顧及視覺規(guī)律的行政區(qū)劃圖自動(dòng)著色回溯法

魏智威,郭慶勝,2,顏 芬,王 勇

1. 武漢大學(xué)資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢 430079; 2. 武漢大學(xué)測(cè)繪遙感信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 湖北 武漢 430079; 3. 中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院, 北京 100830

色彩是重要的地圖語(yǔ)言，在地圖設(shè)計(jì)中作用不可忽視[1]。行政區(qū)劃單元是常用的底圖要素，通常用顏色進(jìn)行區(qū)分，這些大面積分布的色彩往往決定了一幅地圖的配色風(fēng)格[2]。因此，行政區(qū)劃圖的色彩配置需要格外關(guān)注。

目前，國(guó)內(nèi)外的研究主要涉及著色區(qū)域計(jì)算和色彩設(shè)計(jì)。行政區(qū)劃圖著色要求相鄰行政區(qū)劃單元顏色不相同，若將行政區(qū)劃單元看成是圖節(jié)點(diǎn)，著色區(qū)域計(jì)算可抽象為經(jīng)典的“四色問題”，即對(duì)于任一地圖，只用不多于4種顏色，就能使相鄰的行政區(qū)劃單元顏色不相同。傳統(tǒng)的遞歸、回溯和貪心算法可以用來解決該問題[3]，但是若將顏色數(shù)限定為4，這些方法有時(shí)并不一定能找到滿足條件的解。另外，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，智能化算法也被應(yīng)用于解決這個(gè)問題，如遺傳算法、蟻群算法、模擬退火算法、禁忌搜索算法等[3-4]，但是智能化方法有時(shí)效率不高。

當(dāng)設(shè)計(jì)地圖色彩時(shí)，出于不同的目的可能抽象出不同的規(guī)則。若保證所選顏色之間具有較好的區(qū)分度，可以在給定顏色集中選擇一組最大顏色區(qū)間最小差異的配色模板[5]，也可以直接選擇色彩空間中距離較大的顏色[6-7]?；谏逝c表達(dá)信息的一致性，并顧及顏色之間的搭配規(guī)則，文獻(xiàn)[8—13]設(shè)計(jì)了適宜于地圖著色的多種配色模板。地圖色彩設(shè)計(jì)還需要顧及色彩的語(yǔ)義特征，文獻(xiàn)[14]研發(fā)了相應(yīng)的地圖色彩設(shè)計(jì)工具。另外，色彩的對(duì)比與調(diào)和是地圖色彩設(shè)計(jì)中廣泛遵循的理論，相關(guān)色彩設(shè)計(jì)的方法和工具有很多，如HCS Generator、Color Schemer Online[15-17]等。若從受眾角度出發(fā)，色彩設(shè)計(jì)還需要顧及特定人群的視覺規(guī)律，如制作服務(wù)色弱人群的地圖時(shí)，需要選擇一些特殊的顏色；另外，不同地域的人群對(duì)于色彩的視覺感受也不一致[18-19]。

常用的著色區(qū)域計(jì)算方法只能找到一個(gè)滿足相鄰行政區(qū)劃單元顏色不相同條件下的解，沒有較好顧及著色區(qū)域間的面積均衡。另外，著色區(qū)域計(jì)算只顧及了地圖要素間的空間關(guān)系，而色彩設(shè)計(jì)也只顧及了顏色之間的搭配原則。但是，行政區(qū)劃圖著色時(shí)，還需要考慮色彩在空間上的配置，不同的空間配置方案會(huì)引起人不同的地圖色彩視覺感受。針對(duì)以上兩個(gè)問題，本文詳細(xì)研究了行政區(qū)劃圖著色過程中需要顧及的視覺規(guī)律，并建立了相應(yīng)的著色效果評(píng)價(jià)模型；在著色區(qū)域計(jì)算中，添加了面積均衡約束，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了顧及面積均衡的著色區(qū)域計(jì)算方法。

1 顧及面積均衡約束的回溯法

行政區(qū)劃圖著色需要計(jì)算著色區(qū)域，即對(duì)行政區(qū)劃單元進(jìn)行分組，找到一個(gè)著色區(qū)域的分組方案A={A1,A2,…,An}，表示將行政區(qū)劃單元分成n組，用不同的n種顏色對(duì)這n組區(qū)域著色時(shí)，能保證相鄰行政區(qū)劃單元顏色不相同。

