閉式葉輪五軸原位檢測(cè)路徑規(guī)劃與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

李文龍，王剛，尹周平

華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074

閉式葉輪是核電、航空航天、能源動(dòng)力、石油化工等領(lǐng)域的核心動(dòng)力部件之一，其制造精度對(duì)整機(jī)服役性能至關(guān)重要。為滿足服役要求，閉式葉輪設(shè)計(jì)為葉片、輪盤和輪轂一體化結(jié)構(gòu)，加工及檢測(cè)極為困難，主要體現(xiàn)在：①結(jié)構(gòu)封閉，四面約束，流道狹長；②葉型復(fù)雜，葉片薄壁，扭曲度大；③材料難加工，刀具懸伸長，易產(chǎn)生切削振動(dòng)和讓刀變形，加工精度難以控制?，F(xiàn)有方法大多采用離線三坐標(biāo)檢測(cè)，需將工件從機(jī)床搬運(yùn)到特定測(cè)量室，勞動(dòng)強(qiáng)度大，如CAP1400核電葉輪重達(dá)0.5 t，人工搬運(yùn)極為困難。此外，二次裝夾引起重定位誤差，且由于定位基準(zhǔn)的改變，無法對(duì)葉型超差區(qū)域進(jìn)行補(bǔ)償修復(fù)，加大了工件報(bào)廢的可能性。

在工件無需二次裝夾的前提下，使用數(shù)控機(jī)床集成的測(cè)頭對(duì)葉輪葉片等復(fù)雜零件進(jìn)行原位檢測(cè)與加工誤差分析已成為先進(jìn)制造領(lǐng)域的研究前沿之一[1-3]。盧萬崎等[4]研究了航空葉片等高測(cè)量法，用于葉片截面線擬合和葉型重構(gòu)，其中原位檢測(cè)技術(shù)可避免二次裝夾定位和對(duì)刀引起的重定位誤差和葉片變形，從而控制超差和產(chǎn)品報(bào)廢率。Mears等[5]綜述了機(jī)床集成測(cè)頭在數(shù)控加工中的發(fā)展前景，著重指出原位檢測(cè)技術(shù)在產(chǎn)品質(zhì)量快速評(píng)估、生產(chǎn)周期控制、自適應(yīng)加工方面的應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[6-9]研究了復(fù)雜零件原位檢測(cè)系統(tǒng)的誤差分離與補(bǔ)償方法，力圖解決機(jī)床幾何誤差、測(cè)頭半徑誤差、工件加工變形等對(duì)加工精度的影響。Huang等[10]采用原位檢測(cè)技術(shù)研究了葉輪曲面測(cè)點(diǎn)與設(shè)計(jì)包絡(luò)面的輪廓誤差，用于側(cè)銑加工過程讓刀變形和誤差補(bǔ)償，實(shí)驗(yàn)中加工精度提升70%左右。Cho等[11]提出了一種基于網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)的葉輪加工工序優(yōu)化方法，采用專家系統(tǒng)減少與工藝規(guī)劃有關(guān)的生產(chǎn)成本，其中原位檢測(cè)技術(shù)可用于加工后葉片尺寸誤差的快速評(píng)估。Liu等[12]對(duì)大型火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴管加工過程中工件輪廓進(jìn)行原位測(cè)量，并對(duì)當(dāng)前加工狀態(tài)下的曲面模型進(jìn)行再設(shè)計(jì)，用于后續(xù)余量修正與補(bǔ)償加工，可將加工精度控制在±0.1 mm范圍內(nèi)。

