基于自由權矩陣的時變時延線性群系統(tǒng)編隊控制

石曉航，張慶杰，呂俊偉,

1. 海軍航空大學 控制工程系，煙臺 264001 2. 空軍航空大學 飛行器控制系，長春 130022

群系統(tǒng)編隊控制在很多領域都有著廣泛的應用[1-2]，如多無人機編隊控制、多衛(wèi)星編隊控制以及多機器人編隊控制等。傳統(tǒng)的編隊控制方法主要分為3種：領導者-跟隨者方法[3]、基于虛擬結構的方法[4]以及基于行為的方法[5]。

近年來，群系統(tǒng)一致性理論的發(fā)展和廣泛應用[6-7]，為編隊控制問題提供了新的解決思路。越來越多的學者開始關注基于一致性的編隊控制策略。文獻[8]給出了一種新的一致性控制協(xié)議，并針對大規(guī)模群系統(tǒng)，提出了一種有限時間編隊控制方法。文獻[9]對傳統(tǒng)的一致性方法進行擴展，使其可以收斂到指定位置，并應用于二階動態(tài)系統(tǒng)的編隊控制中。文獻[10]進一步利用多機器人平臺編隊實驗驗證了該方法的有效性。文獻[11]研究了一類二階動態(tài)非線性群系統(tǒng)的編隊控制問題，并分析了通信拓撲對編隊形成的影響。文獻[12]研究了基于一致性策略的二階無人機系統(tǒng)時變編隊控制方法。文獻[13-14]針對二階無人機系統(tǒng)，考慮通信拓撲結構改變的問題，提出了切換拓撲的一致性編隊控制方法。文獻[15]通過證明給出輪式小車群系統(tǒng)實現(xiàn)編隊的充要條件。文獻[9-15]研究的群系統(tǒng)大都為一階或二階的動態(tài)系統(tǒng)。文獻[16-17]討論了高階線性定常系統(tǒng)的編隊和跟蹤穩(wěn)定性問題。文獻[18]討論了一類由多個二階系統(tǒng)串聯(lián)而成的高階線性系統(tǒng)的編隊控制問題。文獻[19]研究了高階群系統(tǒng)時不變編隊的可行性。

文獻[8-19]研究的均為群系統(tǒng)在理想通信條件下的編隊控制問題，但在實際應用中不得不考慮時延對群系統(tǒng)編隊形成的影響。針對二階群系統(tǒng)，文獻[20]指出時延會對編隊形成所需的時間產生影響，并通過引入自身時延，減小了時延對編隊的影響，提高了編隊控制算法的收斂速度。文獻[21]研究了二階群系統(tǒng)在位置時延和速度時延同時存在的編隊控制問題，并指出通信時延的增大并不一定使系統(tǒng)性能變差。文獻[22]研究了常數(shù)時延和聯(lián)合連通拓撲情況下的飛行器編隊控制問題。文獻[20-22]只定性討論了時延對群系統(tǒng)編隊形成的影響，而實際上時延上界是編隊控制器增益選取和編隊協(xié)議設計的重要依據(jù)，甚至還會影響編隊形成的時間。文獻[23]利用Lyapunov-Razumikhin定理給出二階系統(tǒng)實現(xiàn)時不變/時變編隊時系統(tǒng)所允許的時延上界。文獻[24]給出了高階群系統(tǒng)在時延情況下形成編隊的充要條件。從現(xiàn)有研究成果來看，雖然考慮了通信時延對群系統(tǒng)編隊產生的影響，但大都假定固定時延[20-24]，編隊形成的分析方法主要以時域下的Lyapunov-Razumikhin或Lyapunov-Krasovskii為主，如文獻[23-24]，所得的群系統(tǒng)所允許時延上界存在一定的保守性。

