一道習題引發(fā)的思考
——小學數(shù)學中“等積變換”問題摭談

彭龍龍

（廈門市華昌小學，福建 廈門 361000）

一、緣起課堂，誘發(fā)思考

炎炎夏日，又到了一年的小學畢業(yè)復(fù)習季，筆者正在復(fù)習“求陰影部分的面積”一課，此時的學生聽意正濃，當筆者出示一道題：“如右圖一個直角梯形，求陰影部分的面積?！睅缀跞嗟膶W生直接利用各部分面積與總面積的關(guān)系來解題即S陰=S梯－S空白=（8+5）×4÷2－5×4÷2=16?？汕∏≡诖藭r，一位學生的解法卻打破了這份平靜，令人眼前一亮。他首先做了一條輔助線AC，則根據(jù)同底等高△ADE的面積等于△ACE的面積，那么兩個陰影部分的面積之和瞬間就轉(zhuǎn)化成了一個直角三角形ABC的面積，所以

S陰=S△ABC=8×4÷2=16。這種解法實在太妙了，僅僅只是添加了一條輔助線，人為地創(chuàng)造出一個“等積”的環(huán)境，將零散的陰影面積轉(zhuǎn)化成一個整體，等積變換功不可沒。可是等積變換如此神奇、重要，學生能應(yīng)用的卻是鳳毛麟角，我們深知的“授人以魚，不如授人以漁”此時此刻黯然失色，筆者不禁陷入深深的思索當中……

二、追本溯源，融匯貫通

回顧小學階段所接觸過的關(guān)于“等積變換”類型題目，從低年級所遇到過的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的求括號里的數(shù)，如4×5=（）×2，以及解決問題中“二年（1）班排隊列，如果每隊排10人，可以排4列，如果每隊排8人，可以排多少列？”的這種數(shù)字世界里的類似歸總問題的“等積變換”問題的雛形，以及中高年級所學到的單位改寫、乘法結(jié)合律和交換律方法、通分、等式的性質(zhì)解方程等，直到面積、體積概念的深入，等積變換問題才逐步向二維、三維的圖形與集合領(lǐng)域過渡，慢慢成型，形成具有自身特色的一類題型。平行四邊形面積的推導(dǎo)，就是利用了等積變換的思路，一個未知的圖形在不改變面積大小的情況下，通過剪、拼、移轉(zhuǎn)化成了長方形，進而發(fā)現(xiàn)等積背后的各部分之間的對應(yīng)關(guān)系，最后順利推導(dǎo)出面積公式；再把目光聚焦于小學階段中一個非常重要的立體圖形圓柱體，它的體積推導(dǎo)頗具特色，因為要將學生置于一種圓柱體被無窮盡等分，其實是極限思想的數(shù)學環(huán)境前提下，去理解和掌握圓柱體等分后拼組而成的一個近似的長方體，然后利用等積變換，進而推導(dǎo)出圓柱體的體積公式。最后不得不提的是，小學階段中測量不規(guī)則物體體積的方法，即排水法的應(yīng)用，也是等積變換的典型例證。由此發(fā)現(xiàn)等積變換在小學階段一直貫徹始終，“等積”是解題的好幫手，為解題亮起一盞明燈，它的重要性自然不言而喻。

三、策略應(yīng)對，有效實施

既然等積變換如此重要，又千變?nèi)f化，面對這樣的變化，該如何應(yīng)對，如何在解題中發(fā)現(xiàn)“等積”的蹤跡呢？筆者經(jīng)過實踐研究，逐漸摸索出以下六大解題策略。

策略一：化零為整

例題：已知正方形的邊長為5厘米，求陰影部分的面積。

解析：陰影部分的圖形是不規(guī)則的、是零散的，但只要連接正方形對角線AC、BD，根據(jù)正方形的對稱性與圓的對稱性可知，陰影Ⅰ可拼在I’處，陰影Ⅱ可拼在空白Ⅱ’處，通過化零為整，把陰影部分轉(zhuǎn)化為一個三角形，求陰影的面積就等價于求三角形△BCD的面積。5×5÷2=12.5（平方厘米）。由此想到數(shù)學世界里的圖形面積往往都是零散的、不規(guī)則的，這就需要運用割補、剪拼化零為整，變無形為有形，那么“等積”自然就水到渠成了。

