相位干涉儀測向模糊與誤差統(tǒng)計分析

陸安南，尤明懿

(中國電子科技集團公司第三十六研究所，浙江 嘉興 314033)

0 引 言

由于衛(wèi)星平臺限制和噪聲影響，測向系統(tǒng)存在相位差模糊、測向模糊(多個方向無法唯一選擇)和錯誤解模糊(錯誤選擇了一個方向)問題[1]。干涉儀測相位差測向體制普遍應用于低軌無源測向系統(tǒng)，是一種重要的測向體制。當前關于相位差干涉儀解模糊的研究主要集中于解由于逆三角函數(shù)多解性導致的長基線干涉儀測向模糊問題。例如，文獻[2]介紹了長短基線法和有模糊的分數(shù)階基線比解模糊法，文獻[3]介紹了虛擬基線解模糊法，文獻[4]提出了立體基線法，文獻[1]提出一種正交長基線匹配解測向模糊的方法，并建立了該方法正確解測向模糊的概率模型。

某些情況下，采信錯誤解測向模糊的結(jié)果帶來的損失遠較放棄正確解測向模糊結(jié)果的損失大，但是關于判斷解測向模糊是否正確方面的研究尚未見報道。本文就多基線干涉儀測向方法，研究其是否正確解測向模糊的判別問題，提出基于相位差擬合誤差均值與方差假設檢驗的測向無模糊判斷方法。該判斷方法的顯著性水平(對應于誤判風險)可根據(jù)具體應用需求優(yōu)化選擇。此外，根據(jù)實際應用需求，開展正確解模糊后的測向誤差分析，提出了真實輻射源方向落入方向錐角范圍的概率估計的方法。仿真試驗驗證了本文提出的正確解模糊判別方法的有效性與誤差分析方法的正確性。

1 測向解模糊顯著性判斷

多基線干涉儀測向方法具有一定的解模糊能力，但是存在相位差測量誤差和測向基線較長時，輻射源方位和虛假點的相位差擬合誤差接近甚至大小顛倒，測向目標函數(shù)可能有多個峰值[1-2]。

如圖1中有多個峰，直觀上最高峰與其余峰高度差異較大，最高峰對應測向結(jié)果較可信，而圖2中最高峰與次高峰高度接近，此時選擇最高峰對應輻射源位置有可能出錯。

圖1 測向目標函數(shù)最高峰與其余峰擬合峰值差異較大

圖2 測向目標函數(shù)最高峰與次高峰擬合峰值接近

考慮到相位差的擬合誤差呈獨立同分布N(0,σ2)，σ未知，考慮用以下方法剔除假峰：

(1)在給定的顯著性水平下，用t檢驗法[6]對最高峰與其它峰相位差的擬合誤差的均值是否相等檢驗，剔除所有與最高峰均值不相等的峰；

(2)在給定的顯著性水平下，用F檢驗法對相位差的擬合誤差的方差是否相等檢驗，剔除所有與最高峰方差不相等的峰。

通過以上處理后，若僅留下一個峰，則判斷該峰對應真實輻射源位置，否則存在該顯著性水平下無法分辨的測向模糊，則此次測向結(jié)果不可采信或需引入額外信息消除模糊。

2 測向誤差分析

解模糊后(即章節(jié)2中m=2,…,M對應的測向結(jié)果均被剔除的情況)，應用中關心的不僅是輻射源方向的點估計，還包括估計誤差的分析?；谶@樣的考慮，本節(jié)給出相位干涉儀的測向誤差分析。

天線坐標系下，干涉儀天線陣第i次測量的第j條基線dji=(dji1,dji2,dji3)T上的相位差可以表示為：

pji=2πf/c·(ui,dji)+nji=

2πf/c·(cosθcosφdji1+cosθsinφdji2)+nji

?hji(θ,φ)+nji,j=1,…,K

(1)

式(1)中，nji為測量誤差，ui=ri/‖ri‖，ri為天線坐標系下第i次測量輻射源的位置矢量，‖x‖表示矢量x的模，(x,y)表示矢量x與y的內(nèi)積。

以矩陣形式表達，有：

pi=hi(θ,φ)+ni

(2)

將hi(θ,φ)在η0=(θ0,φ0)T處做線性近似，記作h0=hi(θ0,φ0)，Δη=(Δθ,Δφ)T，η=η0+Δη。hi(θ,φ)在η0的Jacobian矩陣為G(K×2)，則有：

pi≈h0+G·Δη+ni

(3)

記ni的協(xié)方差矩陣為wi=σ2·I(K×K)，σ2為相位差測量誤差方差，I(K×K)為單位矩陣。則Δη的最小二乘估計為：

(4)

