)展，在生物技術(shù)、環(huán)境科學(xué)、飛機(jī)設(shè)計(jì)、車(chē)輛工程等科學(xué)或工程領(lǐng)域，研究者們提出了許多復(fù)雜的計(jì)算模型[1-2]。這些計(jì)算模型通常包括成千上萬(wàn)個(gè)輸入變量，而這些變量的不確定性會(huì)對(duì)系統(tǒng)的輸出性能產(chǎn)生不同程度的影響[3]。在大多數(shù)情況下，只有很少一部分輸入變量對(duì)輸出產(chǎn)生重要的影響。因此，如何確定輸入變量對(duì)輸出性能影響程度的大小，篩選出重要變量，從而簡(jiǎn)化或優(yōu)化模型是十分必要的。

局部靈敏度定義為模型響應(yīng)函數(shù)在名義值處對(duì)輸入變量的偏導(dǎo)數(shù)，其值僅反映了響應(yīng)函數(shù)在名義點(diǎn)處的靈敏度信息。全局靈敏度分析方法旨在研究輸入變量在整個(gè)取值域內(nèi)的不確定性對(duì)輸出性能的綜合影響，其分析結(jié)果可廣泛應(yīng)用于模型簡(jiǎn)化、優(yōu)化設(shè)計(jì)和模型確認(rèn)等方面，更適用于解決上述篩選重要變量的問(wèn)題。目前，全局靈敏度分析方法可大致分為以下幾類：微分法[2,4]、掃描法[5-6]、方差靈敏度分析[7-9]、矩獨(dú)立靈敏度分析[10-13]以及隨機(jī)森林[14]等。在上述分析方法中，基于方差的全局靈敏度分析理論應(yīng)用最為廣泛。在該理論中，輸入變量對(duì)模型響應(yīng)方差的影響被分解為一階影響和高階影響，并在此基礎(chǔ)上提出了兩類靈敏度指標(biāo)(Sobol 指標(biāo))：方差主指標(biāo)和方差總指標(biāo)。其中，方差主指標(biāo)反映了單個(gè)輸入變量獨(dú)自作用對(duì)輸出方差的貢獻(xiàn)，而方差總指標(biāo)則反映了輸入變量對(duì)輸出方差的總貢獻(xiàn)，其中既包含其獨(dú)自貢獻(xiàn)，還包括由于與其他變量的交互作用對(duì)輸出方差的貢獻(xiàn)?；谄珜?dǎo)數(shù)的全局靈敏度分析方法隸屬于微分法，該方法建立在求解響應(yīng)函數(shù)對(duì)輸入變量在多個(gè)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，可以看作是局部靈敏度在全局范圍內(nèi)的擴(kuò)展，相比于局部靈敏度分析理論，具有更為豐富的內(nèi)涵。與此同時(shí)，Lamboni等[2]提出的基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)與方差總指標(biāo)之間存在直接的定量不等式關(guān)系，因此該指標(biāo)既可以看作是局部靈敏度指標(biāo)的一種擴(kuò)展，又可以視為方差總指標(biāo)一種很好的近似。

目前，基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)的計(jì)算方法討論較少，應(yīng)用最多的仍是經(jīng)典的數(shù)字模擬方法-Monte Carlo (MC)方法。該方法雖然具有較高的計(jì)算精度和廣泛的模型適用性，但其需要大量的樣本才能得到穩(wěn)定的結(jié)果，其計(jì)算量在實(shí)際工程問(wèn)題中往往是無(wú)法接受的。因此，本文針對(duì)基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)，提出了一種高效的求解方法。該方法首先利用乘法降維公式將模型響應(yīng)函數(shù)展開(kāi)為連乘積的形式，從而將靈敏度指標(biāo)中的高維積分轉(zhuǎn)化為多個(gè)一維積分的連乘積，然后利用高斯積分公式對(duì)一維積分進(jìn)行近似求解。與此同時(shí)，在求解基于偏導(dǎo)數(shù)的靈敏度指標(biāo)時(shí)，需要求解特定點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，以往大多采用向前差分法或中心差分法，此類方法的求解精度在很大程度上依賴于差分步長(zhǎng)的選取，當(dāng)步長(zhǎng)選取不合適時(shí)，有可能得出錯(cuò)誤的結(jié)果。因此，本文采用復(fù)數(shù)步長(zhǎng)方法進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)的求解，提高了靈敏度指標(biāo)的計(jì)算精度。數(shù)值算例和工程算例驗(yàn)證了本文所提方法的準(zhǔn)確性和高效性。