從幾何原理上來說，五軸數(shù)控機(jī)床可加工的曲面特征一定可檢測(cè)，所以閉式葉輪原位檢測(cè)路徑規(guī)劃可以參考葉輪五軸加工方面的研究成果。Meng等[13]研究了4種刀具的曲面特征，并以葉片最大曲率值作為幾何約束，生成無干涉五軸加工路徑。王晶等[14]建立了五軸刀軸矢量整體優(yōu)化新模型，可以改善機(jī)床運(yùn)動(dòng)性能。Chen[15]提出一種葉輪五軸側(cè)銑加工刀軸方向優(yōu)化方法，根據(jù)葉輪與刀具之間重疊區(qū)體積搜索最優(yōu)刀軸方向，此外，文獻(xiàn)[16-17]提出了類似的葉輪加工刀軸優(yōu)化和工藝參數(shù)優(yōu)化方法。Bi等[18-19]提出一種基于GPU硬件加速的刀軸可接近錐計(jì)算方法，用于避免加工過程中刀具與相鄰葉片、輪盤和輪轂之間的干涉，并采用控制相鄰刀軸夾角偏差的方法在可接近錐中搜索刀軸方向?？山咏F理論上可推廣應(yīng)用于五軸原位檢測(cè)路徑規(guī)劃，但閉式葉輪結(jié)構(gòu)封閉，流道狹長，葉片彎扭曲大，在測(cè)針/測(cè)柄不與輪蓋、葉片、輪轂產(chǎn)生干涉的前提下，檢測(cè)路徑應(yīng)盡可能光順，避免機(jī)床急轉(zhuǎn)急停以及旋轉(zhuǎn)軸擺動(dòng)過快存在的潛在干涉問題。

本文根據(jù)閉式葉輪曲面特征，定義了4種形式的可接近錐，構(gòu)造了基于彈性勢(shì)能最小化的五軸原位檢測(cè)路徑規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用前向歐拉差分法在定義的連續(xù)檢測(cè)可接近錐中計(jì)算測(cè)軸方向，并通過某閉式葉輪原位檢測(cè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 葉輪可接近錐定義

H∩So=Φ}

(1)

單點(diǎn)可接近錐的定義與五軸數(shù)控加工刀觸點(diǎn)可接近錐定義類似，但待測(cè)點(diǎn)pi的可接近性需要保證從測(cè)量起點(diǎn)qi(qi=pi+lvi，其中l(wèi)表示偏置常數(shù))沿法矢方向vi無干涉接近點(diǎn)pi，即線段qipi上各點(diǎn)在測(cè)軸方向vic可接近,設(shè)pλ為線段qipi上的任意一點(diǎn)。

H∩So=Φ,?pλ∈qipi}

(2)

線段qipi上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，考慮到測(cè)點(diǎn)pi與起點(diǎn)qi距離很近，可取線段兩端點(diǎn)的單點(diǎn)可接近錐的公共部分作為待測(cè)點(diǎn)pi處的可接近錐，即：

ACC(pi,vi,So)=ACS(pi,So)∩ACS(qi,So)

(3)

閉式葉輪流道狹長、扭曲度大，干涉嚴(yán)重，型面加工與測(cè)量時(shí)一般從進(jìn)氣端及出氣端分別進(jìn)行。如圖2所示，設(shè)進(jìn)氣端流道截面的法矢方向?yàn)関in，出氣端流道截面的法矢方向?yàn)関out。根據(jù)測(cè)軸方向vic與vin和vout夾角是否小于90°，可劃分為進(jìn)氣端可接近錐和出氣端可接近錐。

(4)

點(diǎn)pi的單點(diǎn)可接近錐為ACS(pi)，單點(diǎn)線段可接近錐為ACC(pi)，進(jìn)氣端可接近錐為ACCin(pi)，出氣端可接近錐為ACCout(pi)。

根據(jù)約束關(guān)系，可將一條路徑上的待測(cè)點(diǎn)劃分為進(jìn)氣端待測(cè)點(diǎn)集和出氣端待測(cè)點(diǎn)集：

(5)

式中：num(·)表示可接近錐中測(cè)軸方向矢量的數(shù)量。為保證相鄰測(cè)點(diǎn)無干涉，進(jìn)一步定義進(jìn)氣端連續(xù)檢測(cè)可接近錐和出氣端連續(xù)檢測(cè)可接近錐。

進(jìn)氣端連續(xù)檢測(cè)可接近錐：

(6)

出氣端連續(xù)檢測(cè)可接近錐：

(7)

式(6)和式(7)中EACC(pi)為單個(gè)測(cè)點(diǎn)pi的連續(xù)檢測(cè)可接近錐；nin為進(jìn)氣端檢測(cè)路徑測(cè)點(diǎn)數(shù)。

