孟金芳,付 喜
(中國電子科技集團(tuán)公司第三十六研究所,浙江嘉興 314033)
在任何時期,對動目標(biāo)的態(tài)勢感知和預(yù)判能力都有著迫切的需求,而現(xiàn)有設(shè)備對動目標(biāo)(尤其是空中動目標(biāo))的監(jiān)視能力還十分有限。為了實現(xiàn)對動目標(biāo)的態(tài)勢感知和預(yù)判能力,就必須利用一切可以利用的手段實現(xiàn)對這些威脅目標(biāo)實施偵察,對其“一舉一動”進(jìn)行有效的掌控,包括情報信息、位置信息以及速度信息、航向信息等。
利用高軌衛(wèi)星對空中動目標(biāo)進(jìn)行定位,能夠在較大的范圍內(nèi)(覆蓋5000 km×5000 km區(qū)域)的目標(biāo)進(jìn)行偵察、定位和跟蹤。星載定位體制主要有單星測向交叉定位[1]、三星時差定位[2-3]、雙星時頻差定位[5-6]等類型。三星時差定位體制具有適用范圍廣,實現(xiàn)簡單,定位精確度高等優(yōu)點(diǎn),受到世界各國的普遍重視。現(xiàn)在的三星時差定位針對固定目標(biāo)進(jìn)行定位或者定位精度分析[2-4],不能適應(yīng)空中快速目標(biāo)的定位與跟蹤,不能在對目標(biāo)定位的同時估計出目標(biāo)的航向航速信息。本文以高軌衛(wèi)星星載平臺測得的空中運(yùn)動目標(biāo)時差信息為基礎(chǔ),應(yīng)用EKF和UKF濾波方法對目標(biāo)的位置和航速航向進(jìn)行跟蹤,并給出仿真結(jié)果。
三星時差定位[4]源信號到達(dá)主星和其中一個輔星組成的偵察基線之間存在著時間差,由這個時間差可以繪制一個所有可能的輻射源位置的雙曲面,如果主星和另外一個輔星組成另外一條偵察基線,則可以得到另外一個雙曲面,兩個雙曲面的交點(diǎn)得到所有可能的輻射源位置的曲線。該曲線與地面模型的交點(diǎn)即為輻射源的位置。
設(shè)時差定位系統(tǒng)由一個主站和N個輔站組成,本文采用地心坐標(biāo)系,各測量站的位置坐標(biāo)為(xi,yi,zi),i=0,1,2,其中i=0表示主站,i=1,2表示輔站,目標(biāo)輻射源的位置坐標(biāo)為(x,y,z),則輻射源和各個測量站之間的距離為:
(1)
=Ki-2xix-2yiy-2ziz+x2+y2+z2
(2)
令τi0表示輻射源到達(dá)輔站i和主站0之間的TDOA測量值,則
(3)
其中c為電波傳播速度。
該方程與地球表面作為定位面的方程進(jìn)行聯(lián)立,得到如下式所示的時差定位方程組:
(4)
其中a為目標(biāo)相對于地心形成的球面半徑,r為地球半徑,h為目標(biāo)相對于地面高度。
對該方程進(jìn)行求解可以得到目標(biāo)的位置信息,但是不能求出目標(biāo)的航速和航向信息,其中航速信息可以通過濾波的方法求出。
目標(biāo)定位與跟蹤問題的非線性源于狀態(tài)方程和觀測方程中函數(shù)的非線性以及相關(guān)噪聲過程的非高斯性,所以卡爾曼濾波成立的前提條件不滿足,而要采用偏微分方程來描述濾波問題,目前在實際處理跟蹤濾波問題中用得最多的仍然是基于EKF技術(shù)的方法。
在地心坐標(biāo)系下,動目標(biāo)采用離散勻加速運(yùn)動模型[8],其狀態(tài)變量為X(i)=(x(i),y(i),z(i),vx(i),vy(i),vz(i),ax(i),ay(i),az(i))T,其中(x(i),y(i),z(i))T為目標(biāo)的位置向量,(vx(i),vy(i),vz(i))T為目標(biāo)的速度向量,(ax(i),ay(i),az(i))T為目標(biāo)的加速度向量。系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以描述為:
X(i+1)=f(X(i),w(i))=FX(i)+Γw(i)
(5)
(6)
由式(4)可以得到系統(tǒng)的觀測方程為:
(7)
以式(5)為狀態(tài)方程、式(7)為觀測方程組成一個EKF濾波模型,對動目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,并求取目標(biāo)的航速信息。濾波過程如下:
預(yù)測方程為:
(8)
預(yù)測協(xié)方差為:
P(i,i-1)=FP(i-1)FT+Q
(9)
測量方程的雅克比矩陣為:
(10)
卡爾曼增益為:
K(i)=P(i,i-1)H(i)T
[H(i)P(i,i-1)H(i)T+R]-1
(11)
濾波方程為:
(12)
濾波協(xié)方差為:
P(i)=[I-K(i)*H(i)]*P(i,i-1)*
[I-K(i)*H(i)]T+K(i)*R*K(i)T
(13)
應(yīng)用EKF濾波得到目標(biāo)的航跡和航速信息,根據(jù)航速計算實時航向信息,具體如下所示:
航向角為:
(14)
俯仰角為:
(15)
速和航向信息,其中航速信息可以通過濾波的方法求出。