因此，η的估計為：

(5)

[-(x-η0)TΣ-1(x-η0)/2]

(6)

R={x:(x-η0)TΣ-1(x-η0)≤k}

(7)

實際應用過程中，比較關心的問題是：給定某次測向結(jié)果(θ0,φ0)(對應測向線S0)，計算真實輻射源方向落入方向錐角ψZ范圍的概率Pz，其中ψZ為以測向線S0為軸線，所有與S0夾角為φz的測向線構(gòu)成的錐角。圖3給出上述各測向線與角度的關系示意圖[3-4]。

圖3 測向線與角度關系示意圖

為考察上述問題，首先明確給定某次測向結(jié)果(θ0,φ0)，錐角范圍的表達。天線坐標系中，給定兩直線S0、S1，其中S0的俯仰、方位角為(θ0,φ0)，S1的俯仰、方位角為(θ1,φ1)，則兩直線之夾角φi滿足：

cosφi=sinθ0sinθ1+cosθ0cosθ1cos(φ0-φ1)

(8)

根據(jù)式(8)，則對于錐角φz范圍內(nèi)的任何測向線S1，均應滿足：

sinθ0sinθ1+cosθ0cosθ1cos(φ0-φ1)≥cosφz

(9)

給定(θ0,φ0)，根據(jù)式(9)求解(θ1,φ1)為一個多解問題，且解析式難以求取。為此，可考慮借助計算機以網(wǎng)格搜索的方式求得滿足式(9)的(θ1,φ1)，并代入式(6)求取真實輻射源方向落入該網(wǎng)格的概率，最終求得所有滿足式(9)的測向線(以測向網(wǎng)格近似)的概率密度總和，即為：真實輻射源方向落入方向錐角ψZ范圍的概率Pz。上述計算過程可分為以下幾步：

(1)給定某錐角φz，選定所有可能的(θ1,φ1)范圍，即0°≤θ1≤90°，0°≤φ1≤360°；

(2)對所有可能的(θ1,φ1)范圍劃分網(wǎng)格，并以該網(wǎng)格中心(θ1i,φ1i)代表該網(wǎng)格的方位、俯仰角，記所有滿足式(9)的網(wǎng)格數(shù)為N；

(3)計算每個(θ1i,φ1i)是否滿足式(9)，若滿足則進一步求取真實輻射源方向落入該網(wǎng)格的近似概率

P(θ1i,φ1i)=1/[(2π)|Σ|1/2]·exp

[-(η1i-η0)TΣ-1(η1i-η0)/2]·Si

(10)

式中，η1i=(θ1i,φ1i)T，Si為網(wǎng)格的面積；

(4)累計所有滿足式(9)的網(wǎng)格的P(θ1i,φ1i)，即有：

[-(η1i-η0)TΣ-1(η1i-η0)/2]·Si

(11)

3 仿真分析與驗證

仿真和計算的條件為：輻射源入射角為(θ,φ)=(31.2°,110.5°)，測系統(tǒng)采用均勻五元陣測量相位差，相位差測量均方根誤差σφ=5°,10°,15°，基線/波長=1.5、2.5、…、8.5；顯著性水平α=0.1，置信概率P=0.9。

對圖1和圖2中的數(shù)據(jù)進行檢驗，結(jié)果見表1和表2。由表1和表2中的結(jié)果，圖1中最高峰對應正確解，而本文提出的統(tǒng)計分析方法正確剔除了副峰；圖2中最高峰對應錯誤解，本文提出的統(tǒng)計分析方法拒絕了該結(jié)果。可見，直接采信最高峰對應的測向結(jié)果可能帶來很大的誤差。

表1 測向解模糊顯著性判斷(最高峰與次高峰)

表2 測向解模糊顯著性判斷(最高峰與次高峰)

根據(jù)章節(jié)3提出的方法，表3第一行給出了圖1中的數(shù)據(jù)分析所得的不同φz對應的Pz。另一方面，在(θ,φ)附近(θ、φ變化范圍均小于0.1°)統(tǒng)計500次正確解模糊時測向結(jié)果與實際方向的夾角，結(jié)果如表3第2行所示。由表中結(jié)果可見，本文給出的誤差分析方法具有較高的準確性。

取顯著性水平α=0.1，置信概率P=0.9，對相位差測量均方根誤差σφ=5°,10°,15°，基線/波長=1.5、2.5、…、8.5各進行500次蒙特卡羅仿真，得到:(1)正確判別解模糊比例，包括最高峰對應輻射源真實位置時剔除副峰(記為真—真)和最高峰對應虛假位置(記為假—假)時保留副峰(即無法解模糊)的兩種情況；(2)最高峰對應虛假位置時剔除副峰(即錯誤解模糊)比例(簡記為假—真)；(3)最高峰對應輻射源位置時保留副峰(即無法解模糊)的比例(簡記為真—假)。判別次數(shù)與比例分析情況見表4。