回溯法是一種優(yōu)選搜索法，按優(yōu)選條件向前搜索，直至達(dá)到目標(biāo)。當(dāng)探索到某一步，發(fā)現(xiàn)選擇并不優(yōu)或達(dá)不到目標(biāo)時(shí)，就退回一步重新選擇。因此，利用回溯法求解的問題可以表達(dá)為：已知n元組{x1,x2,…,xn}組成狀態(tài)空間P={(x1,x2,…,xn)|xi∈N,i=1,2,…,n}，給定n元組的一個(gè)分量約束集D，求P中滿足約束集D的一個(gè)n元組。行政區(qū)劃圖著色要求鄰接行政區(qū)劃單元顏色不相同，若將行政區(qū)劃單元看成是圖節(jié)點(diǎn)，相鄰行政區(qū)劃單元對(duì)應(yīng)兩個(gè)圖節(jié)點(diǎn)連接，那么，行政區(qū)劃圖的著色區(qū)域計(jì)算就可以抽象為圖著色問題：給定無(wú)環(huán)圖G=(V,E)和配色模板C={C1,C2,…,Cm}，其中V={v1,v2,…,vn}為圖頂點(diǎn)集，E={e1,e2,…,en}為圖邊集，從配色模板C中用盡可能少的顏色對(duì)頂點(diǎn)集V進(jìn)行著色，且相鄰節(jié)點(diǎn)顏色不相同。因此，行政區(qū)劃圖的著色區(qū)域可以利用回溯法進(jìn)行計(jì)算。

但是，利用回溯法計(jì)算行政區(qū)劃圖著色區(qū)域時(shí)，若將顏色數(shù)目限定為4，回溯法有時(shí)不能找到滿足相鄰行政區(qū)劃單元顏色不相同條件下的解。另外，地圖著色時(shí)，需要顧及人的視覺效果，應(yīng)盡量保證圖上用色相對(duì)均勻[1]，因此，行政區(qū)劃圖著色區(qū)域計(jì)算時(shí)，也需要顧及各色塊間的面積均衡。行政區(qū)劃圖著色通常使用3—7種顏色為宜[1]，若不將著色數(shù)目限定為4，分別利用3—7種顏色數(shù)依次對(duì)可能的解進(jìn)行探測(cè)，直至找到滿足條件的解才停止探測(cè)，就更可能找到滿足條件的解；此外，在回溯法中，如果能添加相應(yīng)的面積均衡約束，就能在著色區(qū)域計(jì)算時(shí)，較好地顧及各色塊間的面積均衡。

基于以上兩個(gè)認(rèn)識(shí)，設(shè)計(jì)顧及面積均衡約束的回溯法。設(shè)置初始顏色數(shù)m為3，構(gòu)成顏色集合C={C1,C2,…,Cm}；行政區(qū)劃單元集合對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)集V={v1,v2,…,vn}，頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的顏色存入一個(gè)二維數(shù)組中，記為Colors(n)，分別存儲(chǔ)頂點(diǎn)和頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的顏色，設(shè)置初始顏色為空；顏色為Cj的行政區(qū)劃單元面積和記為Aj，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行政區(qū)劃單元面積記為Avi。那么，求解m著色問題的數(shù)據(jù)處理流程見圖1。

(1) 在顏色集合C={C1,C2,…,Cm}中任取一種顏色Cj，對(duì)頂點(diǎn)集中第一個(gè)頂點(diǎn)vi進(jìn)行著色，記i=1，顏色Cj對(duì)應(yīng)的行政區(qū)劃單元面積和Aj=Avi，并將Colors(n)中頂點(diǎn)vi對(duì)應(yīng)的顏色修改為Cj；

(2)i=i+1，若i

(3) 依次選擇顏色集合C={C1,C2,…,Cm}中行政區(qū)劃單元面積和最小的顏色Cj，對(duì)頂點(diǎn)vi著色；若頂點(diǎn)vi著色后與其他頂點(diǎn)顏色不沖突，則Aj=Aj+Avi，并將Colors(n)中頂點(diǎn)vi對(duì)應(yīng)的顏色修改為Cj，轉(zhuǎn)至步驟(2)；否則，搜索下一個(gè)顏色；

(4) 若步驟(3)中，在當(dāng)前顏色集合C={C1,C2,…,Cm}中無(wú)法找到一種顏色使得頂點(diǎn)vi著色后與其他頂點(diǎn)顏色不沖突，且m<8，表明無(wú)法找到m種顏色條件下滿足相鄰行政區(qū)劃單元顏色不相同的解，則m=m+1，構(gòu)成新的顏色集合C={C1,C2,…,Cm}，轉(zhuǎn)至步驟(1)。

