自抗擾控制器在高階系統(tǒng)中仿真實現(xiàn)*

張茜丹 尹達一

1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100039 2. 中國科學(xué)院紅外探測與成像技術(shù)重點實驗室，上海 200083 3. 中國科學(xué)院上海技術(shù)物理研究所，上海200083

自抗擾控制是一種基于消除擾動思想的控制方法[1-2]，其特點是不依賴被控系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，設(shè)計出的控制器在不改變參數(shù)的情況下對某一類系統(tǒng)都具有良好的控制效果，因此自抗擾控制器具有很強的魯棒性，同時也具有控制精度高、響應(yīng)速度快及抗干擾能力強等特點。目前，自抗擾控制技術(shù)在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用[3]，如航天姿態(tài)控制、網(wǎng)狀材料的張力控制、微機電傳感器、伺服系統(tǒng)的運動控制及空間電力電子等系統(tǒng)[4-5]。2013年4月，德州儀器開始在全球發(fā)布以自抗擾技術(shù)為核心的運動控制芯片[6]，顯示了自抗擾控制技術(shù)極大的應(yīng)用前景。

從自抗擾控制器提出到現(xiàn)在對自抗擾控制器各方面的研究，如各種參數(shù)整定方法[7-8]、頻率特性研究[9]及性能評估[10]等絕大多數(shù)工作都局限于二階系統(tǒng)。而對于高階被控系統(tǒng)，自抗擾控制器應(yīng)該怎樣設(shè)計和整定還沒有具體的方法，這給自抗擾控制器的實際應(yīng)用帶來局限。

因此，本文將從理論推導(dǎo)入手設(shè)計高階自抗擾控制器,并通過仿真驗證所設(shè)計高階自抗擾控制器的控制性能。在第1節(jié)按照Back-stepping思想[11-12]，通過低階系統(tǒng)的串聯(lián)構(gòu)造高階自抗擾控制器。在第2節(jié)給出高階TD和高階ESO的設(shè)計方法，利用它們結(jié)合誤差反饋設(shè)計組成一個完整的高階自抗擾控制器，分別針對高階被控對象，對所設(shè)計的高階自抗擾控制器的控制性能進行仿真驗證。最后一節(jié)進行總結(jié)。

1 串聯(lián)自抗擾控制器的設(shè)計仿真

具有擾動估計、補償能力的自抗擾控制器由4部分組成：跟蹤微分器(TD)安排過度過程；擴張狀態(tài)觀測器(ESO)提取系統(tǒng)狀態(tài)信息和擾動信息；狀態(tài)誤差反饋組合產(chǎn)生誤差反饋控制量；補償裝置依據(jù)擾動估計值對系統(tǒng)進行擾動補償，生成最終控制量。自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 自抗擾控制器結(jié)構(gòu)圖

利用一階自抗擾控制器串聯(lián)的方法對高階系統(tǒng)進行控制，針對一般高階系統(tǒng)如式(1)所示

(1)

將一階自抗擾控制器串聯(lián)起來實現(xiàn)對高階系統(tǒng)控制的思想是把狀態(tài)變量x2,x3,…,xn依次當(dāng)做x1,x2,…，xn-1的虛擬控制量u1,u2,…,un-1，即把xi+1當(dāng)作控制狀態(tài)變量xi的虛擬控制量ui，同時又把ui當(dāng)作狀態(tài)變量xi+1要跟蹤的目標(biāo)信號來設(shè)計下一個虛擬控制量ui+1，最后設(shè)計系統(tǒng)的實際控制量u。這個過程是把n階被控對象的控制問題化為n個一階對象的控制問題來解決，控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。這種方法與現(xiàn)代控制理論中的Back-stepping思想基本一致，但是Back-stepping方法需要一步步遞推構(gòu)造復(fù)雜的Lyapunov函數(shù)，利用子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)信息遞推地構(gòu)造整個系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)。