本文主要研究了一種基于自由權矩陣方法的時變時延線性群系統(tǒng)編隊控制問題。與已有文獻結果相比，主要貢獻有：① 放寬通信時延的約束條件。不同于文獻[20-24]關于固定時延的假設，本文討論時變時延，這對編隊形成問題的分析提出了挑戰(zhàn)。② 不同于文獻[24]的狀態(tài)空間分解方法，利用變量代換方法將群系統(tǒng)編隊問題轉化為時延系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題。③ 為降低文獻[23-24]在計算時延上界時的保守性，采用自由權矩陣方法來分析群系統(tǒng)編隊形成問題。同時，低保守性的控制算法縮短了編隊形成時間。在之前的工作中，文獻[25-26]研究了時變時延群系統(tǒng)平均一致性問題，通過引入自由權矩陣[27-28]，得到了保守性較低的時延穩(wěn)定性判據(jù)。

本文的結構具體安排為：第1節(jié)簡要介紹圖論知識和相關引理。第2節(jié)對時變時延條件下的線性群系統(tǒng)編隊問題進行描述，并設計了具有時延的一致性編隊控制協(xié)議。在第3節(jié)中，將群系統(tǒng)編隊控制問題轉化為時延系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，構造合適的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)并利用自由權矩陣方法得到了保守性較低的線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)判據(jù)，給出時延上界和控制器增益的求解方法。第4節(jié)通過仿真實驗，驗證了方法的有效性，并與已有方法進行了對比分析。最后對全文進行了總結。

1 圖論知識和相關引理

1.1 圖論知識概述

1.2 相關引理

引理1[29]圖G的拉普拉斯矩陣L至少有一個0特征值，且1是0特征值所對應的右特征向量，即L1=0。如果圖G是一個有向圖，且含有一個有向生成樹(至少存在一個節(jié)點到其他所有節(jié)點都有一條有向路徑)，則0是L的單特征值，其他的非零特征值均具有正實部。

引理2[30]如果矩陣Y∈RN×N的各行和均為零，則存在矩陣Z∈RN×(N-1)和矩陣E∈R(N-1)×N使得Y=ZE,E的定義為

如果0是矩陣Y的單特征值，那么矩陣Z是列滿秩的。

1)S<0

2 問題描述及編隊控制協(xié)議

2.1 問題描述

由N個主體組成的群系統(tǒng)為

(1)

式中：i=1,2,…,N;A為系統(tǒng)矩陣;xi(t)∈Rn為第i個主體的狀態(tài)；ui(t)∈Rm為第i個主體的控制輸入。假設輸入矩陣B是列滿秩矩陣，各主體之間的通信用有向圖G表示，且圖G具有一個生成樹。

定義1對于群系統(tǒng)式(1)，如果存在一個向量函數(shù)r(t)∈Rn使得

(2)

則稱群系統(tǒng)式(1)能夠形成時變編隊h(t)，其中r(t)為編隊參考函數(shù)，可以表示編隊中心的運動模態(tài)。

2.2 時延編隊控制協(xié)議

基于一致性理論，具有時延的狀態(tài)編隊控制協(xié)議為

ui(t)=ui1(t)+ui2(t)+ui3(t)i=1,2,…,N

(3)

式中：

若dt為非時變的固定時延τ時，編隊控制協(xié)議與文獻[24]中的協(xié)議類似。

3 編隊控制協(xié)議設計

3.1 變量代換

將式(3)代入式(1)，并令

得到系統(tǒng)式(1)的閉環(huán)方程為

(4)

式中：L為拓撲連通圖的拉普拉斯矩陣。

令

則式(4)可以轉換為

(5)

并令

則有

(6)

E由引理2給出。

由引理1和引理2可知，存在列滿秩矩陣Z∈RN×(N-1)，使得L=ZE，對式(6)求導可得

(7)

式中：Z=LET(EET)-1。

(8)

且閉環(huán)時延系統(tǒng)

(EZ?BK2)φ(t-dt)

(9)

是漸近穩(wěn)定的，群系統(tǒng)式(1)可以形成編隊h(t)。

(10)

(11)

對于式(10)，可以通過選取輔助函數(shù)vi(t)使其成立。但對于式(11)，其中不包含控制協(xié)議式(3)中的控制量，即群系統(tǒng)若要形成編隊h(t)，自身的動態(tài)特性需要滿足式(11)。

編隊控制協(xié)議中的ui1(t)不包含dt，可參照文獻[24]中的方法對ui1(t)進行設計。即通過配置狀態(tài)編隊參考r(t)的運動模態(tài)，設計控制器增益K1，這里不再詳細描述。