在實際處理目標(biāo)定位于跟蹤問題中用得最多的是基于EKF濾波的方法,但是容易出現(xiàn)線性化誤差大和協(xié)方差容易出現(xiàn)病態(tài)等缺點(diǎn),UKF(Unscented Kalman Filter)算法是對EKF的改進(jìn),利用UT變換的方法選取Sigma樣點(diǎn),更好的近似隨機(jī)變量非線性變化后的統(tǒng)計值。與傳統(tǒng)的EKF算法相比,UKF在解決非線性問題時通常能獲取更高的精度,并且對噪聲具有很好的適應(yīng)性。
(16)
將這些樣點(diǎn)通過非線性變換,即:
y=g(χj),j=0,1,…,2L
(17)
計算權(quán)值:
(18)
其中調(diào)節(jié)參數(shù)β可以提高方差的精度。
則變量X經(jīng)過非線性變換后得到y(tǒng)=g(χ)的均值和方差為:
(19)
非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程分別如式(5)和式(7)所示。
(1)濾波初始化:
(20)
(2)計算樣點(diǎn):
根據(jù)式(16)樣點(diǎn)的選取策略,對于時刻i-1,得到采樣點(diǎn){χj(i-1)},j=1,…,L。
(21)
(3)狀態(tài)變換預(yù)測:
χ(i|i-1)=f(χ(i-1),w(i-1))
(22)
(23)
(24)
(4)測量變換預(yù)測:
Z(i|i-1)=h(χ(i-1),v(i-1))
(25)
(26)
(27)
(5)狀態(tài)、測量預(yù)測互協(xié)方差:
(28)
(6)權(quán)增益及狀態(tài)更新:
(29)
(30)
(31)
應(yīng)用UKF濾波得到目標(biāo)的航跡和航速信息,航向信息的計算如式(14)和(15)所示。
為了驗證EKF和UKF濾波在星載對空中動目標(biāo)航跡定位及航速航向估計上的應(yīng)用效果,在MATLAB平臺上編寫軟件進(jìn)行仿真分析。三顆衛(wèi)星軌道高度為36000 km,呈三角形分布,最大星間距為2000 km,目標(biāo)在距離地球表面10 km高度做勻速運(yùn)動。設(shè)衛(wèi)星自定位誤差均方差為100 m,時差估計誤差均方差為200 ns,假設(shè)地球半徑測量誤差為10 km(該誤差實際代表了目標(biāo)相對地球表面的高度值,具體見式(7)的描述)。根據(jù)式(8)~(13)得到EKF濾波過程,根據(jù)式(20)~(31)得到UKF濾波過程,目標(biāo)濾波初值由式(4)通過解析法獲取(求取初始值時假設(shè)目標(biāo)高度為0 m),濾波結(jié)果如圖1~圖3所示。
圖1 定位跟蹤效果圖
圖2 濾波后的定位誤差曲線圖
圖3 濾波后的航速誤差曲線圖
從圖1~圖3可以看出,本文所用的方法能夠跟蹤動目標(biāo)運(yùn)動軌跡,并同時跟蹤目標(biāo)的速度值。EKF在200 s后定位誤差能達(dá)到公里級別,穩(wěn)定后均方根誤差為8.1 km,200 s后航速估計誤差在20 m/s 以內(nèi),均方根誤差為6.3 m/s。UKF在200 s后定位誤差能達(dá)到1 km左右,穩(wěn)定后均方根誤差為0.768 km,200 s后航速估計誤差在20 m/s以內(nèi),均方根誤差為5.3 m/s。
EKF對目標(biāo)的定位誤差在8 km左右,這是因為EKF不能很好的估計目標(biāo)的高度值,UKF比EKF更善于解決非線性跟蹤問題,仿真結(jié)果證明UKF能夠在觀測方程的約束下很好的估計目標(biāo)的高度信息,也能得到更好的定位結(jié)果和航速估計結(jié)果,可用于長時間對空中動目標(biāo)進(jìn)行定位跟蹤的場合。
圖4 航向角估計誤差曲線圖
圖5 俯仰角估計誤差曲線圖
從圖4~圖5可以看出,本文所用的方法能夠估計目標(biāo)的航向信息,包括航向角和俯仰角。EKF濾波穩(wěn)定后航向角估計誤差的均方根誤差為0.52°,俯仰角估計誤差的均方根誤差為0.84°。UKF濾波穩(wěn)定后航向角估計誤差的均方根誤差為0.2°,俯仰角估計誤差的均方根誤差為0.74°。EKF和UKF濾波方法都能夠很好的估計出目標(biāo)的航向信息,相比而言,UKF的航向信息估計的更加精確,適合用于長時間對空中動目標(biāo)進(jìn)行航向估計的場合。
本文提出了一種基于濾波(包括EKF和UKF)的高軌衛(wèi)星星載平臺定位跟蹤方法,能夠?qū)罩袆幽繕?biāo)進(jìn)行定位跟蹤,同時估計出目標(biāo)的航速航向信息,仿真結(jié)果表明UKF的定位跟蹤和航速航向估計能達(dá)到很高的精度,使得高軌衛(wèi)星對空中動目標(biāo)定位精度達(dá)到1 km以內(nèi),提高了高軌衛(wèi)星對空中動目標(biāo)的態(tài)勢感知和預(yù)判能力。這對于高軌衛(wèi)星平臺下對空中動目標(biāo)定位跟蹤及航向航速估計的工程化實現(xiàn)具有一定的參考價值。
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