高速流場中變剛度復(fù)合材料層合板顫振分析

歐陽小穗，劉毅

同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092

壁板顫振研究始于20世紀50年代。Miles[1]和Jordan[2]最先對壁板顫振進行了理論分析。Olson[3-4]最早用有限元法研究壁板顫振問題，分析了超聲速流中二維壁板的顫振邊界。Kouchakzadeh等[5]研究了高速流場中復(fù)合材料層合板非線性氣動彈性問題，分析了面內(nèi)載荷、靜壓差、纖維方向和氣動阻尼對壁板非線性氣動彈性特性的影響。結(jié)果表明，纖維方向?qū)Π宓膭恿W(xué)特性有明顯影響，板的非對稱特性改變了極限環(huán)振動性能。Abdel-Motaglay 等[6]針對任意方向來流對復(fù)合材料板大振幅超聲速顫振的影響提出了一種有限元公式，并對偏航超聲速流中各向同性和正交各向異性復(fù)合材料板進行了分析。Singha和Ganapathi[7]采用剪切變形有限元法研究了系統(tǒng)參數(shù)對復(fù)合材料層合板的超聲速顫振特性的影響。估算了臨界動壓隨板的傾斜角、纖維方向和邊界條件的變化；分析了氣動力、結(jié)構(gòu)阻尼以及熱載荷對臨界動壓的影響。國內(nèi)學(xué)者在復(fù)合材料壁板顫振方面也進行了系統(tǒng)深入的研究。王曉慶等[8]采用4節(jié)點24自由度板單元研究不同溫度場的偏航壁板顫振問題，進行了考慮偏航壁板顫振速度和壁板重量的多目標熱顫振優(yōu)化設(shè)計，得到偏航壁板顫振隨溫升出現(xiàn)“跳躍”現(xiàn)象的結(jié)論。苑凱華和邱志平[9-10]采用有限元法研究了高速流場中復(fù)合材料壁板熱顫振問題，考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性對壁板顫振的影響，提出用區(qū)間描述不確定性因素估計壁板顫振臨界風(fēng)速近似區(qū)間，以及發(fā)生極限環(huán)振動時的振幅變化區(qū)間，數(shù)值算例驗證了方法的有效性和可行性。楊智春等[11]采用分步求解方法研究了復(fù)合材料壁板的熱顫振，得到3種不同鋪層復(fù)合材料壁板顫振臨界速度和溫升間的關(guān)系。高揚等[12]應(yīng)用有限元法研究氣流偏角和熱載荷對不同形狀復(fù)合材料壁板顫振特性的影響，分析了不同形狀復(fù)合材料壁板顫振臨界動壓隨溫升和氣流偏角的變化規(guī)律。呂秀秀等[13]研究超聲速流場中鋪層方式和鋪層方位角對復(fù)合材料層合板顫振特性的影響。

傳統(tǒng)的纖維增強復(fù)合材料層合板采用的是直線纖維(如圖1(a)所示)，也就是說纖維方向在單層內(nèi)是不變的；隨著自動鋪放等先進制造技術(shù)的發(fā)展，利用自動鋪放設(shè)備能夠改變鋪層的纖維方向,使得纖維方向在鋪層內(nèi)曲線變化(如圖1(b)所示)[14]。不同于傳統(tǒng)的直線纖維復(fù)合材料單層板，曲線纖維復(fù)合材料單層板中每一點的纖維方向都是不同的，隨位置變化而連續(xù)變化，單層內(nèi)不同位置處的剛度也隨纖維方向的變化而變化，呈現(xiàn)出變剛度的特點。這種含曲線纖維鋪層的復(fù)合材料稱為變剛度復(fù)合材料。變剛度復(fù)合材料在減輕結(jié)構(gòu)重量和降低制造成本等方面已顯示出優(yōu)勢。