連續(xù)檢測(cè)可接近錐對(duì)當(dāng)前待測(cè)點(diǎn)和其相鄰點(diǎn)都可接近，給出了五軸原位檢測(cè)測(cè)軸方向的可行域，即測(cè)頭沿檢測(cè)路徑連續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)與葉片曲面(接觸點(diǎn)除外)和障礙物均不會(huì)發(fā)生干涉。

2 目標(biāo)函數(shù)建模與測(cè)軸方向優(yōu)化

2.1 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

(8)

式中：θmax為角度閾值，保證檢測(cè)路徑光順性，避免測(cè)軸方向變化過大引起機(jī)床急轉(zhuǎn)急停。

如圖3(b)所示，當(dāng)所有彈簧受力平衡時(shí)，式(8)彈性勢(shì)能最小，此時(shí)第i個(gè)測(cè)軸所受合力為

(9)

式中：fi,j表示第j個(gè)測(cè)軸相對(duì)第i個(gè)測(cè)軸的作用力，其模長和方向?yàn)?/p>

(10)

其中：di,j為矢量vjc-vic在對(duì)應(yīng)高斯球面(測(cè)軸矢量vic)切平面上的投影。所以彈簧作用力為

fi,j=(kθi,j)di,j

(11)

注意，彈簧模型中首尾測(cè)軸受單向力作用，滿足：

f1,0=fn,n+1=0

(12)

因此，式(8)中彈性勢(shì)能最小化等價(jià)于：

(13)

式中：|F|為所有測(cè)軸所受合力的模長和。彈性系數(shù)k數(shù)值大小對(duì)參數(shù)計(jì)算結(jié)果無影響。

2.2 計(jì)算測(cè)軸方向

根據(jù)式(13)，為使彈簧達(dá)到受力平衡，考慮將每個(gè)待測(cè)點(diǎn)的測(cè)軸矢量vic沿合力fi方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，用于減小該點(diǎn)處所受合力。設(shè)待測(cè)點(diǎn)pi處測(cè)軸矢量vic為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，則有：

(14)

式中：m為微分運(yùn)算對(duì)應(yīng)的合力系數(shù)。定義測(cè)軸方向初始值vic(0)=vic,0為與可接近錐EACC(pi)平均方向矢量夾角最小的矢量，其中平均方向矢量為

(15)

所以vic,0表示為

(16)

理論上當(dāng)|fi|=0時(shí)，vic處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)整條路徑合力|F|=0時(shí)，整條路徑處于穩(wěn)定狀態(tài)，即路徑光順。下面可采用前向歐拉差分法計(jì)算測(cè)軸方向，設(shè)離散化時(shí)間間隔dt=Δt，在第u個(gè)迭代步驟，dvic=vic,u+1-vic,u,vic,u=vic(uΔt)，故：

(17)

注意，計(jì)算得到的vic,u+1必須在可接近錐EACC(pi)范圍內(nèi)，詳細(xì)計(jì)算過程如圖4所示，umax和e分別表示最大迭代次數(shù)和合力下降速度閾值。

3 閉式葉輪原位檢測(cè)實(shí)驗(yàn)

3.1 檢測(cè)路徑生成與仿真實(shí)驗(yàn)

如圖5所示，實(shí)驗(yàn)中采用某型號(hào)五葉閉式葉輪，葉輪外徑為250 mm，高度為115 mm，葉片厚度為5 mm。每個(gè)葉片設(shè)計(jì)三條連續(xù)的檢測(cè)路徑，紅色線表示待測(cè)點(diǎn)法矢方向，測(cè)量起點(diǎn)與待測(cè)點(diǎn)偏置常數(shù)l=10 mm，壓力面和吸力面待測(cè)點(diǎn)數(shù)為35，前緣面待測(cè)點(diǎn)數(shù)為10。

