自抗擾控制器在高階系統(tǒng)中仿真實(shí)現(xiàn)*

張茜丹 尹達(dá)一

1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100039 2. 中國科學(xué)院紅外探測與成像技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200083 3. 中國科學(xué)院上海技術(shù)物理研究所，上海200083

自抗擾控制是一種基于消除擾動思想的控制方法[1-2]，其特點(diǎn)是不依賴被控系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)出的控制器在不改變參數(shù)的情況下對某一類系統(tǒng)都具有良好的控制效果，因此自抗擾控制器具有很強(qiáng)的魯棒性，同時(shí)也具有控制精度高、響應(yīng)速度快及抗干擾能力強(qiáng)等特點(diǎn)。目前，自抗擾控制技術(shù)在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用[3]，如航天姿態(tài)控制、網(wǎng)狀材料的張力控制、微機(jī)電傳感器、伺服系統(tǒng)的運(yùn)動控制及空間電力電子等系統(tǒng)[4-5]。2013年4月，德州儀器開始在全球發(fā)布以自抗擾技術(shù)為核心的運(yùn)動控制芯片[6]，顯示了自抗擾控制技術(shù)極大的應(yīng)用前景。

從自抗擾控制器提出到現(xiàn)在對自抗擾控制器各方面的研究，如各種參數(shù)整定方法[7-8]、頻率特性研究[9]及性能評估[10]等絕大多數(shù)工作都局限于二階系統(tǒng)。而對于高階被控系統(tǒng)，自抗擾控制器應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)和整定還沒有具體的方法，這給自抗擾控制器的實(shí)際應(yīng)用帶來局限。

因此，本文將從理論推導(dǎo)入手設(shè)計(jì)高階自抗擾控制器,并通過仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)高階自抗擾控制器的控制性能。在第1節(jié)按照Back-stepping思想[11-12]，通過低階系統(tǒng)的串聯(lián)構(gòu)造高階自抗擾控制器。在第2節(jié)給出高階TD和高階ESO的設(shè)計(jì)方法，利用它們結(jié)合誤差反饋設(shè)計(jì)組成一個(gè)完整的高階自抗擾控制器，分別針對高階被控對象，對所設(shè)計(jì)的高階自抗擾控制器的控制性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證。最后一節(jié)進(jìn)行總結(jié)。

1 串聯(lián)自抗擾控制器的設(shè)計(jì)仿真

具有擾動估計(jì)、補(bǔ)償能力的自抗擾控制器由4部分組成：跟蹤微分器(TD)安排過度過程；擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)提取系統(tǒng)狀態(tài)信息和擾動信息；狀態(tài)誤差反饋組合產(chǎn)生誤差反饋控制量；補(bǔ)償裝置依據(jù)擾動估計(jì)值對系統(tǒng)進(jìn)行擾動補(bǔ)償，生成最終控制量。自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 自抗擾控制器結(jié)構(gòu)圖

利用一階自抗擾控制器串聯(lián)的方法對高階系統(tǒng)進(jìn)行控制，針對一般高階系統(tǒng)如式(1)所示

(1)

將一階自抗擾控制器串聯(lián)起來實(shí)現(xiàn)對高階系統(tǒng)控制的思想是把狀態(tài)變量x2,x3,…,xn依次當(dāng)做x1,x2,…，xn-1的虛擬控制量u1,u2,…,un-1，即把xi+1當(dāng)作控制狀態(tài)變量xi的虛擬控制量ui，同時(shí)又把ui當(dāng)作狀態(tài)變量xi+1要跟蹤的目標(biāo)信號來設(shè)計(jì)下一個(gè)虛擬控制量ui+1，最后設(shè)計(jì)系統(tǒng)的實(shí)際控制量u。這個(gè)過程是把n階被控對象的控制問題化為n個(gè)一階對象的控制問題來解決，控制結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。這種方法與現(xiàn)代控制理論中的Back-stepping思想基本一致，但是Back-stepping方法需要一步步遞推構(gòu)造復(fù)雜的Lyapunov函數(shù)，利用子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)信息遞推地構(gòu)造整個(gè)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)。