1 兩類全局靈敏度分析理論

1.1 基于方差的全局靈敏度分析理論

設(shè)模型響應(yīng)函數(shù)為Y=g(X),Y為一維輸出，X=[X1X2…Xn]為n維輸入隨機(jī)變量。根據(jù)高維模型展開(kāi)(High Dimensional Model Representation，HDMR)理論，當(dāng)各輸入變量相互獨(dú)立時(shí)，g(X)可唯一展開(kāi)為

g1,2,…,n(X1,X2,…,Xn)

(1)

式中:常數(shù)g0為函數(shù)g(X)的均值;i(i=1,2,…,n)為輸入變量的次序;gi(Xi)為依賴于Xi的單變量函數(shù);i1、i2(i1=1,2,…,n；i2=1,2,…,n)為輸入變量的次序;gi1,i2(Xi1,Xi2)為依賴于Xi1、Xi2的雙變量函數(shù)，以此類推。

對(duì)式(1)兩邊同時(shí)求方差，可得

(2)

式中:V為g(X)的方差；Vi為gi(Xi)的方差；Vi1,i2為gi1,i2(Xi1,Xi2)的方差，以此類推。

據(jù)此，輸入變量Xi的方差主指標(biāo)Si可定義為

(3)

輸入變量Xi的方差總指標(biāo)STi定義為

(4)

式中:S～i為除與Xi相關(guān)項(xiàng)外所有方差分量之和與總方差之比。式(3)中的方差主指標(biāo)Si反映了輸入變量Xi獨(dú)自作用對(duì)輸出方差的貢獻(xiàn)。式(4)中的方差總指標(biāo)STi度量了Xi對(duì)輸出方差總的貢獻(xiàn)，其中除了包含Xi獨(dú)自的貢獻(xiàn)外，還包括Xi與其他所有變量的交互作用對(duì)輸出方差的貢獻(xiàn)。

1.2 基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度分析理論

局部靈敏度Ei(x*)定義為響應(yīng)函數(shù)在名義值處對(duì)輸入變量的偏導(dǎo)數(shù)，即

(5)

(6)

式中:vi為局部靈敏度的平方在全域內(nèi)的積分，其表達(dá)式為

(7)

其中：j(j=1,2,…,n)表示輸入變量的次序，fXj(xj)為輸入隨機(jī)變量Xj的概率密度函數(shù)；Ci為Cheeger常數(shù)[2,15]，其值與Xi的分布類型和分布參數(shù)有關(guān)，具體表達(dá)式為

(8)

式中：υi(xi)為與fXi(xi)相關(guān)的測(cè)度函數(shù);mi為υi(xi)的中位數(shù)。表1給出了滿足log-concave概率分布情況下不同分布類型下的Cheeger常數(shù)。

由式(6)～式(8)可以看出，靈敏度指標(biāo)γi可以看做是局部靈敏度在全局范圍內(nèi)的平均，并綜合考慮了變量的分布形式及分布參數(shù)。除此之外，文獻(xiàn)[2,4]還證明了靈敏度指標(biāo)γi與方差總指標(biāo)STi之間存在的定量關(guān)系：

(9)