由于閉式葉輪流道狹長，葉片彎扭曲，測(cè)頭探針無法從流道一端完成整個(gè)葉片測(cè)量，實(shí)際加工或測(cè)量時(shí)均采用專用工裝夾具對(duì)葉輪翻面裝夾，因此規(guī)劃檢測(cè)路徑時(shí)需根據(jù)待測(cè)點(diǎn)可接近錐分布對(duì)每條路徑上的待測(cè)點(diǎn)集P分段。可接近錐的計(jì)算首先三角化高斯球面可獲取離散參考方向(本文離散為1 280個(gè))，采用借助于OpenGL的遮擋查詢功能，在可接近錐的計(jì)算中考慮測(cè)桿大小，并由GPU實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算，提高計(jì)算效率。詳細(xì)計(jì)算過程可參考文獻(xiàn)[3]。實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定umax=200,Δt=0.1,m=0.1,e=10-5,θmax=5°。根據(jù)式(4)，計(jì)算每個(gè)待測(cè)點(diǎn)進(jìn)氣端可接近錐ACCin(pi)和出氣端可接近錐ACCout(pi)，如圖6所示。根據(jù)式(5)，將P劃分為進(jìn)氣端點(diǎn)集Pin和出氣端點(diǎn)集Pout，其中Pin包含37個(gè)待測(cè)點(diǎn)，Pout包含43個(gè)待測(cè)點(diǎn)。由于葉輪出氣端后緣不需要檢測(cè)，Pout以后緣為界，可劃分為Pout1和Pout2兩段，如圖7所示。根據(jù)式(6)和式(7)，計(jì)算進(jìn)氣端連續(xù)檢測(cè)可接近錐ACP(Pin)和出氣端連續(xù)檢測(cè)可接近錐ACP(Pout)。根據(jù)式(13)彈性勢(shì)能最小化原理和式(17)參數(shù)求解方法，計(jì)算進(jìn)氣端待測(cè)點(diǎn)集Pin連續(xù)檢測(cè)路徑、出氣端待測(cè)點(diǎn)集Pout1連續(xù)檢測(cè)路徑和出氣端待測(cè)點(diǎn)集Pout2連續(xù)檢測(cè)路徑，如圖8所示。

下面采用刀軸優(yōu)化中常用的累積夾角最小化算法(角度法)[20]生成點(diǎn)集P的連續(xù)檢測(cè)路徑，計(jì)算所得測(cè)軸方向在可接近錐范圍內(nèi)，相鄰測(cè)軸方向偏差不超過5°。計(jì)算結(jié)果如圖9所示，可見角度法生成的連續(xù)檢測(cè)路徑在進(jìn)氣端前緣過渡處和出氣端部分區(qū)域出現(xiàn)明顯波動(dòng)(綠色圈內(nèi))，即存在路徑不光順現(xiàn)象，將導(dǎo)致原位檢測(cè)過程測(cè)軸急轉(zhuǎn)急停。引起這一問題的主要原因是角度法目標(biāo)函數(shù)以不產(chǎn)生干涉和控制相鄰測(cè)軸方向偏差為主,未充分考慮連續(xù)檢測(cè)路徑的光順性。

下面定義兩種路徑光順性評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)彈性勢(shì)能法和角度法進(jìn)行比較。角度增量指標(biāo)：

Δθi=arccos(v(i+1)c·vic)-arccos(vic·v(i-1)c)

(18)

檢測(cè)路徑經(jīng)后置處理后得到機(jī)床A、C轉(zhuǎn)角，故也可根據(jù)A、C轉(zhuǎn)角增量指標(biāo)評(píng)價(jià)路徑光順性：

(19)

如圖10所示為生成的進(jìn)氣端檢測(cè)路徑光順性對(duì)比圖。角度法生成的角度增量及A、C轉(zhuǎn)角增量在路徑起始區(qū)域及終止區(qū)域均存在較大波動(dòng)，最大角度增量及A、C轉(zhuǎn)角增量達(dá)到4°，可能導(dǎo)致機(jī)床急轉(zhuǎn)急停，超出行程范圍；而彈性勢(shì)能法生成的角度增量及A、C轉(zhuǎn)角增量控制在1°以下，不存在測(cè)軸方向突變，可避免機(jī)床急轉(zhuǎn)急停問題。

