抓捕航天器的多環(huán)遞歸姿態(tài)跟蹤控制*

殷春武

1. 西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，西安 710055 2. 西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院， 西安 710129

伴隨空天活動的增多，火箭箭體的噴射物、航天任務(wù)的拋棄物以及空間物體之間碰撞產(chǎn)生的碎片等太空垃圾的數(shù)量，每年呈指數(shù)增長，嚴(yán)重威脅著航天器和出倉航天員的安全，抓捕并回收太空垃圾成為急需解決的關(guān)鍵課題。動力特性未知的空間碎片(也稱為非合作目標(biāo))在太空中呈無序飛行，抓捕空間碎片過程中，抓捕航天器的姿態(tài)及其姿控系統(tǒng)的參數(shù)會產(chǎn)生攝動，為保障抓捕航天器的安全，抓捕航天器的姿態(tài)必須快速、精確地收斂到期望姿態(tài)。

剛體航天器的魯棒姿態(tài)控制研究起步較早，主要集中在抗干擾控制和轉(zhuǎn)動慣量攝動控制[1-3]。具有強魯棒性的滑?？刂颇苡行Ы鉀Q轉(zhuǎn)動慣量攝動上界已知條件下的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題，但滑?？刂迫菀讓?dǎo)致控制力矩出現(xiàn)抖振。當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量攝動上界未知時，需要借助自適應(yīng)更新律或智能逼近來估計未知轉(zhuǎn)動慣量，并建立基于轉(zhuǎn)動慣量估值的非線性控制器，但自適應(yīng)更新律不能實現(xiàn)對轉(zhuǎn)動慣量的精確估計，智能逼近器則能逐漸逼近實際轉(zhuǎn)動慣量[4-7]。抓捕航天器在抓捕非合作目標(biāo)過程后，將與非合作目標(biāo)組成新的復(fù)合體，抓捕航天器的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量將會發(fā)生突變。因此，抓捕航天器的魯棒姿態(tài)控制算法，不僅要對漸變的參數(shù)攝動和外部干擾具有強魯棒性，還必須能有效克服姿態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)突變。

受執(zhí)行器輸出能量的限制，實際執(zhí)行器的輸出幅值是有限的。早期的飽和控制策略是，先不考慮控制飽和約束，設(shè)計姿態(tài)控制器，再采用符號函數(shù)或飽和函數(shù)對控制器的輸出進行限幅，系統(tǒng)實際控制輸入達不到理論輸入，容易導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。理論分析可知，當(dāng)事后限幅時，限幅后的控制輸入并不等于所設(shè)計的控制器，不能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。要使姿態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)在實際工程應(yīng)用中滿足控制飽和約束，就應(yīng)該在控制器設(shè)計過程中(即事中)考慮飽和約束，并從理論上分析所設(shè)計姿態(tài)控制算法能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[8-12]。本文將在控制器設(shè)計過程中考慮控制飽和約束，利用構(gòu)建輔助預(yù)測系統(tǒng)預(yù)測控制飽和超幅部分，設(shè)計多環(huán)遞歸跟蹤控制器，并從理論上證明該控制策略的合理性和有效性。針對姿態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)中轉(zhuǎn)動慣量未知和參數(shù)突變的約束，本文將建立基于轉(zhuǎn)動慣量估值的輔助預(yù)測系統(tǒng)，并解決了引入基于估值的輔助預(yù)測系統(tǒng)后，整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明問題。

有學(xué)者通過數(shù)值對比仿真突出其所設(shè)計控制器能有效提高姿態(tài)跟蹤精度，但缺乏通用性，主要原因是其所提出的控制算法不是從提高控制精度的理論分析上獲得。本文通過分析影響姿態(tài)穩(wěn)態(tài)誤差的主要原因，從理論分析入手提出姿態(tài)跟蹤控制策略，以提升姿態(tài)跟蹤精度，降低姿態(tài)跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差。

本文的創(chuàng)新之處在于，將姿態(tài)跟蹤誤差的積分項引入姿態(tài)跟蹤誤差動力學(xué)系統(tǒng)，將原二階系統(tǒng)擴展成新的三階擴展姿態(tài)跟蹤誤差動力學(xué)系統(tǒng)，并根據(jù)原控制目標(biāo)給出了擴展系統(tǒng)跟蹤控制目標(biāo)的設(shè)計方法。對傳統(tǒng)反演控制進行改進，提出多環(huán)遞歸跟蹤控制策略，并將其用于抓捕航天器的姿態(tài)跟蹤控制中。在控制器設(shè)計中考慮控制飽和約束，引入基于參數(shù)估值的飽和超幅輔助預(yù)測系統(tǒng)，并從理論上證明了引入輔助系統(tǒng)后的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