圖2 一階自抗擾控制器串聯(lián)控制結(jié)構(gòu)框圖

以一個(gè)三階被控對象為例

(2)

其中，x1,x2,x3為狀態(tài)變量，控制目標(biāo)是讓狀態(tài)變量x1快速無超調(diào)地跟蹤輸入信號v。w1(t)和w2(t)和w3(t)為不確定性擾動，在仿真中，分別取值如下：

對式(2)系統(tǒng)設(shè)計(jì)串聯(lián)自抗擾控制器步驟如下：

第1步，將x2作為虛擬控制量，讓x1跟蹤輸入信號v，求取u1，得到ADRC1。

1)安排過渡過程

v1=v1-hrfal(v1-v,0.5,h)

(3)

2)關(guān)于x1的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

(4)

3)生成誤差

e1=v1-z11

(5)

4)反饋控制和擾動補(bǔ)償

u1=β1fal(e1,0.5,1.0)-z12

(6)

第2步，將x3作為虛擬控制量，讓x2跟蹤第1步中計(jì)算得到的虛擬控制量u1，求取u2，得到ADRC2。

1)關(guān)于x2的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

(7)

2)生成誤差

e2=u1-z21

(8)

3)誤差反饋和擾動控制

u2=β2fal(e2,0.5,1.0)-z22

(9)

第3步，求取實(shí)際控制量u，讓x3跟蹤第1步中計(jì)算得到的虛擬控制量u2，得到ADRC3。

1)關(guān)于x3的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

(10)

2)生成誤差

e3=u2-z31

(11)

3)誤差反饋和擾動控制

u=β3fal(e3,0.5,1.0)-z32

(12)

在設(shè)計(jì)ADRC1時(shí)，把虛擬控制量u1到變量x2的傳遞關(guān)系當(dāng)作“1”來看待；設(shè)計(jì)ADRC2時(shí)，把虛擬控制量u2到變量x3的傳遞關(guān)系當(dāng)作“1”來看待；最后設(shè)計(jì)ADRC3時(shí)，讓變量x3盡可能地跟蹤已確定的虛擬控制量u2。

根據(jù)上述設(shè)計(jì)的自抗擾控制器，在Simulink中搭建模型，其中各參數(shù)取值為

h=0.01，r=100，δ=1，β01=15，β02=100，β1=5，β2=50，β3=1000。輸入信號v為階躍信號，仿真結(jié)果如圖3和4所示。從仿真結(jié)果可以看出，在有擾動的情況下系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間為0.8s,系統(tǒng)帶寬為2Hz。

圖3 串級ADRC控制下系統(tǒng)輸出信號與輸入階躍信號對比

圖4 串級ADRC控制下系統(tǒng)bode圖

2 高階自抗擾控制器的設(shè)計(jì)仿真

下面仍然按照自抗擾控制器設(shè)計(jì)的分離性原理，分別設(shè)計(jì)高階跟蹤微分器、高階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器結(jié)合誤差反饋設(shè)計(jì)，組合成為一個(gè)完整的自抗擾控制器。

2.1 高階跟蹤微分器的設(shè)計(jì)

二階自抗擾控制器中的跟蹤微分器，是將以原點(diǎn)為終點(diǎn)的快速最優(yōu)控制綜合函數(shù)加以改進(jìn)和優(yōu)化，使其在跟蹤參考輸入信號的同時(shí)能夠安排預(yù)期動力學(xué)特性并且能夠避免高頻顫振。但是在高階情況下，通過繼續(xù)改進(jìn)最速函數(shù)來設(shè)計(jì)跟蹤微分器將會非常困難和復(fù)雜。

由微分的近似公式推導(dǎo)一般性的微分跟蹤器形式

(13)

(14)

如果時(shí)間常數(shù)τ1,τ2很接近常數(shù)τ，那么傳遞函數(shù)式(14)可近似成

(15)

(16)

根據(jù)式(16)可建立如下線性跟蹤微分器

(17)

v1跟蹤輸入信號v0，v2可以當(dāng)作輸入信號的近似微分。

一般地，傳遞關(guān)系

(18)