對于ui2(t)中的輔助函數(shù)vi(t)，需考慮式(11)是否成立。若式(11)成立，則群系統(tǒng)可以形成編隊，vi(t)可以通過求解式(10)得到；若式(11)不成立，則說明群系統(tǒng)無法形成該指定編隊。

下面，重點介紹控制協(xié)議ui3(t)中K2的設計及時延dt上界的求解方法。

3.2 時延系統(tǒng)鎮(zhèn)定分析

(12)

對于時延系統(tǒng)式(12)，K1的求解方法由3.1節(jié)中給出，因此需要考慮如何選取K2使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。定理1給出了時延系統(tǒng)式(12)鎮(zhèn)定的條件。

(13)

式中：

證明：利用牛頓-萊布尼茨公式，有

(14)

由式(14)，對于任意合適維數(shù)的矩陣M1和M2，有

2[φT(t)(IN-1?M1)T+φT(t-dt)·

(IN-1?M2)T]φ(t)-

(15)

另一方面，對于任意合適維數(shù)的矩陣Xij(i=1,2;i≤j≤2)，有式(16)成立

(16)

式中：

構造如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(t,φt)=φT(t)(IN-1?P)φ(t)+

(17)

則V(t,φt)的導數(shù)為

(18)

(19)

式中：

由Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理可知，在式(19)中，如果

(20)

成立，則閉環(huán)系統(tǒng)式(12)是漸近穩(wěn)定的。

由引理3，

(21)

式中：

如果式(20)對嚴格不等號成立，則

(22)

式中：

Γ2=[IN-1?M1,IN-1?M2]

由引理4，式(21)和式(22)同時成立，當且僅當

(23)

而式(23)等價于

(24)

則可知若式(24)成立，則式(20)一定成立。由Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理，若式(24)成立，系統(tǒng)式(12)是漸近穩(wěn)定的。

由于式(24)中存在非線性項，為求解控制器增益K2，需要對式(24)作進一步處理。定義：

那么，就有

然后，令M1=aP,M2=bQ。此時U是可逆的，且

(25)

定義矩陣

利用矩陣Ω對式(24)中的矩陣Ξ進行合同變換，左乘ΩT，右乘Ω，得到

ΩTΞΩ=

(26)

式中：

(27)

3.3 編隊控制器設計步驟

下面的算法給出了編隊控制器的設計方法。

對于群系統(tǒng)式(1)和編隊控制協(xié)議式(3)，K1、K2以及vi(t)的設計步驟為：

步驟1對于指定的編隊h(t)，判斷式(11)是否成立，若成立，通過時變編隊h(t)和式(10)求出vi(t)。

步驟2根據(jù)需要，通過選取合適的控制器增益K1將A+BK1的極點配置在復平面上的指定位置，從而完成對狀態(tài)編隊參考r(t)的運動模態(tài)配置。

4 數(shù)值仿真與分析

考慮6個主體組成的群系統(tǒng)，各主體之間的通信拓撲G如圖1所示。

4.1 多無人機編隊控制

將群系統(tǒng)中的6個主體看做是6架無人機，根據(jù)文獻[12,33]每架無人機的運動學模型由式(1)描述，其中

對于上述運動學模型，編隊控制輸入ui(t)即為每架無人機的加速度輸入。考慮到無人機自身的加速度限制，將編隊控制輸入限制在±5 m/s2之間[33]。

定義參考編隊h(t)為

其中:半徑r=6m，角速度ω=0.25 rad/s。形成編隊后，6架無人機分布在半徑為6 m的圓周上且圍繞編隊中心旋轉。根據(jù)3.3節(jié)算法的步驟1，可以得到輔助函數(shù)為

根據(jù)極點配置要求，選取K1=I2?[-2,-1.2]，此時編隊中心固定。利用3.3節(jié)中的算法，借助LMI的feasp求解器和MATLAB工具箱中的優(yōu)化算法，得到系統(tǒng)的時延上界為0.9 s。利用參數(shù)a、b可以求解出不同時延下的控制器增益K2。令時變時延為(0.5+0.4 sint)s，得到控制器增益為K2=I2?[-0.228 6,0.257 2]。