1 抓捕航天器姿態(tài)控制問題描述

對剛體抓捕航天器按照yaw-pitch-roll (θ3-θ2-θ1) 進行旋轉(zhuǎn)，則抓捕航天器的姿態(tài)運動學(xué)方程為[13]：

(1)

存在控制飽和約束的航天器動力學(xué)方程：

(2)

(3)

(4)

(5)

ω×為ω=[ω1,ω2,ω3]Τ的反對稱矩陣

(6)

在捕獲非合作目標(biāo)過程中，抓捕航天器的機械臂將執(zhí)行伸展、抓捕及回收動作。機械臂伸展會導(dǎo)致抓捕航天器的質(zhì)心逐漸偏移，姿控系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量將呈非線性攝動(記為λ1(t)J0)；在T0時刻抓捕非合作目標(biāo)瞬間，非合作目標(biāo)與抓捕航天器構(gòu)成新的復(fù)合體，抓捕航天器的質(zhì)量會產(chǎn)生一個瞬間較大增量，等價為轉(zhuǎn)動慣量攝動量為λ2J0；隨后，機械臂回收，抓捕航天器的質(zhì)心發(fā)生改變，其轉(zhuǎn)動慣量也將產(chǎn)生一個非線性攝動(記為λ3(t)J0)，在T1時刻回收完畢后，轉(zhuǎn)動慣量攝動量穩(wěn)定在一個固定值上，抓捕航天器完成整個抓捕任務(wù)。抓捕非合作目標(biāo)過程中的姿態(tài)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量攝動變化模型，可用如下數(shù)學(xué)模型描述：

(7)

(8)

(9)

(10)

2 抓捕航天器姿態(tài)控制器設(shè)計

滑模變結(jié)構(gòu)控制是根據(jù)系統(tǒng)所期望的動態(tài)特性設(shè)計切換超平面，控制器根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)以躍變方式不斷切換，促使系統(tǒng)狀態(tài)到達切換超平面，最終實現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒控制。這種通過改變控制器結(jié)構(gòu)的控制方法使不可控系統(tǒng)變?yōu)榭煽叵到y(tǒng)，且增強了被控系統(tǒng)的魯棒性，說明改變系統(tǒng)或控制器結(jié)構(gòu)的控制方法能有效改善被控系統(tǒng)的品質(zhì)。但通過改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)提升控制品質(zhì)的研究成果并不多見。為了提升抓捕航天器的姿態(tài)跟蹤精度，減小和消除抓捕非合作目標(biāo)過程中的姿態(tài)跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差，本文嘗試?yán)酶淖冏藨B(tài)動力學(xué)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)該目的。

2.1 擴展姿態(tài)跟蹤誤差動力學(xué)系統(tǒng)

(11)

(12)

2.2 擴展姿態(tài)跟蹤誤差動力學(xué)系統(tǒng)的控制目標(biāo)設(shè)置

(13)

(14)

注1：確定擴展變量的期望軌跡是實現(xiàn)控制器設(shè)計的前提，為盡可能的減少控制器中參數(shù)的設(shè)置，此處給出了一種確定擴展變量期望軌跡的方法，也可以根據(jù)實際情況，選擇其他方法設(shè)計擴展變量的期望軌跡。

(15)

2.3 多環(huán)遞歸姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計

下面針對擴展姿態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)(12)，對傳統(tǒng)的反演控制方法進行改進，提出一種自適應(yīng)多環(huán)遞歸姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計策略，并從理論上證明該控制策略能保證閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。其控制結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 多環(huán)姿態(tài)跟蹤控制器結(jié)構(gòu)圖

(16)

設(shè)計擴展跟蹤器為

α1=-k1z1

(17)

(18)

設(shè)計姿態(tài)角跟蹤控制器為

(19)

其中控制增益k2>0。

(20)

其中,增益k4>0用來調(diào)整變量χ的收斂速度。

(21)

則等式(22)成立：

Ja=L(a)ξ

(22)

(23)

(24)

則有

(25)

(26)

(27)

其中，控制增益k3>0。將式(26)、(27)代入(25)有

(28)

2.4 多環(huán)遞歸姿態(tài)跟蹤控制器的穩(wěn)定性分析

證明：對式(28)兩邊積分得

(29)

(30)

(31)

適當(dāng)選擇常數(shù)c2，k1和ε1>0，有

(32)

為降低控制輸入的抖振，用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，姿態(tài)跟蹤控制器式(26)修改為：

(33)