圖2 一階自抗擾控制器串聯(lián)控制結(jié)構(gòu)框圖

以一個三階被控對象為例

(2)

其中，x1,x2,x3為狀態(tài)變量，控制目標(biāo)是讓狀態(tài)變量x1快速無超調(diào)地跟蹤輸入信號v。w1(t)和w2(t)和w3(t)為不確定性擾動，在仿真中，分別取值如下：

對式(2)系統(tǒng)設(shè)計串聯(lián)自抗擾控制器步驟如下：

第1步，將x2作為虛擬控制量，讓x1跟蹤輸入信號v，求取u1，得到ADRC1。

1)安排過渡過程

v1=v1-hrfal(v1-v,0.5,h)

(3)

2)關(guān)于x1的擴張狀態(tài)觀測器

(4)

3)生成誤差

e1=v1-z11

(5)

4)反饋控制和擾動補償

u1=β1fal(e1,0.5,1.0)-z12

(6)

第2步，將x3作為虛擬控制量，讓x2跟蹤第1步中計算得到的虛擬控制量u1，求取u2，得到ADRC2。

1)關(guān)于x2的擴張狀態(tài)觀測器

(7)

2)生成誤差

e2=u1-z21

(8)

3)誤差反饋和擾動控制

u2=β2fal(e2,0.5,1.0)-z22

(9)

第3步，求取實際控制量u，讓x3跟蹤第1步中計算得到的虛擬控制量u2，得到ADRC3。

1)關(guān)于x3的擴張狀態(tài)觀測器

(10)

2)生成誤差

e3=u2-z31

(11)

3)誤差反饋和擾動控制

u=β3fal(e3,0.5,1.0)-z32

(12)

在設(shè)計ADRC1時，把虛擬控制量u1到變量x2的傳遞關(guān)系當(dāng)作“1”來看待；設(shè)計ADRC2時，把虛擬控制量u2到變量x3的傳遞關(guān)系當(dāng)作“1”來看待；最后設(shè)計ADRC3時，讓變量x3盡可能地跟蹤已確定的虛擬控制量u2。

根據(jù)上述設(shè)計的自抗擾控制器，在Simulink中搭建模型，其中各參數(shù)取值為

h=0.01，r=100，δ=1，β01=15，β02=100，β1=5，β2=50，β3=1000。輸入信號v為階躍信號，仿真結(jié)果如圖3和4所示。從仿真結(jié)果可以看出，在有擾動的情況下系統(tǒng)響應(yīng)時間為0.8s,系統(tǒng)帶寬為2Hz。

圖3 串級ADRC控制下系統(tǒng)輸出信號與輸入階躍信號對比

圖4 串級ADRC控制下系統(tǒng)bode圖

2 高階自抗擾控制器的設(shè)計仿真

下面仍然按照自抗擾控制器設(shè)計的分離性原理，分別設(shè)計高階跟蹤微分器、高階擴張狀態(tài)觀測器結(jié)合誤差反饋設(shè)計，組合成為一個完整的自抗擾控制器。

2.1 高階跟蹤微分器的設(shè)計

二階自抗擾控制器中的跟蹤微分器，是將以原點為終點的快速最優(yōu)控制綜合函數(shù)加以改進和優(yōu)化，使其在跟蹤參考輸入信號的同時能夠安排預(yù)期動力學(xué)特性并且能夠避免高頻顫振。但是在高階情況下，通過繼續(xù)改進最速函數(shù)來設(shè)計跟蹤微分器將會非常困難和復(fù)雜。

由微分的近似公式推導(dǎo)一般性的微分跟蹤器形式

(13)

(14)

如果時間常數(shù)τ1,τ2很接近常數(shù)τ，那么傳遞函數(shù)式(14)可近似成

(15)

(16)

根據(jù)式(16)可建立如下線性跟蹤微分器

(17)

v1跟蹤輸入信號v0，v2可以當(dāng)作輸入信號的近似微分。

一般地，傳遞關(guān)系

(18)