3.2 原位檢測(cè)與輪廓誤差評(píng)估

如圖11所示，原位檢測(cè)實(shí)驗(yàn)在Mikron UCP800五軸加工中心進(jìn)行，配備Renishaw OMP40測(cè)頭(單點(diǎn)精度為0.001 mm，紅寶石球直徑為6 mm，探針長度為100 mm)，搭載Heidenhain iTNC530數(shù)控系統(tǒng)(A軸角度為-100°～+120°，C軸360°旋轉(zhuǎn))。將彈性勢(shì)能法生成的檢測(cè)路徑在Delcam環(huán)境進(jìn)行仿真與干涉檢驗(yàn)，轉(zhuǎn)化成加工中心可直接讀取的.h文件，完成進(jìn)氣端和出氣端原位檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)中，先完成進(jìn)氣端檢測(cè)，通過工裝翻面后再完成出氣端檢測(cè)，最終獲得葉片曲面完整的檢測(cè)誤差數(shù)據(jù)。

三條檢測(cè)路徑對(duì)應(yīng)的輪廓誤差如圖12所示，其中葉片從輪蓋到輪轂共設(shè)置3行測(cè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)圖中三條曲線。每行共分布80個(gè)測(cè)點(diǎn)，包括吸力面待測(cè)點(diǎn)35個(gè)，前緣待測(cè)點(diǎn)10個(gè)，壓力面待測(cè)點(diǎn)35個(gè)，其中前緣面屬于高曲率區(qū)域，需要布置相對(duì)密集的測(cè)點(diǎn)以保證曲面特征檢測(cè)信息盡可能完整。圖12中正向誤差值代表欠切，負(fù)向誤差代表過切。由圖可發(fā)現(xiàn)誤差曲線大部分位于x軸以下，表示葉片大部分區(qū)域存在過切現(xiàn)象。除前緣處由于高曲率特征導(dǎo)致誤差分布存在一定波動(dòng)外，葉片曲面輪廓誤差分布較為平穩(wěn)，絕對(duì)值控制在0.1 mm范圍內(nèi)。引起加工誤差的主要原因有：①刀具懸伸長，剛性差，加工過程中存在嚴(yán)重振動(dòng)，同時(shí)閉式葉輪屬于薄壁零件，結(jié)構(gòu)剛性差，加工過程中工件易振動(dòng)，這是引起過切的主因；②閉式葉輪加工及檢測(cè)都需要進(jìn)行翻面裝夾，引入一定的裝夾定位誤差。

4 結(jié) 論

1) 根據(jù)閉式葉輪曲面結(jié)構(gòu)，定義了單點(diǎn)可接近錐、單點(diǎn)線段可接近錐、進(jìn)氣端/出氣端可接近錐、進(jìn)氣端/出氣端連續(xù)檢測(cè)可接近錐，為五軸原位檢測(cè)刀軸方向優(yōu)化提供可行域。

2) 構(gòu)造基于彈性勢(shì)能最小化的原位檢測(cè)路徑規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)，并應(yīng)用前向歐拉差分法在可接近錐中迭代計(jì)算測(cè)軸方向，生成無干涉且全局光順的原位檢測(cè)路徑，可避免機(jī)床急轉(zhuǎn)急停。

3) 將得到的檢測(cè)路徑導(dǎo)入Mikron五軸加工中心完成某型號(hào)閉式葉片原位檢測(cè)，實(shí)驗(yàn)中角度增量及A、C轉(zhuǎn)角增量不超過1°，驗(yàn)證了所提方法可保證全局光順，具有重要應(yīng)用價(jià)值。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 藺小軍, 陳悅, 王志偉, 等. 面向自適應(yīng)加工的精鍛葉片前后緣模型重構(gòu)[J]. 航空學(xué)報(bào), 2015, 36(5): 1695-1703.

LIN X J, CHEN Y, WANG Z W, et al. Model restructuring about leading edge and trailing edge of precision forging blade for adaptive machining[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2015, 36(5): 1695-1703 (in Chinese).

[2] 高健, 黃沛霖, 文章, 等. 復(fù)雜曲面零件加工精度原位檢測(cè)系統(tǒng)的殘余誤差補(bǔ)償[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2016, 52(15): 139-146.

GAO J, HUANG P L, WEN Z, et al. Residual error compensation of in-situ inspection system for precision machining of complex components[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(15): 139-146 (in Chinese).