圖2給出了仿真時間為100 s的無人機運動軌跡，圖3為50～53 s之間的軌跡截圖。其中，方框和五角星分別代表對應仿真時間段的起點和終點。可以看出，在飛行一段時間后，6架無人機形成了指定編隊，圍繞固定的編隊中心飛行并保持穩(wěn)定。

圖4給出了每架無人機的編隊控制輸入曲線及其局部放大圖。從圖4中可以看出，輸入值超過限制值的情況多發(fā)生在初始的動態(tài)調整階段。進行輸入限幅之后，在起始階段，超過±5 m/s2范圍的輸入被限制在±5 m/s2之間。經過一段時間之后，無人機編隊形成且趨于穩(wěn)定，編隊控制輸入保持在一個較小的范圍內變化。

表1給出了不同時延變化率上界μ的情況下，編隊形成所需的時間。當無人機的狀態(tài)與編隊狀態(tài)差值的方差小于10-4時，則認為形成編隊。

表1 不同μ下的編隊形成時間Table 1 Formation time with different μ

從表1中不難發(fā)現(xiàn)，隨著時延變化率上界μ的增大，編隊形成所需要的時間有所增加，但都可以在一定的時間內形成編隊。

4.2 算法性能比較

為了比較算法的性能，參照文獻[24]的仿真條件。每個主體由式(1)描述，其中A、B以及編隊h(t)和各主體的初始狀態(tài)參見文獻[24]。

根據(jù)3.3節(jié)中的算法，可以得到：

選取K1=[3.088,-9.316,-8.180]，使得A+BK1的特征值分別為0.02、-2.2和-2。這時，編隊參考r(t)將緩慢發(fā)散。

首先，對算法求取時延上界的保守性進行分析。利用本文方法所得到的時延上界為1.01 s，相比于文獻[24]方法的0.68 s提高了約48%。本文在分析時延系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題時，引入了自由權矩陣，在求解過程中，對自由權矩陣的參數(shù)a和b進行了優(yōu)化選取，因此得到了保守性更小的時延上界求解方法。

參照文獻[24]給出的條件對編隊的形成速度進行分析，設定時延為0.02 s，圖5給出了利用文獻[24]方法和本文方法，得到的各主體的狀態(tài)與編隊相應狀態(tài)差值的曲線,其差值可表示為zij=xij-hij(i=1,2,…,6;j=1,2,3),其中i為主體,j為狀態(tài)。同樣定義差值的方差小于10-4時，各狀態(tài)差值趨于一致。圖5中虛線給出了狀態(tài)差值達到一致的時間。從圖5中可以看出，本文與文獻[24]設計的控制器均能使各主體的狀態(tài)與相應編隊狀態(tài)的差值趨于一致，即形成期望的編隊。但利用本文方法，形成編隊的時間為77.88 s,而利用文獻[24]方法形成編隊的時間為164.94 s，因此，利用本文方法得到的控制器增益可以使群系統(tǒng)中各主體的狀態(tài)更快地趨于一致，減小了編隊形成所需的時間。

表2列出了5個不同初始值下，文獻[24]方法和本文方法形成編隊所需要的時間。從中可以看出，不同初始值的情況下，利用本文方法形成編隊所需要的時間均小于文獻[24]方法。

本文算法中，在得到了時延上界及其對應的控制器增益K2后，針對不同的時延，可以求解出與該時延相對應的控制器增益K2，相當于對K2也進行了優(yōu)化選取。因此，提高了編隊形成的速度。

表2 不同初值編隊形成時間比較

5 結 論

本文利用一致性理論和自由權矩陣方法，解決了時變時延條件下的線性群系統(tǒng)編隊控制問題，具體結論為：

1) 考慮時變時延條件下的群系統(tǒng)編隊控制問題。與已有文獻相比，本文放寬了對時延的約束條件。

2) 利用自由權矩陣方法對系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題進行分析，得到了編隊形成的LMI判據(jù)以及時延上界和控制器增益的求解方法。自由權矩陣的引入，降低了LMI判據(jù)的保守性，得到的時延上界及編隊的形成速度均有所提高。

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