當(dāng)參數(shù)r適當(dāng)大時(shí)具有很好的高階微分功能。

以設(shè)計(jì)三階跟蹤微分器為例，根據(jù)式(18)設(shè)計(jì)

(19)

寫為跟蹤微分器的形式如下：

(20)

輸入函數(shù)v0(t)=sin(t)，參數(shù)r=30的仿真結(jié)果如圖5所示，可以看到各階導(dǎo)數(shù)逼近的很好，用式(19)設(shè)計(jì)的跟蹤微分器，作為高階自抗擾控制器中安排過度過程的裝置。

圖5 3階跟蹤微分器仿真結(jié)果

2.2 高階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)

根據(jù)二階系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的形式，將其推廣到任意階系統(tǒng)上。對系統(tǒng)

(21)

可以建立擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

(22)

對三階被控對象(2)，建立如下擴(kuò)張狀態(tài)觀測器

(23)

計(jì)算狀態(tài)誤差的非線性反饋律

(24)

對誤差反饋控制量u0用擾動估計(jì)值z4的補(bǔ)償來決定最終控制量

(25)

由式(20)、(23)～(25)構(gòu)成對被控對象(2)的自抗擾控制器。根據(jù)上述設(shè)計(jì)的自抗擾控制器，在Simulink中搭建模型，其中各參數(shù)取值為h=0.01,r=200,δ=0.5,β01=10,β02=2000,β03=20000,β04=10,β1=10,β2=10000，β3=500，輸入信號v為階躍信號，仿真結(jié)果如圖6～7所示。從仿真結(jié)果可以看出，在有擾動的情況下系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間為0.05s，帶寬為15Hz，且無穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 高階ADRC控制下系統(tǒng)輸出信號與輸入階躍信號對比

圖7 高階ADRC控制下系統(tǒng)的bode圖

3 系統(tǒng)對擾動的抑制能力

自抗擾控制器對擾動具有實(shí)時(shí)估計(jì)和補(bǔ)償?shù)哪芰?，用系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)表現(xiàn)系統(tǒng)對擾動的抑制能力，串聯(lián)ADRC與高階ADRC的抑制特性曲線如圖8～9所示，在串聯(lián)ADRC的作用下，系統(tǒng)的抑制帶寬可以達(dá)到515Hz，在高階ADRC的作用下，系統(tǒng)的擾動抑制帶寬可以達(dá)到45Hz,但是高階ADRC的抑制能力更強(qiáng)，所以在針對高頻擾動可以選用串聯(lián)ADRC,針對較大的低頻擾動可以選擇高階ADRC。

圖8 串級ADRC控制下系統(tǒng)的抑制特性曲線

圖9 高階ADRC控制下系統(tǒng)的抑制特性曲線

4 結(jié)論

基于二階系統(tǒng)自抗擾控制器的設(shè)計(jì)方法，用2種方法將自抗擾控制器推廣到高階系統(tǒng)中：1)利用Back-stepping思想，將低階自抗擾控制器串聯(lián)起來實(shí)現(xiàn)對高階被控對象的控制；2)利用慣性環(huán)節(jié)獲取延遲信號，用線性系統(tǒng)構(gòu)建高階跟蹤微分器，推導(dǎo)出擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的高階形式，結(jié)合誤差反饋設(shè)計(jì)綜合起來組成一個(gè)完整的自抗擾控制器。根據(jù)上述2種方法對同一帶擾動的三階系統(tǒng)設(shè)計(jì)自抗擾控制器并對所搭建系統(tǒng)進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果表明，2種方法所設(shè)計(jì)的自抗擾控制器在抑制擾動的同時(shí)具有良好的時(shí)域跟蹤能力，其中串聯(lián)ADRC跟蹤速度較慢，但抑制擾動的頻率范圍廣，高階ADRC的跟蹤速度更快，但抑制擾動的頻率范圍小。檢驗(yàn)了這2種設(shè)計(jì)方法的有效性，為自抗擾控制器在工程上的使用提供了方便。

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