曲線纖維復(fù)合材料最早由Hyer等[15-16]提出用來代替直線纖維以提高帶孔復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能。隨后，Gürdal等[17-20]提出了變剛度復(fù)合材料概念，研究中考慮固化過程產(chǎn)生的殘余熱應(yīng)力等因素，結(jié)果表明，曲線纖維復(fù)合材料層合板與傳統(tǒng)的直線纖維復(fù)合材料相比，屈曲性能有較大提高。Wu等[21-22]采用數(shù)值方法對曲線纖維復(fù)合材料的屈曲和后屈曲性能進行了研究。杜宇等[23]采用有限元法研究了變剛度復(fù)合材料的失效性能。

迄今為止，對曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板力學(xué)性能的研究主要集中在屈曲問題上，而對氣動彈性問題的研究還很少。Stodieck等[24-25]研究了矩形機翼的氣動彈性性能，對曲線纖維復(fù)合材料進行了氣動彈性剪裁優(yōu)化，研究表明，采用曲線纖維復(fù)合材料層合板氣動彈性性能更好，可以通過改變曲線纖維方向來提高氣動彈性穩(wěn)定性，減緩?fù)伙L(fēng)載荷。Stodieck等[26]利用三維有限元模型對直線鋪層和曲線鋪層蒙皮的性能進行優(yōu)化，評估了全尺寸氣動彈性剪裁機翼的減重能力。優(yōu)化結(jié)果表明，曲線纖維的減重效果比直線纖維更好。Haddadpour和Zamani[27]將曲線纖維復(fù)合材料機翼簡化為薄壁梁進行了氣動彈性設(shè)計，對纖維方向沿展向線性變化的變剛度結(jié)構(gòu)進行了最大氣動彈性失穩(wěn)速度的優(yōu)化。結(jié)果表明變剛度機翼的氣動彈性穩(wěn)定性比傳統(tǒng)不變剛度的機翼要好。Stanford等[28]對低速流場中曲線纖維懸臂平板進行了氣動彈性剪裁設(shè)計，采用遺傳算法確定靜氣彈變形和顫振邊界，研究了曲線和直線纖維方向和鋪層順序?qū)鈩訌椥约舨玫挠绊憽?/p>

本文以曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板為研究對象，建立變剛度復(fù)合材料壁板顫振的氣動彈性力學(xué)模型。研究高速流場中復(fù)合材料層合壁板的固有振動特性、顫振穩(wěn)定性和非線性顫振響應(yīng)，分析邊界條件和鋪層方式對變剛度復(fù)合材料壁板顫振特性的影響。

1 曲線纖維變剛度復(fù)合材料單層板

對圖2所示的矩形單層板，其長和寬分別為a和b，纖維方向用T0|T1表示，其中，T0為纖維在板中心處和x方向的夾角，T1為纖維在邊界(x=±a/2)處和x方向的夾角。

假設(shè)纖維方向從板的中心位置開始呈線性變化，則任意位置處纖維方位角可表示為

(1)

曲線纖維路徑為

y(x)=

(2)

2 高速流場中復(fù)合材料層合板顫振方程

對于復(fù)合材料層合板的顫振問題，考慮von-Karman非線性應(yīng)變-位移關(guān)系，即

(3)

橫向剪切應(yīng)變?yōu)?/p>

(4)

式中：u0和v0分別為中面上的點沿x和y方向的位移；w為z方向的位移；θx和θy分別為中面繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角；εm為壁板中面面內(nèi)位移產(chǎn)生的應(yīng)變；εmb為考慮大變形時，撓度在壁板中引起的面內(nèi)附加應(yīng)變；κ為彎曲時壁板的曲率向量；z為壁板厚度方向的坐標。

本構(gòu)關(guān)系可表示為

(5)

對于層數(shù)為NL的層合板，令ε0=εm+εmb，內(nèi)力表達式為

(6)

(7)