由式 (9)可以看出，γi/V是方差總指標(biāo)STi的一個(gè)上限。此外，實(shí)際算例表明了γi和STi確定的輸入變量重要性排序基本一致。

表1 υi(xi)函數(shù)、中位數(shù)mi及Cheeger常數(shù)Ci

2 幾種求解導(dǎo)數(shù)的數(shù)值方法

對(duì)于靈敏度指標(biāo)γi的求解，無(wú)論是用文獻(xiàn)[2]中所提出的MC方法還是其他高效的求解算法都不可避免地需要求解類似式(5)中特定點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)。在實(shí)際工程問(wèn)題中，響應(yīng)函數(shù)Y=g(X)往往為隱函數(shù)，無(wú)法直接解析求得其偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)，此時(shí)就需要采用數(shù)值方法來(lái)近似求出特定點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)值。由于在求解功能函數(shù)在特定點(diǎn)對(duì)某一維輸入變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，其他維度的輸入變量固定為常數(shù)，因此該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)的求解可轉(zhuǎn)化為：將其他變量在該點(diǎn)的值代入響應(yīng)函數(shù)中，此時(shí)響應(yīng)函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含所求變量的單變量函數(shù)，然后利用常用的單變量數(shù)值求導(dǎo)方法進(jìn)行求解。因此，為簡(jiǎn)化表達(dá)，本節(jié)以單變量函數(shù)Y=g(x)為例來(lái)說(shuō)明幾種數(shù)值求導(dǎo)方法的原理及過(guò)程。

根據(jù)Taylor展開(kāi)式得到的有限差分法是工程中常用的數(shù)值求導(dǎo)方法。該方法常用的兩種形式為向前差分法和中心差分法。其表達(dá)式為

向前差分法：

(10)

中心差分法：

(11)

式(10)和式(11)中：h均為差分步長(zhǎng)。在實(shí)際應(yīng)用該方法時(shí)，經(jīng)常會(huì)面臨“步長(zhǎng)困境[16]”的問(wèn)題，即試圖通過(guò)選擇盡可能小的步長(zhǎng)來(lái)提高估算精度，但當(dāng)步長(zhǎng)過(guò)小時(shí)，又會(huì)因計(jì)算機(jī)的減消誤差而得到錯(cuò)誤的結(jié)果。實(shí)際算例表明，有限差分法由于減消誤差的存在，其計(jì)算精度對(duì)差分步長(zhǎng)比較敏感，合適的差分步長(zhǎng)需要經(jīng)過(guò)多次嘗試才能得到，這無(wú)疑增加了計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜性和計(jì)算結(jié)果的不穩(wěn)定性。因此，本節(jié)將采用一種新的數(shù)值求導(dǎo)的方法-復(fù)數(shù)步長(zhǎng)方法以克服該問(wèn)題。

將函數(shù)y=g(x+ih)在x處進(jìn)行Taylor展開(kāi)(i為虛數(shù)單位)，即有

(12)

對(duì)式(12)左右兩端同時(shí)取虛部后整理可得

(13)

式中：Im[·]表示復(fù)數(shù)的虛部。略去高階項(xiàng)，得到采用復(fù)數(shù)步長(zhǎng)方法的一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式為

(14)

與有限差分法相比，復(fù)數(shù)步長(zhǎng)方法在求解函數(shù)Y=g(x)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)只需計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)x+ih處函數(shù)值的虛部即可，相較于有限差分法減少了一次函數(shù)調(diào)用次數(shù)。與此同時(shí)，該方法在計(jì)算過(guò)程中并沒(méi)有引入由于兩個(gè)數(shù)值相近的函數(shù)值相減所帶來(lái)的減消誤差，因此在理論上，采用復(fù)數(shù)步長(zhǎng)方法計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)的精度將隨著步長(zhǎng)h的減小而提高。同時(shí)，若函數(shù)Y=g(x)存在間斷點(diǎn)，采用有限差分法計(jì)算其導(dǎo)數(shù)時(shí)，若差分步長(zhǎng)h范圍內(nèi)包含間斷點(diǎn)，則需要對(duì)有限差分法的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行修正。而采用復(fù)數(shù)步長(zhǎng)方法后，即使步長(zhǎng)h中包含間斷點(diǎn)，采用該方法只需知道目標(biāo)函數(shù)在間斷點(diǎn)的函數(shù)值即可，所求得的導(dǎo)數(shù)也無(wú)需進(jìn)行人工修正。因此，在計(jì)算基于偏導(dǎo)數(shù)的靈敏度指標(biāo)中涉及偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時(shí)，本文均采用復(fù)數(shù)步長(zhǎng)方法。