當(dāng)參數(shù)r適當(dāng)大時具有很好的高階微分功能。

以設(shè)計三階跟蹤微分器為例，根據(jù)式(18)設(shè)計

(19)

寫為跟蹤微分器的形式如下：

(20)

輸入函數(shù)v0(t)=sin(t)，參數(shù)r=30的仿真結(jié)果如圖5所示，可以看到各階導(dǎo)數(shù)逼近的很好，用式(19)設(shè)計的跟蹤微分器，作為高階自抗擾控制器中安排過度過程的裝置。

圖5 3階跟蹤微分器仿真結(jié)果

2.2 高階擴張狀態(tài)觀測器的設(shè)計

根據(jù)二階系統(tǒng)的擴張狀態(tài)觀測器的形式，將其推廣到任意階系統(tǒng)上。對系統(tǒng)

(21)

可以建立擴張狀態(tài)觀測器

(22)

對三階被控對象(2)，建立如下擴張狀態(tài)觀測器

(23)

計算狀態(tài)誤差的非線性反饋律

(24)

對誤差反饋控制量u0用擾動估計值z4的補償來決定最終控制量

(25)

由式(20)、(23)～(25)構(gòu)成對被控對象(2)的自抗擾控制器。根據(jù)上述設(shè)計的自抗擾控制器，在Simulink中搭建模型，其中各參數(shù)取值為h=0.01,r=200,δ=0.5,β01=10,β02=2000,β03=20000,β04=10,β1=10,β2=10000，β3=500，輸入信號v為階躍信號，仿真結(jié)果如圖6～7所示。從仿真結(jié)果可以看出，在有擾動的情況下系統(tǒng)響應(yīng)時間為0.05s，帶寬為15Hz，且無穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 高階ADRC控制下系統(tǒng)輸出信號與輸入階躍信號對比

圖7 高階ADRC控制下系統(tǒng)的bode圖

3 系統(tǒng)對擾動的抑制能力

自抗擾控制器對擾動具有實時估計和補償?shù)哪芰Γ孟到y(tǒng)的靈敏度函數(shù)表現(xiàn)系統(tǒng)對擾動的抑制能力，串聯(lián)ADRC與高階ADRC的抑制特性曲線如圖8～9所示，在串聯(lián)ADRC的作用下，系統(tǒng)的抑制帶寬可以達到515Hz，在高階ADRC的作用下，系統(tǒng)的擾動抑制帶寬可以達到45Hz,但是高階ADRC的抑制能力更強，所以在針對高頻擾動可以選用串聯(lián)ADRC,針對較大的低頻擾動可以選擇高階ADRC。

圖8 串級ADRC控制下系統(tǒng)的抑制特性曲線

圖9 高階ADRC控制下系統(tǒng)的抑制特性曲線

4 結(jié)論

基于二階系統(tǒng)自抗擾控制器的設(shè)計方法，用2種方法將自抗擾控制器推廣到高階系統(tǒng)中：1)利用Back-stepping思想，將低階自抗擾控制器串聯(lián)起來實現(xiàn)對高階被控對象的控制；2)利用慣性環(huán)節(jié)獲取延遲信號，用線性系統(tǒng)構(gòu)建高階跟蹤微分器，推導(dǎo)出擴張狀態(tài)觀測器的高階形式，結(jié)合誤差反饋設(shè)計綜合起來組成一個完整的自抗擾控制器。根據(jù)上述2種方法對同一帶擾動的三階系統(tǒng)設(shè)計自抗擾控制器并對所搭建系統(tǒng)進行仿真。仿真結(jié)果表明，2種方法所設(shè)計的自抗擾控制器在抑制擾動的同時具有良好的時域跟蹤能力，其中串聯(lián)ADRC跟蹤速度較慢，但抑制擾動的頻率范圍廣，高階ADRC的跟蹤速度更快，但抑制擾動的頻率范圍小。檢驗了這2種設(shè)計方法的有效性，為自抗擾控制器在工程上的使用提供了方便。

[1] 韓京清.自抗擾控制及其應(yīng)用[J].控制與決策,1998,13(1):19-23.(Han J Q. Active Disturbance Rejection Controller and Its Applications[J]. Control and Decision. 1998,13(1):19-23.)