式中：A為拉伸剛度矩陣；B為耦合剛度矩陣；D為彎曲剛度矩陣；AS為剪切剛度矩陣；N、M和R分別為面內(nèi)力、面內(nèi)力矩和橫向剪切力。

對于曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板，每一點的纖維方向都是不同的，因此變剛度板的剛度不再是常量，而是隨著不同位置處纖維方位角的變化而變化。采用有限元法分析時，需要通過增加網(wǎng)格密度來模擬由于纖維方位角的變化而帶來的剛度變化，才能保證分析結(jié)果的精度。

對高速流場(Ma>1.6)中的壁板顫振，可由一階準定?；钊碚撚嬎銡鈩恿?，壁板表面氣流沿x方向時，有

(8)

由虛功原理可得高速流場中壁板的運動方程為

(9)

式中：w為位移向量；M為質(zhì)量矩陣；C為氣動阻尼矩陣；Ka為氣動剛度矩陣；KL為線彈性剛度矩陣；N1和N2為大變形產(chǎn)生的非線性剛度矩陣。

高速流場中考慮幾何非線性的壁板顫振方程采用Newmark法求解。

為便于后續(xù)分析，對壁板顫振動壓和頻率等參數(shù)進行無量綱化，無量綱動壓λ和無量綱頻率ω*分別為[29]

(10)

式中：D=E2t3，E2為橫向彈性模量，t為板的厚度；ρ為板的密度；ω為振動頻率。

(11)

式中：W為無量綱振幅；x和y為坐標值。

3 算法驗證

3.1 正確性驗證

用文獻[30]中的四邊簡支碳/環(huán)氧復(fù)合材料層合板對本文算法及程序的正確性進行驗證。材料屬性如表1所示，板的尺寸a=b=0.305 m，板厚為1.27 mm，鋪層為[0/45/-45/90]s。采用考慮橫向剪切的3節(jié)點Mindlin(MIN3)板單元進行有限元分析，整個板用10×10的網(wǎng)格表示，共劃分為200個MIN3板單元。分析結(jié)果與文獻[30]的結(jié)果對比如圖3所示?？梢钥闯霰疚慕Y(jié)果與文獻[30]的結(jié)果吻合較好。

表1 復(fù)合材料層合壁板材料性能Table1 Material properties of composite laminates

3.2 網(wǎng)格收斂性研究

考慮四邊固支曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合壁板，其材料屬性見表1。幾何尺寸為a×b=0.2 m×0.3 m，單層厚度為0.15 mm，鋪層為 [0/90/T0|T1/-T0|-T1]s，來流方向平行于x軸。采用有限元法進行分析，單元為考慮橫向剪切的3節(jié)點Mindlin(MIN3)板單元。

表2 曲線纖維復(fù)合材料層合板無量綱顫振動壓網(wǎng)格收斂性Table 2 Mesh convergence of non-dimensional flutter dynamic pressure of composite laminates with curvilinear fibers

注：表中的誤差以網(wǎng)格100×100為基準進行計算。

綜合考慮非線性壁板顫振的計算精度和效率，本文后續(xù)計算采用32×15共960個MIN3板單元的網(wǎng)格劃分。

4 復(fù)合材料層合板顫振穩(wěn)定性分析

4.1 動力學(xué)特性分析

考慮到壁板的動力學(xué)特性與顫振特性有密切關(guān)系，首先對層合復(fù)合材料壁板的固有振動特性進行分析。

計算不同鋪層曲線和直線纖維復(fù)合材料層合板動力學(xué)特性。對[0/90/T0|T1/-T0|-T1]s，考慮T0=0°～45°、T1=45°和T0=45°、T1=45°～90°這2種情況，前6階固有頻率計算結(jié)果分別如表3和表4所示。