圖1 回溯法數(shù)據(jù)處理流程圖Fig.1 Data processing procedure of backtracking method

2 地圖著色的評(píng)價(jià)模型

在地圖編制機(jī)構(gòu)已經(jīng)積累有大量?jī)?yōu)秀的行政區(qū)劃圖配色模板，在實(shí)際應(yīng)用中，也存在大量可供參考的配色模板和色彩設(shè)計(jì)工具。因此，色彩設(shè)計(jì)時(shí)可以相對(duì)容易地獲得符合要求的配色模板。對(duì)于一個(gè)著色區(qū)域方案A={A1,A2,…,An}，給定配色模板C={C1,C2,…,Cn}，利用配色模板C中的顏色對(duì)著色區(qū)域A進(jìn)行著色時(shí)，即找到一個(gè)從A到C的映射，需要考慮色彩在空間上的配置，使其能較好地顧及地圖著色過程中的視覺規(guī)律。其中，從A到C映射的優(yōu)劣需要建立相應(yīng)的評(píng)價(jià)模型。

2.1 色彩協(xié)調(diào)

顏色是光從物體反射到人眼睛時(shí)所引起的視覺心理印象，協(xié)調(diào)的顏色搭配和合理的色彩空間分布，能讓人感覺舒適[20-21]。試驗(yàn)心理學(xué)中建立了大量的數(shù)學(xué)模型，使得不同顏色之間的協(xié)調(diào)程度能夠被量化，如文獻(xiàn)[22—24]的學(xué)術(shù)成果。另外，圖面的色彩協(xié)調(diào)程度還需要考慮要素的空間特征，如兩鄰接區(qū)域共享邊的長(zhǎng)度[25-26]等。本文采用文獻(xiàn)[22]提出的Η模型對(duì)兩顏色間的協(xié)調(diào)程度進(jìn)行量化，它將RGB色彩轉(zhuǎn)化到基于人眼色彩感知度量建立的顏色-對(duì)立色彩空間(CIELab)中，保證了色彩變換的均勻性，且與設(shè)備無(wú)關(guān)。其中，L表示明暗度，a和b表示顏色對(duì)立維度。兩顏色之間的協(xié)調(diào)程度由兩種顏色的明暗度協(xié)調(diào)、色相協(xié)調(diào)和色調(diào)協(xié)調(diào)確定，并將兩顏色的協(xié)調(diào)程度從-5到5進(jìn)行量化，數(shù)值越大，說明兩種顏色之間越協(xié)調(diào)。另外，在兩顏色協(xié)調(diào)程度相同的情況下，若兩個(gè)行政區(qū)劃單元共享邊長(zhǎng)度越長(zhǎng)，兩行政區(qū)劃單元間的色彩協(xié)調(diào)程度也越大[25]。若行政區(qū)劃單元Ai的顏色為Ci，行政區(qū)劃單元Aj的顏色為Cj，則這兩行政區(qū)劃單元間的色彩協(xié)調(diào)程度C(Ai,Aj)計(jì)算如下

C(Ai,Aj)=wij*H(Ci,Cj)i≠j

(1)

式中，H(Ci,Cj)為利用Η模型計(jì)算出的兩種顏色間協(xié)調(diào)程度；wij為兩行政區(qū)劃單元共享邊長(zhǎng)度。對(duì)任意兩個(gè)行政區(qū)劃單元都計(jì)算其色彩協(xié)調(diào)程度，那么，圖面的色彩協(xié)調(diào)程度Sc計(jì)算如下

(2)

式中，m為行政區(qū)劃單元個(gè)數(shù)。

2.2 色彩對(duì)比

試驗(yàn)心理學(xué)研究表明，好的色彩對(duì)比有助于快速捕捉和識(shí)別信息[21]。地圖以圖解的方式表達(dá)空間事物，因而行政區(qū)劃圖著色需要考慮色彩的對(duì)比。色彩對(duì)比通常在鄰近區(qū)域或景前與景后的對(duì)比中產(chǎn)生，局部鄰近區(qū)域中，色彩對(duì)比需要綜合考慮顏色間的差異、要素面積與形狀等[7,20,25]。顏色間差異可以劃分為明暗度差異、色相差異和色調(diào)差異，其中，明暗度差異最為重要，因此兩種顏色間差異可以用明暗度差異近似度量[16]。另外，在兩種顏色間差異程度相同的情況下，若兩行政區(qū)劃單元共享邊長(zhǎng)度越長(zhǎng)，兩行政區(qū)劃單元間的局部區(qū)域色彩對(duì)比程度也越大。因此，若行政區(qū)劃單元Ai的顏色為Ci，行政區(qū)劃單元Aj的顏色為Cj，則這兩個(gè)行政區(qū)劃單元間的局部區(qū)域色彩對(duì)比程度P(Ai,Aj)計(jì)算如下