[2] Han J Q. From PID to Active Disturbance Rejection Control[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009,56(3):900-906.

[3] 高志強.自抗擾控制思想探究[J].控制理論與應(yīng)用,2013,30(12):1498-1510.(Gao Zhiqiang. On the Foundation of Active Disturbance Rejection Control[J]. Control Theory & Applications,2013,30(12):1498-1510.)

[4] Hou Y ,Gao Z, Jiang F, et al. Active Disturbances Rejection Control for Web Tension Regulation[C]. Proc of the 2004 American Control Conf. Orlando: IEEE,2001:4974-4979.

[5] Dong L, Zhang Y, Gao Z. A Robust Decentralized Load Frequency Controller for Interconnected Power System[J]. ISA Transactions, 2012,51(3):4100-419.

[6] Achieve Improved Motion and Efficiency for Advanced Motor Control Designs in Minutes with TI’s New InstaSpin(TM)-Motion Technology[J]. The Wall Street Journal，April 18,2013.

[7] Goforth F, Zeller J, Gao Z. On Motion Control Design and Tuning[C]. Proc of the 2004 American Control Conf. Boston: IEEE,2004:716-721.

[8] 傅彩芬,譚文.基于高階控制器設(shè)計的線性自抗擾控制參數(shù)[J].控制理論與應(yīng)用,2017,34(1):1-8.(Fu Caifen, Tan Wen. Parameters Tuning of Linear Active Disturbance Rejection Control Based on High Order Controller Design[J]. Control Theory & Applications,2017,34(1):1-8.)

[9] 袁東, 馬小軍, 曾慶含，等. 二階系統(tǒng)線性自抗擾控制器頻帶特性與參數(shù)配置研究[J]. 控制理論與應(yīng)用,2013,30(12):1630-1637.(Yuan Dong, Ma Xiaojun, Zeng Qinghan， et al. Research on Frequency-band Characteristics and Parameters Configuration of Linear Active Disturbance Rejection Control for Second-order Systems[J]. Control Theory & Applications,2013,30(12): 1630-1637.)

[10] 張皎,楊旭,劉源翔，等.高階線性自抗擾控制器的性能評估[J]. 控制與決策, 2015,30(7):1162-1170.(Zhang Jiao, Yang Xu, Liu Yuanxiang， et al. Performance Evaluation for Active Disturbance Rejection with High-order Line Extended State Observer[J]. Control and Decision, 2015,30(7):1162-1170.)

[11] 高道祥,孫增圻,杜天容.高超聲速飛行器基于Back-stepping的離散控制器設(shè)計[J]. 控制與決策,2009,24(3):459-463. (Gao Daoxiang, Sun Zengqi, Du Tianrong. Discrete-time Controller Design for Hypersonic Vehicle Via Back-stepping[J]. Control and Decision, 2009,24(3):459-463.)

[12] Shao Xingling, Wang Honglun. Back-stepping Robust Trajectory Linearization Control for Hypersonic Reentry Vehicle Via Novel Tracking Differentiator[J].Journal of the Franklin Institute 353(2016):1957-1984.

[13] 陳松林,趙海香.三階擴張狀態(tài)觀測器的優(yōu)化參數(shù)配置方法[J]. 控制與決策, 2014,29(10):1851-1855.(Chen Songlin, Zhao Haixiang. Parameter Optimization of Third-order Extended State Observer[J]. Control and Decision, 2014,29(10):1851-1855.)