從表3和表4可以看出，T0和T1對曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的固有頻率均有一定影響。當(dāng)T1相同而T0不同時，1、4和5階固有頻率隨T0增大而減小，而2、3和6階固有頻率隨T0的增大而增大。當(dāng)T0相同而T1不同時，1、2、4和5階頻率隨T1增大而減小，而3階和6階固有頻率隨T1增大而增大。這是由于變剛度復(fù)合材料層合板內(nèi)纖維方向的變化而導(dǎo)致剛度不再是常量，而是隨著位置的變化而變化引起的。利用這一特點，可以通過調(diào)整纖維方向改變復(fù)合材料層合壁板的固有振動特性。

表3 曲線纖維復(fù)合材料層合板無量綱固有頻率隨T0的變化(T1=45°)Table 3 Non-dimensional natural frequency of composite laminates with curvilinear fibers with various T0 (T1=45°)

表4 曲線纖維復(fù)合材料層合板無量綱固有頻率隨T1的變化(T0=45°)Table 4 Non-dimensional natural frequency of composite laminates with curvilinear fibers with various T1 (T0=45°)

4.2 模態(tài)耦合分析

對不同鋪層曲線和直線纖維復(fù)合材料層合板耦合模態(tài)進行計算?？紤]5種曲線纖維和1種直線纖維層合板，鋪層分別取 [0/90/0|15/0|-15]s、[0/90/0|30/0|-30]s、[0/90/0|45/0|-45]s、 [0/90/15|45/-15|-45]s、[0/90/30|45/-30|-45]s和[0/90/±45]s，耦合模態(tài)分析結(jié)果如圖4所示。以[0/90/0|45/0|-45]s和[0/90/±45]s為例進行耦合特性分析，其模態(tài)如圖5所示?？梢钥闯觯?dāng)T0相同而T1不同或者當(dāng)T1相同而T0不同時，顫振均由1階模態(tài)和4階模態(tài)耦合引起。即對上述層合板，耦合模態(tài)與T0和T1無關(guān)。

4.3 邊界條件的影響

對不同邊界條件下曲線纖維和直線纖維復(fù)合材料層合板顫振特性進行計算?？紤]6種不同鋪層曲線纖維和1種直線纖維層合板，鋪層分別取 [0/90/0|45/0|-45]s、[0/90/15|45/-15|-45]s、[0/90/30|45/-30|-45]s、[0/90/45|60/-45|-60]s、[0/90/45|75/-45|-75]s、[0/90/45|90/-45|-90]s和[0/90/±45]s，馬赫數(shù)為3，四邊簡支和四邊固支下的計算結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，邊界約束越強，層合板的穩(wěn)定性越好，顫振臨界動壓越大。無論是直線纖維還是曲線纖維，四邊固支層合板的顫振臨界動壓均明顯高于四邊簡支層合板。

4.4 曲線纖維方向的影響

計算不同鋪層曲線纖維和直線纖維復(fù)合材料層合板顫振特性。對[0/90/T0|T1/-T0|-T1]s，考慮T1不變、T0=-90°～90°和T0不變、T1=-90°～90°這2種情況，馬赫數(shù)取3，計算結(jié)果如圖7所示。

可以看出，T0和T1對曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的顫振均有一定影響。T1不變時，顫振臨界動壓隨T0的變化規(guī)律一致。當(dāng)纖維方向逼近x方向時顫振臨界動壓增加，這是由于層合板x方向的剛度增加。T0不變、T1變化時的變化規(guī)律與T1不變、T0變化的情況相同。當(dāng)T0=T1=0°時，層合板x方向的剛度最大，顫振臨界動壓達到最大值?？梢?，通過調(diào)整曲線纖維的路徑可以改變曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的顫振臨界動壓。

5 變剛度復(fù)合材料層合板的非線性顫振

5.1 變剛度復(fù)合材料層合板的非線性顫振響應(yīng)