P(Ai,Aj)=wij*D(Ci,Cj)i≠j

(3)

D(Ci,Cj)為兩顏色在CIELab色彩空間中的明暗度數(shù)值差異，wij為兩行政區(qū)劃單元共享邊長(zhǎng)度。對(duì)任意兩個(gè)行政區(qū)劃單元都計(jì)算其局部區(qū)域色彩對(duì)比程度，那么圖面的局部色彩對(duì)比程度Sp計(jì)算如下

(4)

式中，m為行政區(qū)劃單元個(gè)數(shù)。

在考慮景前與景后的對(duì)比關(guān)系時(shí)，人們往往希望相對(duì)于背景，地圖內(nèi)容具有更亮的顏色[20,25]，即面積越大的區(qū)域明度越低時(shí)，其全局色彩對(duì)比度越好。因此，圖面的背景色彩對(duì)比度Sb計(jì)算如下

(5)

式中，n為配色區(qū)域個(gè)數(shù)；Ci為區(qū)域Si對(duì)應(yīng)的顏色在CIELab色彩空間中的明暗度數(shù)值[26]。圖面的色彩對(duì)比需要綜合考慮局部區(qū)域的色彩對(duì)比程度和圖面背景的色彩對(duì)比程度。

2.3 視覺平衡

地圖的圖面設(shè)計(jì)需要保持圖面的均衡，讀者讀圖時(shí)往往有一個(gè)視覺中心，約比圖面圖廓幾何中心高出5%，圖面均衡要求所有的圖形都應(yīng)圍繞視覺中心進(jìn)行配置[1]。地圖圖形由于所處的位置、顏色等，往往給人輕重的感覺[1,27]。研究表明，越暗的顏色視覺重力越大[25]，因此，參考幾何中心的計(jì)算方法，圖面視覺中心的計(jì)算如下

(6)

(7)

式中，SAn為行政區(qū)劃單元An面積；xn和yn分別是對(duì)應(yīng)行政區(qū)劃單元An重心的x、y坐標(biāo)；Ln見公式(8)。

(8)

(9)

式中，Tx與Ty為理論視覺中心的x、y坐標(biāo)。若Pb越大，說明其離理論視覺中心越遠(yuǎn)，那么其視覺平衡程度越差。

2.4 行政區(qū)劃圖著色效果評(píng)價(jià)

f(δ)=1/(RSc+0.5(RSp+RSb)+RPb)

(10)

對(duì)于顏色分配方案δ，若其滿意程度越高，則其越能較好地顧及行政區(qū)劃著色過程中的視覺規(guī)律。若對(duì)滿意程度f(wàn)(δ)按從大到小排序，能知道每一個(gè)顏色分配方案的著色效果排名。

3 試 驗(yàn)

視覺認(rèn)知易受人類個(gè)體差異和主觀影響，如環(huán)境、性別、年齡、教育背景和生長(zhǎng)環(huán)境等，因而行政區(qū)劃著色的優(yōu)劣，難以用定量的方式客觀評(píng)價(jià)。但是，優(yōu)秀的地圖作品被廣泛接受且符合視覺認(rèn)知，首先利用本文的圖面著色效果評(píng)價(jià)方法對(duì)已有優(yōu)秀作品進(jìn)行評(píng)價(jià)，驗(yàn)證方法的合理性。選擇2013年湖北省領(lǐng)導(dǎo)工作用圖和2011年公開出版的安徽省地圖集中行政區(qū)劃圖作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，如圖2所示。2013湖北省領(lǐng)導(dǎo)工作用圖選用5種顏色進(jìn)行配色，最終其顏色分配方案的圖面著色效果滿意度在120種可能的顏色分配方案中排名26；安徽省行政區(qū)劃圖選用6種顏色進(jìn)行配色，最終其顏色分配方案的圖面著色效果滿意度在720種可能的顏色分配方案中排名129。這兩幅圖中，其顏色分配的圖面著色效果滿意度均處于該方法排序的前25%，這證明了本方法的有效性，圖面著色效果的各指標(biāo)詳細(xì)說明見表1。