3 基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)的高效近似算法

3.1 基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)的計(jì)算

求解基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)γi的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地估算靈敏度指標(biāo)vi。由式(7)可知，vi為n維積分，直接對(duì)其求解較為困難。因此，首先根據(jù)乘法降維方法將響應(yīng)函數(shù)Y=g(X)近似表示為[17]

g(X)≈[g(c)]1-n·

(15)

式中:c=[c1c2…cn]為輸入變量的均值向量。式(15)兩邊同時(shí)對(duì)Xi求偏導(dǎo)，可得

(16)

式(16)左右兩邊同時(shí)平方，可得

(17)

對(duì)式(17)兩邊同時(shí)積分，可得

fXj(xj)dxj·

(18)

步驟2記a為均值向量，即

a=[c1c2…ci…cn]

(19)

令j=1。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

j=j+1。

步驟4重復(fù)步驟3，直至j>5。根據(jù)五點(diǎn)高斯積分公式估算以下兩個(gè)一維積分：

(25)

(26)

式中:ai為積分系數(shù)，當(dāng)輸入變量Xi服從均勻分布時(shí)，ai=0.5；其他情況下，ai=1。

步驟5重復(fù)步驟1～4，估算出所有2n個(gè)一維積分，并根據(jù)式(18)估算出n個(gè)靈敏度指標(biāo)vi(i=1,2,…,n)。

步驟6根據(jù)輸入變量的分布形式及分布參數(shù)，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的Cheeger常數(shù)Ci，再根據(jù)式(6)計(jì)算出n個(gè)基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)γi(i=1,2,…,n)。

3.2 所提方法的計(jì)算量

對(duì)于n個(gè)基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)γi(i=1,2,…,n)的計(jì)算，若采用MC方法，其所需計(jì)算量為N0=nN，其中N為所需樣本點(diǎn)數(shù)目。由于MC方法的根本依據(jù)是概率論中的大數(shù)定律，需要大量的樣本模擬才能得到穩(wěn)定收斂的解，因此N值常取104～106，計(jì)算量較大。而本文所提方法利用乘法降維公式，將n維積分問(wèn)題近似轉(zhuǎn)化為n個(gè)一維積分乘積的形式，而對(duì)于一維積分問(wèn)題只需要很少的計(jì)算量就能得到較高精度的解。采用本文所提方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，所需計(jì)算量為N1=nN′+nN′+1=2nN′+1，其中N′為估算每個(gè)一維積分所需要的樣本點(diǎn)數(shù)目，若采用五點(diǎn)高斯積分，則N′=5，總的計(jì)算量為N1=10n+1?？梢钥闯?，與MC方法相比，本文所提方法的計(jì)算量顯著降低，且隨輸入變量維數(shù)的增加呈線性增長(zhǎng)。

4 算例驗(yàn)證

下面以一個(gè)數(shù)值算例和兩個(gè)工程算例來(lái)驗(yàn)證文中所提方法的準(zhǔn)確性和高效性, 并對(duì)基于方差的全局靈敏度指標(biāo)STi和基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)γi的計(jì)算結(jié)果加以分析。

4.1 數(shù)值算例

B 函數(shù)[18]由于其強(qiáng)的非線性和非單調(diào)性，在全局靈敏度分析中被廣泛的作為驗(yàn)證算例。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(27)