高速流場中曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板在給定初始擾動下，若在顫振臨界動壓以下,層合板的運動隨時間減小，則響應(yīng)是收斂的；當(dāng)超過臨界動壓，層合板的振幅隨時間增大直到最大振幅，則形成極限環(huán)振動。圖8和圖9分別表示[0/90/±45]s和[0/90/0|45/0|-45]s復(fù)合材料層合板的顫振時間歷程和相平面圖(所取點位于 (0.75a, 0.5b)處)。從圖8可以看出，對傳統(tǒng)的直線纖維層合板[0/90/±45]s，當(dāng)λ=510時，壁板受到初始擾動后，振動是收斂的，表明動壓未達到顫振臨界動壓；當(dāng)λ=520時，壁板受到初始擾動后，處于極限環(huán)振動，此時動壓超過顫振臨界動壓，層合板做周期振動，出現(xiàn)顫振。從圖9可以看出，對曲線纖維層合板[0/90/0|45/0|-45]s；當(dāng)λ=550時，壁板受到初始擾動后，隨著時間的增加振動是收斂的，表明動壓未達到顫振臨界動壓；當(dāng)λ=560時，壁板受到初始擾動后，處于極限環(huán)振動，此時動壓超過顫振臨界動壓，層合板做周期振動，出現(xiàn)顫振。圖10表示t=0.255 s時，[0/90/±45]s和[0/90/0|45/0|-45]s這2種層合板的極限環(huán)顫振變形，最大值出現(xiàn)在(0.75a, 0.5b)處。

5.2 曲線纖維方向?qū)Ψ蔷€性顫振響應(yīng)的影響

對不同鋪層的曲線纖維和直線纖維復(fù)合材料層合板非線性顫振進行分析。鋪層為[0/90/T0|T1/-T0|-T1]s，考慮T0=0°～45°、T1=45°和T0=45°、T1=45°～90°這2種情況，馬赫數(shù)取3。T0和T1對振幅的影響如圖11所示。

可以看出，T0和T1對曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的顫振均有一定影響。當(dāng)T1相同而T0不同時，壁板的極限環(huán)振幅隨T0的增大而增大；當(dāng)纖維T0相同而T1不同時，壁板的極限環(huán)振幅隨T1增大而增大。

圖12表示不同鋪層的變剛度復(fù)合材料層合板在不同邊界條件時，顫振幅值隨動壓的變化?？梢钥闯霾煌亴雍筒煌吔鐥l件下的顫振幅值隨動壓的變化趨勢基本一致，極限環(huán)振幅隨動壓的增加而增大。不同邊界條件下，由于復(fù)合材料不同方向的剛度影響，壁板的振幅隨T0或T1的增加而增大。固支情況下，T0和T1對振幅的影響更大。

6 結(jié) 論

1)T0和T1對曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的固有振動特性有一定影響，可以通過調(diào)整T0和T1改變壁板的固有振動特性。

2)T0或T1對曲線纖維復(fù)合材料層合壁板顫振耦合模態(tài)的影響不大。

3) 邊界條件對復(fù)合材料層合壁板的顫振臨界動壓有較大影響，邊界約束越強，壁板的穩(wěn)定性越好，顫振臨界動壓越大。

4)T0和T1對壁板的顫振臨界動壓有較大影響，隨著T0或T1的增大，顫振臨界動壓減小。

5) 直線纖維鋪層和曲線纖維鋪層的顫振極限環(huán)變形最大值都出現(xiàn)在(0.75a, 0.5b)處。

6) 相同的動壓下，隨著T0或T1的增大，曲線纖維復(fù)合材料層合板的極限環(huán)振幅增大。

7) 曲線纖維復(fù)合材料層合壁板顫振幅值隨動壓的變化趨勢基本一致，極限環(huán)振幅隨動壓的增加而增大，且固支條件下T0和T1對振幅的影響更大。

綜上所述，高速流場中，邊界條件對曲線纖維復(fù)合材料層合壁板的非線性顫振特性有明顯影響，采用曲線鋪層可根據(jù)需要調(diào)整壁板的非線性顫振特性，進一步提高復(fù)合材料的可設(shè)計性。

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