為避免常值增益導(dǎo)致初期控制輸入過大，有效平衡控制輸入和收斂時間，本文設(shè)置如下的時變增益函數(shù)調(diào)整控制器中的增益系數(shù)[5]

ki=ρieαiarctan(βit)i=1,2，3,4

(34)

式中，常數(shù)ρi,αi,βi>0。ρi用來調(diào)節(jié)增益的取值范圍；αi調(diào)節(jié)增益的增長速度；βi調(diào)節(jié)增益收斂到恒定值的速度；arctan(t)是反正切函數(shù)。

3 仿真驗證

抓捕航天器初始姿態(tài)θ(0)=(20°, -10°,25°)，初始角速度為ω(0)=(0.01,0.01,0.01)，已知名義轉(zhuǎn)動慣量J0和轉(zhuǎn)動慣量矩陣的攝動量ΔJ分別為：

外部干擾力矩d∈R3為(ωΔ=0.1)

T0=25s，T1=40s,D=1.5,
C=(3.8785,-1.9393,4.8481)
ρ1=0.1，α1=0.9，β1=0.25,
ρ2=0.1，α2=1，β2=0.35,
ρ3=0.5，α3=5，β3=0.25,
ρ4=0.5，α4=5，β4=0.25,
Γ=diag(1,1,1,1,1,1),δ=0.01.

仿真結(jié)果見圖2～5。 仿真分析結(jié)果顯示，抓捕航天器在軌捕獲非合作目標(biāo)的過程中，當(dāng)采用本文設(shè)計的多環(huán)姿態(tài)跟蹤控制器(MLATC)時，航天器的姿態(tài)角能夠快速收斂到期望姿態(tài)。整個抓捕過程中，航天器實際姿態(tài)角的收斂軌跡幾乎呈指數(shù)下降，收斂過程中不存在姿態(tài)振蕩過程，說明該控制器下，抓捕航天器姿態(tài)角的調(diào)整具有較好的動態(tài)品質(zhì)。航天器姿態(tài)跟蹤誤差在區(qū)間[0°,0.02°]范圍內(nèi)，穩(wěn)態(tài)誤差非常小，有效提升了姿態(tài)跟蹤精度。實際角速度的變化范圍在區(qū)間[0,0.035]rad/s內(nèi)，小的角速度變化，能有效保證航天器的平穩(wěn)性，滿足抓捕航天器的帶寬和角速率陀螺量程限制?？刂屏貪M足控制飽和約束，所有力矩均沒有超過2.5N·m，且力矩不存在抖振現(xiàn)象。

同樣的，姿態(tài)角和角速度條件選擇文獻[15]中的滑模自適應(yīng)姿態(tài)控制器(SAAC)，當(dāng)采用飽和函數(shù)對文獻[15]中的控制輸入限幅時，閉環(huán)系統(tǒng)是發(fā)散的，說明直接對控制器的控制輸出飽和限幅并不能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從側(cè)面說明，要保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須在控制器設(shè)計過程中考慮控制飽和約束問題。

圖2 MLATC控制下的積分項變化軌跡

圖3 MLATC控制下姿態(tài)角跟蹤曲線

圖4 MLATC控制下角速度變化曲線

圖5 MLATC控制下控制力矩變化曲線

為分析文獻[15]發(fā)散的原因，剔除控制飽和約束，設(shè)置控制參數(shù)

P=diag(5,5,5)，Γ=diag(10,10,10)，ka=diag(120,120,120)，Λ=(1,1,1)Τ。

仿真時間80s，仿真結(jié)果見圖6～8。圖8顯示，在SAAC控制器下，抓捕航天器的最大控制力矩達到130N·m，該值遠遠大于2.5N·m，因此，當(dāng)采用飽和函數(shù)限制最大控制輸入力矩為2.5N·m時，控制力矩滿足不了保證航天器穩(wěn)定的最小力矩，導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)最終出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。同時，圖6顯示，在SAAC控制下，雖然航天器姿態(tài)角也能收斂到期望姿態(tài)，但是姿態(tài)跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差超過0.3°，MLATC比SAAC的姿態(tài)跟蹤精度高93.3%，且姿態(tài)調(diào)整過程中，姿態(tài)角存在多次振蕩。航天器的角速度變化軌跡存在多次振蕩，最大角速度也達到了0.4rad/s，該角速度變化范圍較MLATC高近10倍，也說明了MLATC控制器使航天器擁有更高的飛行品質(zhì)。