式中:Xi(i=1,2,…,n)為n個(gè)相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；m=n/2。在本例中，選擇n=10,m=5，各輸入變量分布參數(shù)如表2所示。分別使用MC方法和本文所提方法計(jì)算靈敏度指標(biāo)vi，結(jié)果如圖1所示，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算出基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)γi，結(jié)果見(jiàn)圖2。其中，使用MC方法所需的計(jì)算量為N0=10×104=105，使用本文所提方法所需計(jì)算量為N1=10×10+1=101。此外，使用準(zhǔn)MC方法計(jì)算出各輸入變量的方差總指標(biāo)STi，結(jié)果如圖3所示，所需計(jì)算量為N2=106。

表2 B函數(shù)輸入隨機(jī)變量的分布參數(shù)

從圖1、圖2可以看出，本文所提方法的計(jì)算結(jié)果與MC方法計(jì)算的結(jié)果非常接近，從而可以得出本文所提方法的準(zhǔn)確性。對(duì)比兩者的計(jì)算量，可見(jiàn)本文所提方法的高效性。對(duì)比圖2、圖3可以看出，靈敏度指標(biāo)γi和STi的排序是一致的，驗(yàn)證了γi對(duì)STi優(yōu)良的近似特性。

4.2 工程算例

工程算例1懸臂管結(jié)構(gòu)(圖4)[19]具有6個(gè)輸入隨機(jī)變量，分別為外加載荷F1、F2、P和T，管壁厚度t和外徑d，其分布類型及分布參數(shù)見(jiàn)表3。在實(shí)際應(yīng)用中，工程人員常關(guān)注的一個(gè)輸出量是頂面中心處的等效應(yīng)力σmax，其表達(dá)式為

(28)

式中:

(29)

其中：θ1和θ2分別為F1和F2與豎直方向夾角。

表3 懸臂管結(jié)構(gòu)輸入變量的分布類型及分布參數(shù)

分別使用MC方法和本文所提方法計(jì)算靈敏度指標(biāo)vi和γi，結(jié)果見(jiàn)圖5和圖6。兩種方法所需的計(jì)算量分別為N0=6×104、N1=61。使用準(zhǔn)MC方法計(jì)算各輸入變量的方差總指標(biāo)STi，結(jié)果見(jiàn)圖7，所需計(jì)算量為N2=106。

通過(guò)與大量樣本下的MC方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比可以看出，本文所提方法在計(jì)算基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)的準(zhǔn)確性和高效性。對(duì)比圖6和圖7可以看出，兩種靈敏度指標(biāo)γi和STi計(jì)算結(jié)果的排序是一致的，且輸入變量d的靈敏度指標(biāo)遠(yuǎn)大于其他輸入變量，即d的不確定性對(duì)頂面中心處等效應(yīng)力σmax的不確定性貢獻(xiàn)最大。因此，設(shè)計(jì)者若想有效的減小σmax的不確定性，最經(jīng)濟(jì)有效的方法是降低外徑d的不確定性。

工程算例2考慮文獻(xiàn)[20]中某型民機(jī)單側(cè)襟翼不對(duì)稱運(yùn)動(dòng)故障樹(shù)模型。襟翼傳動(dòng)機(jī)構(gòu)及其連接關(guān)系如下：內(nèi)襟翼由1、2號(hào)作動(dòng)器驅(qū)動(dòng)，且它們均沒(méi)有設(shè)置監(jiān)控內(nèi)襟翼傾斜角的傳感器，故不能單獨(dú)監(jiān)控內(nèi)襟翼的傾斜角度；外襟翼由3、4號(hào)作動(dòng)器驅(qū)動(dòng)，且它們均設(shè)置了角度傳感器，因而可以單獨(dú)監(jiān)控外襟翼的傾斜角度。襟翼傳動(dòng)機(jī)構(gòu)最外側(cè)的扭力管處裝有位置傳感器，用于監(jiān)控襟翼所處位置。襟翼位置控制系統(tǒng)是冗余的，由1、2號(hào)襟翼控制單元組成，控制系統(tǒng)可以自動(dòng)隔離故障控制單元的信號(hào)，采用正常的控制裝置進(jìn)行控制。襟翼控制裝置根據(jù)各傳感器的監(jiān)控信號(hào)采取相應(yīng)的控制行為，若監(jiān)控到系統(tǒng)傾斜或非對(duì)稱，則通過(guò)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)裝置使襟翼停止運(yùn)動(dòng)，從而將傾斜或非對(duì)稱控制在安全范圍內(nèi)。

