“二進制數(shù)和五進制數(shù)”教學(xué)實錄及評析

◇執(zhí)教/沈 強 評析/王建良

教學(xué)內(nèi)容：

數(shù)學(xué)繪本《二進制數(shù)》和《五進制》。

教學(xué)過程：

一、課前談話，提出數(shù)學(xué)問題

師：同學(xué)們，我們所用的阿拉伯?dāng)?shù)字一共有幾個？

生：10個。

師：世界上的數(shù)有那么多，為什么只有10個數(shù)字符號呢？

生：因為可以用數(shù)字和數(shù)字組合在一起。

生：因為我們是滿十進一。

（生閱讀繪本，了解數(shù)的起源）

[評析]數(shù)學(xué)是一門奇妙的學(xué)科，10個阿拉伯?dāng)?shù)字可以組成無數(shù)個數(shù)，背后的道理是什么呢？開門見山，揭示了本課學(xué)習(xí)的目標(biāo)。

二、出示挑戰(zhàn)性問題，學(xué)習(xí)五進制計數(shù)法

1.出示挑戰(zhàn)性問題，初步認識五進制計數(shù)法。

師：在這本繪本中，有這么一幅圖（如圖1），這兩個數(shù)居然是相等的，這是怎么回事？

圖1

生：可能左邊是31個櫻桃，右邊是16個蘋果。

師：你覺得可能是兩種水果，它們的質(zhì)量一樣，但書中是指物體的個數(shù)一樣多，這是為什么呢？

（學(xué)生思考中，但沒有學(xué)生舉手回答。師出示五進制、十進制，如圖2）

師：原來是它們的計數(shù)方法不同，哪種計數(shù)法你們比較熟悉？

生：十進制。

師：（出示16顆彈珠，如圖2）16里的1和6分別表示多少？

圖2

生：1表示1個十，6表示6個一。

師：既然是相等的，那么五進制應(yīng)該也有16顆彈珠（出示左邊的16顆彈珠）。剛才是10個一圈的，那么五進制是幾個一圈呢？

生：5個一圈。

師：現(xiàn)在你知道31里的3和1分別表示多少了嗎？

生：3表示3個五，1表示1個一。

師：3乘5加上1，是16，所以十進制的16和五進制的31，所表示的數(shù)量是相等的。為了和十進制區(qū)分開來，我們把五進制的31讀作：三一，記作31（5）。

[評析]“31”和“16”相等，在學(xué)生眼中是不可能的。正是這一具有挑戰(zhàn)性的問題，激起了學(xué)生探究的欲望。教師在設(shè)問后，給予了學(xué)生足夠的思考時間。但在一般情況下，學(xué)生很難想到這是用兩種不同進制表示的數(shù)。事實上教師也并不期待學(xué)生能說出這一答案。當(dāng)教師補充呈現(xiàn)信息“16是十進制數(shù)，31是五進制數(shù)”后，學(xué)生的思維閘門瞬間打開。十進制是學(xué)生已經(jīng)熟悉的常用計數(shù)方法，五進制或許是學(xué)生第一次接觸，但以十進制類推，結(jié)合圖示，學(xué)生很快就把握住了五進制是“五個五個數(shù)”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

2.鞏固練習(xí)，鞏固讀寫和計數(shù)單位。

師：這里有一些彈珠，用十進制表示是23，那用五進制表示會是多少呢？請在練習(xí)紙上圈一圈，把它寫下來。（如圖3）

圖3

［呈現(xiàn)學(xué)生的作品：用五進制表示是43（5），讀作：四三］

師：這里的4和3分別表示多少？

生：4表示4個五，3表示3個一。

[評析]教學(xué)需要適度的反復(fù)，以上教學(xué)過程是加深學(xué)生對五進制“5個5個數(shù)”這一屬性認識的過程。

3.設(shè)置認知沖突，進一步認識五進制計數(shù)法。

師：這里一共有32顆彈珠，如果用五進制表示，會是哪個數(shù)呢？請在練習(xí)紙上圈一圈，把它寫下來。（如圖4）

圖4

師：你的答案是多少？

生1：62（5）。

生2：62（5）。

……

師：答案是六二的舉手。

（全班都舉手）

師：但我告訴你，繪本上的答案不是62（5），問題出在哪里？

（生思考片刻，四人小組交流）

生：五進制是滿五進一，十位上是6，滿5了。

生：十位上的6，應(yīng)該向百位進一，應(yīng)該是112（5）。

師：剛才兩位同學(xué)所說的，誰聽懂了？

(學(xué)生復(fù)述)

師：在十進制計數(shù)法里，從右往左依次是個位、十位、百位，在五進制計數(shù)法里，我們就說右起第一位、第二位、第三位……

[評析]3個五、1個一，用五進制表示是31（5），4個五、3個一，用五進制表示是43（5）。根據(jù)前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，當(dāng)面對“6個五、2個一”用五進制表示時，所有學(xué)生的答案都是62（5），而62（5）是一個錯誤的答案。一石激起千層浪，這時教師適時地安排了學(xué)生獨立思考與小組討論，給學(xué)生進入深入思維狀態(tài)提供了時間和空間。從一個學(xué)生的頓悟到小組學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，似乎可以聽到學(xué)生思維拔節(jié)生長的聲音。