策略二：靜中求動

例題：求下圖陰影部分的面積。（單位：厘米）

解析：將原圖的上半部分沿著圓的直徑旋轉(zhuǎn)對折，正好與下半部分的半圓重合，得到右上圖，這時的陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為兩個底是20÷2=10（厘米）、高是5厘米的三角形面積之和。S陰=10×5÷2×2=50（平方厘米）。該策略與上一策略有異曲同工之妙，唯一區(qū)別是化靜態(tài)圖為動態(tài)圖，讓等積思路在操作中自然生成，慢慢發(fā)酵。

策略三：以形補形

例題：一件零件的形狀如下圖，求該零件的體積是多少立方厘米？

解析：初次見到此題，學生們都認為無解，因為學生并未見過這樣的不規(guī)則立體圖形，似圓柱非圓柱，似圓錐非圓錐?？墒侵灰苻D(zhuǎn)變思考角度，利用原來圖形以形補形，如右圖，“等積”蹤跡已然找到，該零件的體積即一個底面直徑為2厘米，高為4+6=10（厘米）的圓柱體積的一半，問題也就迎刃而解。V零件=π×（2÷2）2×10÷2=15.7（cm3）。

策略四：突破關(guān)鍵

例題：把一個長、寬、高分別為9厘米、7厘米、3厘米的長方體鐵塊和一個棱長是5厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個圓柱體，這個圓柱體的底面直徑是20厘米，高是多少厘米?

解析：本題的關(guān)鍵是正確理解題目中的關(guān)鍵字“熔鑄”，類似這樣的詞語還有“鍛造”“澆鑄”“捏成”“鋪滿”“倒入”等，突破這些關(guān)鍵字詞背后的涵義即等體積，這類題型就能從容以對。此題中V柱體=V長方體+V正方體，即形狀變，體積不變，再用體積除以底面積，就能得到高。h=（9×7×3+53）÷（π×102）=1(厘米)。

策略五：借形換形

例題：一個長為10分米，寬為6分米的長方形紙片，要將它剪成半徑是1.5分米的圓形，問最多可以剪多少個？

解析：常規(guī)解法是利用長是直徑的幾倍即每行剪幾個，寬是直徑的幾倍即可以剪幾行，然后再相乘算出一共有多少個圓形，算式是：（10÷3）×（6÷3）≈3×2=6（個）。但即使教師不斷強調(diào)，學生的錯誤率仍然較高，甚至不明白為什么要除以直徑而不是半徑，教師也只能解釋因為圓是不能密鋪的，所以要這樣做，學生自然不明其理。其實只要再往前走一小步，借正方形之形替換圓形，如右上圖，告訴學生剪一個半徑為1.5分米的圓形其實等價于剪一個邊長為3分米的正方形，這樣另辟蹊徑的“等積變換”，學生也能較容易接受。

策略六：方程求解

例題：下圖中圓的面積與長方形的面積相等，長方形的面積是12.56cm2，圓的半徑是多少厘米？

解析：初看此題，學生不難發(fā)現(xiàn)等積蹤跡，因為題目中已清晰指出：圓的面積等于長方形面積?？墒羌词谷绱耍瑢W生仍然無從下筆。此題錯誤的原因是學生缺乏方程意識和代數(shù)思維。其實只需將圓的半徑設(shè)為r，根據(jù)S圓=S長方形等積列出一個方程即πr2=12.56，，即可得到πr=12.56，r=2。由此得出列方程解決問題的意識與能力要植入到圖形問題中來，讓學生形成解題的思維與習慣。

參考文獻：

［1］董江青，裴云姣.利用三角形等積變換求組合圖形面積教學［J］.小學教學設(shè)計，2013(9).

［2］陳濤清.小學數(shù)學幾何直觀教學的優(yōu)化策略［J］.教學與管理，2015(2).