[3] LI W L, WANG G, ZHANG G, et al. A interference-free inspection path generation for impeller blades using an on-machine probe[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2017, 22(3): 1218-1226.

[4] 盧萬崎, 楊海成, 常智勇, 等. 一種葉片在機(jī)測(cè)量數(shù)據(jù)重構(gòu)建模技術(shù)研究[J]. 航空制造技術(shù), 2014(7): 84-87.

LU W Q, YANG H C, CHANG Z Y, et al. Blade reconstruction method in on-machine inspection[J]. Aeronautical Manufacturing Technology, 2014(7): 84-87 (in Chinese).

[5] MEARS L, ROTH J T, DJURDJANOVIC D, et al. Quality and inspection of machining operations: CMM integration to the machine tool[J]. ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2009, 131(5): 051006.

[6] BRANDY H T, DONMEZ MA, GILSINN D E. Methodology for compensating errors detected by process-intermittent inspection[M]. Gaithersburg: National Institute of Standards and Technology, 2001.

[7] CHO M W, KIM G H, SEO T I, et al. Integrated machining error compensation method using OMM data and modified PNN algorithm[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2006, 46(12-13): 1417-1427.

[8] CHO M W, SEO T I. 2002 inspection planning strategy for the on-machine measurement process based on CAD/CAM/CAI integration[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2002, 19(8): 607-617.

[9] 陳岳坪, 高健, 鄧海祥, 等. 復(fù)雜曲面的在線檢測(cè)與加工誤差補(bǔ)償方法研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2012, 48(23): 143-151.

CHEN Y P, GAO J, DENG H X, et al. On-line inspection and machining error compensation for complex surfaces[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(23): 143-151 (in Chinese).

[10] HUANG N D, BI Q Z, WANG Y H, et al. 5-axis adaptive flank milling of flexible thin-walled parts based on the on-machine measurement[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2014, 84(6): 1-8.

[11] CHO M, KIM D, LEE C, et al. CBIMS: Case-based impeller machining strategy support system[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2009, 25(6): 980-988.

[12] LIU H B, WANG Y Q, JIA Z Y, et al. Integration strategy of on-machine measurement (OMM) and numerical control (NC) machining for the large thin-walled parts with surface correlative constraint[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2015, 80(9-12): 1721-1731.

[13] MENG F J, CHEN Z Y, XU R F, et al. Optimal barrel cutter selection for the CNC machining of blisk[J]. Computer-Aided Design, 2014, 53(5): 36-45.

[14] 王晶, 張定華, 羅明, 等. 復(fù)雜曲面零件五軸加工刀軸整體優(yōu)化方法[J]. 航空學(xué)報(bào), 2013, 34(6): 1452-1462.

WANG J, ZHANG D H, LUO M, et al. A global tool orientation optimization method for five-axis CNC machining of sculptured surfaces[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2013, 34(6): 1452-1462 (in Chinese).

[15] CHEN K H. Investigation of tool orientation for milling blade of impeller in five-axis machining[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2011, 52(1-4): 235-244.

[16] CHU C H, HUANG W N, LI Y W. An integrated framework of tool path planning in 5-axis machining of centrifugal impeller with split blades[J]. Journal of Intelligent Manufacturing, 2012, 23(3): 687-698.

[17] WU B H, ZHANG D H, LUO M, et al. Collision and interference correction for impeller machining with non-orthogonal four-axis machine tool[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2013, 68(1-4): 693-700.

[18] BI Q Z, WANG Y H, DING H. A GPU-based algorithm for generating collision-free and orientation-smooth five-axis finishing tool paths of a ball-end cutter[J]. International Journal of Production Research, 2010, 48(4): 1105-1124.

[19] BI Q Z, WANG Y H, ZHU L M, et al. Wholly smoothing cutter orientations for five-axis NC machining based on cutter contact point mesh[J]. Science in China Series E: Technological Sciences, 2010, 53(5): 1294-1303.

[20] PLAKHOTNIK D, LAUWERS B. Graph-based optimization of five-axis machine tool movements by varying tool orientation[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2014, 74(1): 307-318.