表3 圖1中的數(shù)據(jù)分析所得的不同φz對應的Pz

表4 不同相位差測量均方根誤差及基線/波長比情況下的判別次數(shù)

根據(jù)表4的結(jié)果，在仿真考慮的參數(shù)范圍內(nèi)：

(1)大多數(shù)情況下，假-假比例/假-真比例>3，證明提出的統(tǒng)計分析方法能有效剔除假峰；

(2)應用中最關心的是誤判比例。采用提出的統(tǒng)計分析方法的誤判比率rs為：B/(A+B)，而僅采信最高峰對應的測向結(jié)果方法的誤判比率ro為：(B+D)/(A+B+C+D)，其中A:真—真，B：假—真，C：真—假，D：假—假。圖5給出了σφ=10°和σφ=15°情況下不同基線/波長時的rs和ro。圖4中，對于σφ=10°和σφ=15°，基本均有rs>ro,說明提出的統(tǒng)計分析方法能有效降低誤判比例。

圖4 σφ=10°和σφ=15°情況下不同基線/波長時的rs和ro

當然，在基線/波長與σφ均較大時，兩類方法的誤判比例均較高，雖然采用提出的統(tǒng)計分析方法能一定程度降低誤判比例，但誤判比例絕對值已較高，說明該情況下已不再適宜采用本文考察的測向體制，需考慮新的測向體制或引入額外信息以解除模糊。例如，對于σφ=15°，基線/波長=6.5的情況，采用均勻八陣元相位干涉儀測向體制及提出的統(tǒng)計分析方法，得到的誤判比例為12.6%，顯著低于上述均勻五陣元相位差干涉儀測向體制的31.4%。

實際應用過程中，受限于尺寸、重量、布局等，顯然無法無限制地增加陣元，對于誤判比例較高的情形，另一種建議的方式是增加一次測向時的相位(或相位差)采集次數(shù)。例如，表6給出了σφ=15°，基線/波長=6.5的情況下，采用均勻八陣元相位干涉儀體制一次測向相位采集1次及10次相位數(shù)據(jù)的判別次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果。顯然，一次測向相位采集10次相位數(shù)據(jù)的判別結(jié)果顯著優(yōu)于僅采集1次相位數(shù)據(jù)的判別結(jié)果。當然，采用增加一次測向相位采集次數(shù)的方式降低誤判比例的方式要求多次相位采集均對應于固定的輻射源方向，這對于運動平臺而言是難以做到的，必須將相位采集時間限制在很短的時間內(nèi)。對于具體應用，一次測向時相位采集次數(shù)仍需根據(jù)實際參數(shù)情況予以優(yōu)化[5]。

表6 判別次數(shù)統(tǒng)計結(jié)果

本文基于多陣元平面陣多基線干涉儀測向體制探討測向模糊的統(tǒng)計分析方法。值得指出的是，本文探討的多基線干涉儀測向模糊統(tǒng)計分析方法不僅適用于多陣元平面陣干涉儀體制，對于采用最小二乘法，因而測量相位差與理論相位差的偏差應滿足式(12)的其他干涉儀測向體制，該統(tǒng)計分析方法仍適用：

(12)

式(12)中，求模函數(shù)mod(A,B)指求A相對于B的余數(shù)，ψ′為測量相位差，ψ為理論相位差，ε為呈均值為0方差為σ2的正態(tài)分布的測量誤差。

4 結(jié) 語

測向系統(tǒng)相位模糊或錯誤解相位模糊將對正確測向造成影響，簡單地采用相位差、角度差或距離差最小化不能保證正確測向，而通過統(tǒng)計方法給出測向結(jié)果無模糊的定量判據(jù)，可以減少錯誤測向，對測向結(jié)果的采信具有較大的意義。

[1] 陸安南. 一種長基線組合二維角測向方法[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理，2012，3(27)：385-388.

[2] 梁雙港. 基于相位干涉儀測向算法的定位技術(shù)研究[D]. 2006，西北工業(yè)大學.

[3] 韓廣. 干涉儀快速測向算法的研究與實現(xiàn)[D]. 2010，解放軍信息工程大學.

[4] 諶麗，陳昊，肖先賜. 五元均勻圓陣干涉儀加權(quán)測向算法及解相位模糊的條件[J]. 電子對抗，2004，(1)：8-12.

[5] 盛驟，謝式千，潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 北京：高等教育出版社，2010.