圖6 SAAC控制下姿態(tài)角跟蹤曲線

圖7 SAAC控制下角速度變化曲線

圖8 SAAC控制下控制力矩變化曲線

4 結(jié)論

為降低存在控制飽和約束的抓捕航天器，在抓捕非合作目標(biāo)過程中的姿態(tài)跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差，有效提升抓捕航天器捕獲非合作目標(biāo)過程中的姿態(tài)跟蹤精度，本文提出一種變結(jié)構(gòu)姿態(tài)跟蹤控制策略：

1)將姿態(tài)跟蹤誤差的積分項引入到姿態(tài)跟蹤動力學(xué)系統(tǒng)中，改變姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，設(shè)計了多環(huán)遞歸跟蹤姿態(tài)控制器，以提升姿態(tài)跟蹤精度；

2)根據(jù)原姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的控制目標(biāo)，探討了擴展后姿態(tài)動力學(xué)系統(tǒng)控制目標(biāo)的設(shè)計方法，并給出了擴展系統(tǒng)的跟蹤控制目標(biāo)；

3)對傳統(tǒng)反演控制方法進行改進，提出多環(huán)遞歸跟蹤控制策略，從控制器結(jié)構(gòu)上簡化了反演控制器，降低了控制器的計算量。理論和仿真驗證了多環(huán)遞歸跟蹤控制策略的合理性與可行性；

4)在姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計中考慮控制飽和約束，通過引入輔助動力學(xué)方程消除控制飽和約束，簡化控制器設(shè)計?；诰€性回歸算子分離出未知轉(zhuǎn)動慣量元素，并設(shè)計自適應(yīng)更新律估計未知轉(zhuǎn)動慣量，增強了航天器的魯棒性。

[1] Yang C D, Sun Y P. Mixed H 2/H∞ State-feedback Design for Microsatellite Attitude Control[J]. Control Engineering Practice, 2002, 10(9): 951-970.

[2] Li S, Yang J, Chen W H, et al. Generalized Extended State Observer Based Control for Systems With Mismatched Uncertainties[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2012, 59(12):4792-4802.

[3] Han J. From PID to Active Disturbance Rejection Control[J]. Industrial Electronics, IEEE Transactions on, 2009, 56(3): 900-906.

[4] Park Y. Robust and Optimal Attitude Control of Spacecraft with Inertia Uncertainties Using Minimal Kinematic parameters[J]. Aerospace Science & Technology, 2016, 54:276-285.

[5] 殷春武,侯明善,褚淵博，等.物理約束下的反演自適應(yīng)姿態(tài)控制[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2016, 34(2):281-286.(Yin Chunwu,Hou Mingshan,Chu Yuanbo,Yu Ying. Backstepping Adaptive Attitude Control with Physical Constraints[J],Journal of Northwestern Polytechnical University, 2016 (02): 281-286.)

[6] Yao Z. Attitude Tracking Control for Spacecraft with Robust Adaptive RBFNN Augmenting Sliding Mode Control[J]. Aerospace Science & Technology, 2016, 56:197-204.

[7] Leeghim H, Choi Y, Bang H. Adaptive Attitude Control of Spacecraft Using Neural Networks[J]. Acta Astronautica, 2009, 64(7): 778-786.

[8] Jiang B, Hu Q, Friswell M I. Fixed-Time Attitude Control for Rigid Spacecraft With Actuator Saturation and Faults[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2016, 24(5):1-7.

[9] Zou A M, Ruiter A H J D, Kumar K D. Finite-time Output Feedback Attitude Control for Rigid Spacecraft Under Control Input Saturation[J]. Journal of the Franklin Institute, 2016, 353(17):4442-4470.

[10] Li B, Hu Q, Ma G. Extended State Observer Based Robust Attitude Control of Spacecraft with Input Saturation[J]. Aerospace Science & Technology, 2016, 50:173-182.

[11] Guo Y, Song S M, Li X H, et al. Terminal Sliding Mode Control for Attitude Tracking of Spacecraft under Input Saturation[J]. Journal of Aerospace Engineering, 2016, 30(3): 16-32.

[12] Gao J, Cai Y. Adaptive Finite-Time Control for Attitude Tracking of Rigid Spacecraft[J]. Journal of Aerospace Engineering, 2016, 29(4):04016016.

[13] Chen B S, Wu C S,Jan Y W. Adaptive Fuzzy Mixed H2/H∞Attitude Control of Spacecraft[J], IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2000,36(4) :1343-1359.

[14] Tao G. A Simple Alternative to the Barbalat Lemma [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1997, 42(5):698.

[15] Yeh F K. Sliding-mode Adaptive Attitude Controller Design for Spacecrafts with Thrusters[J]. Control Theory & Applications, IET, 2010, 4(7): 1254-1264.