圖2 行政區(qū)劃圖色彩設(shè)計(jì)Fig.2 Color design for administrative maps

地圖RScRSpRSbRPbf(δ)排序2013湖北省領(lǐng)導(dǎo)工作用途50201641/124.526/1202011安徽省行政區(qū)劃圖18394374451/693.5129/720

選擇中國(guó)1∶400萬(wàn)縣級(jí)行政區(qū)劃中某區(qū)域?yàn)樵囼?yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文提出的方法，試驗(yàn)區(qū)域行政區(qū)劃單元個(gè)數(shù)共計(jì)72個(gè)。利用回溯法計(jì)算著色區(qū)域，試驗(yàn)結(jié)果見圖3(a)和圖3(b)。其中，圖3(a)為未添加面積均衡約束回溯法計(jì)算得到的著色區(qū)域，圖3(b)為添加了面積均衡約束回溯法計(jì)算得到的著色區(qū)域，圖3(a)與圖3(b)的對(duì)比結(jié)果見表2。由表2可以看出，當(dāng)利用回溯法計(jì)算著色區(qū)域時(shí)，5種顏色就能對(duì)已有的72個(gè)行政區(qū)劃單元進(jìn)行著色，而行政區(qū)劃圖著色通常采用3—7種顏色為宜[1]；另外，添加了面積均衡約束后，圖3(b)相較于圖3(a)各色塊數(shù)目與總面積的標(biāo)準(zhǔn)差更小，即添加面積均衡約束后，圖3(b)在各色塊行政區(qū)劃單元數(shù)目和各色塊總面積上更為均衡。

圖3 行政區(qū)劃圖色彩設(shè)計(jì)Fig.3 Color design for administrative maps

Tab.2Contrastbetweenresultsbasedonbacktrackingmethodwhichfollowsareabalanceornot

區(qū)域類別個(gè)數(shù)面積/km2圖3(a)圖3(b)圖3(a)圖3(b)1211454283331392211248809347463171742482371774111322027326715216574735615標(biāo)準(zhǔn)差8.052.07202611839

給定一個(gè)包含5種顏色的配色模板，將這5種顏色分配到利用顧及面積均衡回溯法計(jì)算得到的著色區(qū)域中，一共存在120中顏色分配方案。利用2.3中提出的地圖著色效果評(píng)價(jià)模型分別計(jì)算每一種顏色分配方案下的圖面著色效果滿意度，并對(duì)其進(jìn)行排序，排序結(jié)果見表3。圖3(b)與圖3(c)分別為圖面著色效果排序?yàn)?和120的兩種配色方案結(jié)果圖，各指標(biāo)的詳細(xì)說明見表3?？疾靾D3(b)可知，其具有較好的圖面協(xié)調(diào)和圖面均衡程度，且圖面對(duì)比程度適中，因此圖面著色效果最好；考察圖3(c)可知，其圖面協(xié)調(diào)程度很差，且圖面均衡程度與對(duì)比程度也較差，因此圖面著色效果最差。

表3 行政區(qū)劃圖著色效果評(píng)價(jià)指標(biāo)值

4 結(jié) 論

為解決行政區(qū)劃圖的著色問題，本文在回溯法基礎(chǔ)上添加了面積均衡約束，較好地顧及了行政區(qū)劃圖著色過程中著色區(qū)域間的圖面面積均衡；另外，在計(jì)算圖面色彩協(xié)調(diào)程度、圖面色彩對(duì)比程度和圖面視覺平衡程度的基礎(chǔ)上，建立了行政區(qū)劃圖著色效果評(píng)價(jià)的模型。試驗(yàn)表明，本文提出的方法，能有效評(píng)價(jià)行政區(qū)劃圖圖面著色效果的優(yōu)劣，并輔助自動(dòng)提高行政區(qū)劃圖圖面著色的效果和效率。但是，綜合考慮地圖著色過程中的視知覺規(guī)律與語(yǔ)義特征是后續(xù)研究的重點(diǎn)。另外，考慮色彩在不同圖種空間上的不同配置要求以拓展本文提出的圖面著色效果評(píng)價(jià)模型也是值得研究的問題。

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