師：剛才這道題，一開始全班同學(xué)都認為是62（5），看來都掉進了陷阱，說明我們有必要對五進制計數(shù)法重新認識。

（課件出示計數(shù)器。逐個出示1～4個彈珠，讓學(xué)生口答。當(dāng)出示5個彈珠時，讓學(xué)生記在本子上，如圖5）

圖5

生：10（5）（讀作一零）。

師：你知道這里的1表示1個幾嗎？

生：表示1個五。

（師板書：滿五進一。5個5個呈現(xiàn)，讓學(xué)生口答。當(dāng)呈現(xiàn)25個時，讓學(xué)生寫一寫）

生：100（5）（讀作一零零）。

師：你知道這里的1表示1個幾嗎？

生：1個百。

生：1個五十。

師：看來，這個問題有點難，請四人小組討論一下。

生：1表示1個二十五。

師：你怎么知道的？

生：因為有5個五，所以是二十五。

生：還可以從圖上看出來，正好圈了25顆彈珠。

師：你們觀察得很仔細。剛才我們發(fā)現(xiàn)五進制右邊起第一位的計數(shù)單位是一，第二位的計數(shù)單位是五，第三位的計數(shù)單位是二十五，那你知道第四位的計數(shù)單位會是多少嗎？同桌討論一下。

生：我覺得是一百二十五。

生：我也認為是一百二十五，我發(fā)現(xiàn)每次都乘5。

師：你們太厲害了，五進制相鄰的計數(shù)單位進率都是5。

［課件繼續(xù)呈現(xiàn)彈珠，累加下去，直到32顆彈珠全部完成，用五進制表示是112（5）］

師：在剛才的學(xué)習(xí)過程中，你發(fā)現(xiàn)五進制用到了哪幾個數(shù)字？

生：用到0、1、2、3、4，用到5個數(shù)字。

師：為什么沒有5呢？

生：因為到5就滿五該進一了，所以5用不著。

[評析]學(xué)生要接受十進制“滿十進一”、五進制“滿五進一”并不困難，但要真正理解在用不同進位制表示數(shù)時，不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的值，卻是件不容易的事。教師通過彈珠圖與計數(shù)器的對照，遇到5顆、25顆時還讓學(xué)生用五進制計數(shù)法寫一寫，同學(xué)之間議一議，這是有意識地延長學(xué)生的體驗過程，幫助學(xué)生建構(gòu)五進制數(shù)的計數(shù)單位。

三、在五進制學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，認識二進制計數(shù)法

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生：我知道了五進制計數(shù)法是滿五進一。

生：我還知道五進制計數(shù)法只用到數(shù)字0、1、2、3、4。

師：你還有什么問題？

生：數(shù)學(xué)上除了十進制和五進制，還有幾進制計數(shù)法？

師：問得真好，還有幾進制計數(shù)法，你們誰知道？

生：二進制。

生：十二進制、二十四進制。

生：六進制、七進制、八進制……

師：看來大家數(shù)學(xué)課外知識很豐富。那我們選二進制來研究一下吧。請你根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)，想一想：二進制會是滿幾進一？會用到哪幾個數(shù)字？每個數(shù)位上的計數(shù)單位又分別是多少？

圖6

（學(xué)生思考后同桌交流）

師：誰來說一說你的想法？

生：是滿二進一，因為十進制滿十進一，五進制是滿五進一，所以二進制就是滿二進一。

生：會用到0、1，因為十進制用到的數(shù)字是0～9，五進制是0～4，那么二進制應(yīng)該是0～1。

生：二進制的計數(shù)單位是一、二、四、六、八、十。

生：不對，應(yīng)該是一、二、四、八、十六。

師：你們同意誰的？說明理由。

生：同意第二位同學(xué)的，因為十進制的計數(shù)單位，每次都乘10，五進制每次都乘5，所以二進制應(yīng)該是每次都乘2。

師：同學(xué)們的推理能力都很強。那你知道二進制有什么用嗎？

[播放視頻：二進制在電腦中的應(yīng)用（科普中國）]

[評析]由于有了十進制、五進制的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，加之對于二進制學(xué)生并不完全陌生，所以很容易理解“滿二進一”，也不難推理得出二進制的計數(shù)單位。

四、課堂小結(jié)和拓展

（簡單介紹十二進制和六十進制）

[評析]本課教學(xué)的重點是讓學(xué)生體會到用不同的進位制表示數(shù)時，計數(shù)單位不同，相同數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)值也不同。其目的并不是要求學(xué)生掌握用多種進位制來表示數(shù)，更不要求學(xué)生能熟練地進行不同進位制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。教學(xué)的核心目標(biāo)是通過其他進位制的學(xué)習(xí)，更好地認識十進制，理解計數(shù)法的基本原理——位值制和進位制。