該系統(tǒng)故障樹(shù)模型如圖8所示，頂事件A為該民機(jī)“單側(cè)襟翼不對(duì)稱運(yùn)動(dòng)”，包括8個(gè)中間事件M1～M8和12個(gè)底事件X1～X12，各事件的意義見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。模型輸出為頂事件A的發(fā)生概率，輸入為12個(gè)底事件的發(fā)生概率，假設(shè)12個(gè)輸入變量均服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)如表4所示。在實(shí)際工程中，底事件發(fā)生概率的不確定性來(lái)源于認(rèn)知不足，因而可通過(guò)收集數(shù)據(jù)而減小。本算例的任務(wù)是討論12個(gè)輸入變量對(duì)模型輸出的全局貢獻(xiàn)以高效減小頂事件發(fā)生概率的不確定性。

分別使用MC方法和本文所提方法計(jì)算靈敏度指標(biāo)vi和γi，結(jié)果見(jiàn)圖9和圖10。兩種方法所需計(jì)算量分別為N0=1.2×105、N1=121。使用準(zhǔn)MC方法計(jì)算12個(gè)輸入變量的方差總指標(biāo)STi，結(jié)果見(jiàn)圖11，所需計(jì)算量為N2=106。圖9和圖10的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法在計(jì)算基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)的準(zhǔn)確性和高效性。由圖10和圖11可以看出，僅有X1和X2計(jì)算所得靈敏度指標(biāo)值較大，由此可知X1和X2為重要變量，而其余變量均為不重要變量。因此，設(shè)計(jì)者若想高效的減小頂事件發(fā)生概率的不確定性，應(yīng)該多搜集X1和X2事件的數(shù)據(jù)以減小其發(fā)生概率的不確定性。

表4 故障樹(shù)底事件分布參數(shù)Table 4 Distribution parameters of basic events

5 結(jié) 論

1) 基于偏導(dǎo)數(shù)的全局靈敏度指標(biāo)γi既可以看作是局部靈敏度指標(biāo)的一種擴(kuò)展，又可以視為方差總指標(biāo)STi的一種近似。鑒于全局靈敏度指標(biāo)γi這種優(yōu)良的特性，本文提出了一種高效估算γi指標(biāo)的方法。該方法利用乘法降維公式將靈敏度指標(biāo)γi中的高維積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)一維積分連乘積的形式，然后利用高斯積分公式對(duì)一維積分進(jìn)行近似求解。

2) 在求解基于偏導(dǎo)數(shù)的靈敏度指標(biāo)時(shí)，需要求解特定點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)，以往方法大多采用有限差分法。此類方法的求解精度對(duì)積分步長(zhǎng)的大小十分敏感，當(dāng)積分步長(zhǎng)選取不當(dāng)時(shí)，有可能得出錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果。因此，本文采用復(fù)數(shù)步長(zhǎng)方法進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)的求解，其求解精度理論上隨步長(zhǎng)的減小而提高。

3) 本文所提方法可適用于復(fù)雜的非線性響應(yīng)函數(shù)，通過(guò)3個(gè)算例進(jìn)行了驗(yàn)證。

4) 由于本文所提方法的計(jì)算量隨輸入變量維數(shù)的增加呈線性增長(zhǎng)，因此，可適用于高維問(wèn)題。

參 考 文 獻(xiàn)

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