基于最大功效積的磁諧振無線電能傳輸系統(tǒng)的PCB線圈優(yōu)化設(shè)計(jì)

陳 政 閆 海 毛行奎 蘭石發(fā)

（1. 福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108；2. 古田溪水力發(fā)電廠，福建 寧德 352000）

將電能進(jìn)行無線傳輸，是人類一直以來的夢想，自從法國物理學(xué)家赫茲發(fā)現(xiàn)電磁波后，美籍科學(xué)家特斯拉便提出利用電磁波攜帶能量實(shí)現(xiàn)無線電能傳輸?shù)臉?gòu)想[1]，多年來國外的一些科學(xué)家堅(jiān)持開展著這項(xiàng)研究，但是進(jìn)展緩慢[2]，直到2007年MIT的科學(xué)家們成功在 1.9m距離外“隔空”點(diǎn)亮一盞 60W的燈泡[3]以來，全世界范圍內(nèi)掀起了一股研究無線電能傳輸?shù)臒岢盵4-5]。

在許多應(yīng)用場合，對于無線電能傳輸系統(tǒng)的PCB線圈尺寸有一定的限制，因此在有限空間下對其進(jìn)行優(yōu)化是很有必要的，文獻(xiàn)[6]提出以最大效率為目標(biāo)，以強(qiáng)耦合系數(shù)為優(yōu)化函數(shù)，對PCB線圈進(jìn)行優(yōu)化。但優(yōu)化后的線圈在效率最優(yōu)的情況下，功率往往較低。文獻(xiàn)[7]針對磁耦合諧振系統(tǒng)滿足最大輸出功率時(shí)效率比較低的情況，提出了功效積指標(biāo)。

首先，本文通過對磁諧振無線電能傳輸系統(tǒng)進(jìn)行建模分析，通過分析系統(tǒng)的輸出功率和傳輸效率與負(fù)載、互感、頻率之間的關(guān)系，得出系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)對同一負(fù)載同時(shí)兼顧最大輸出功率與最大傳輸效率兩種特性，提出了以功效積為優(yōu)化函數(shù)，優(yōu)化PCB線圈。之后，運(yùn)用Mathcad數(shù)學(xué)軟件作出功效積優(yōu)化函數(shù)隨線圈各參數(shù)變化的曲線，通過找這些曲線的最優(yōu)點(diǎn)初步確定線圈參數(shù)。隨后，在此基礎(chǔ)上，采用電磁場有限元分析軟件Ansoft進(jìn)行仿真優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果制作了一組線圈，并對互感和交流電阻進(jìn)行了測試，驗(yàn)證了該方法的正確性。

1 系統(tǒng)建模分析

1.1 系統(tǒng)電路模型

圖1所示是四線圈結(jié)構(gòu)的磁諧振無線電能傳輸系統(tǒng)的電路等效模型。根據(jù)補(bǔ)償結(jié)構(gòu)的不同，可分為 SSSS、SSSP、PSSS、PSSP[8]，其中，S表示串聯(lián)，P表示并聯(lián)，其中SSSS型四線圈互感耦合模型如圖1所示，Us是正弦高頻激勵(lì)源，Rs為其內(nèi)阻，L1—L4是各線圈的自感，C1—C4是各線圈的補(bǔ)償電容，R1—R4是各線圈的等效電阻，M12、M23、M34是各線圈間的互感，RL是負(fù)載阻抗。

圖1 磁耦合結(jié)構(gòu)互感耦合模型

本文選取 SSSS模型作為分析對象，如圖1所示，各線圈回路的阻抗可表示為

由電路理論[9]可得，各線圈電壓方程為

為了簡化分析，可引入發(fā)射阻抗的概念，令Z12、Z23、Z34表示后一級線圈回路反射到前一級線圈回路的阻抗，則各反射阻抗可表示為

系統(tǒng)的輸入阻抗可以表示為

根據(jù)圖1可得，系統(tǒng)的輸出功率和傳輸效率：

當(dāng)系統(tǒng)工作在諧振頻率時(shí)，電源線圈和負(fù)載線圈為單匝結(jié)構(gòu)，可忽略其交流電阻、交叉互感[9]，各線圈自阻抗和反射阻抗可簡化為

根據(jù)電路理論，電源線圈感應(yīng)到發(fā)射線圈的電壓源可以表示為ωM12I1，將負(fù)載線圈的阻抗折算到接收線圈，得到圖2所示的兩線圈等效電路模型。

圖2 系統(tǒng)的等效電路模型

根據(jù)圖2，由式（2）、式（4）至式（6）可得

1.2 線圈參數(shù)對系統(tǒng)傳輸特性的影響

從式（7）可以看出，Po和η 均與ω、RL、收發(fā)線圈參數(shù)及 M23等因素有關(guān)，而互感與傳輸距離 D有關(guān)[10]。下面以負(fù)載電阻RL對系統(tǒng)傳輸特性的影響為例進(jìn)行分析。

在進(jìn)行負(fù)載對系統(tǒng)傳輸特性影響的分析中，選擇系統(tǒng)工作頻率 f=4MHz，R2=0.15Ω，R3=0.36Ω，M23=19.6nH，M34=0.45μH，RL=500Ω的傳輸線圈，交流激勵(lì)源U21=2V，根據(jù)上述公式，借助數(shù)學(xué)分析軟件Mathcad對磁諧振式無線供電技術(shù)的傳輸特性進(jìn)行分析。

分別對系統(tǒng)的Po與η 求關(guān)于R0的一階導(dǎo)數(shù)，可得

令0()0Rη′=，可得效率最優(yōu)負(fù)載：

圖3為Po和η 隨R0的變化曲線。由圖3可知，Po和η 無法實(shí)現(xiàn)同時(shí)達(dá)到兩者的最佳值。

圖3 Po、η 與R0的關(guān)系曲線

運(yùn)用上述負(fù)載對系統(tǒng)傳輸特性的分析方法，可以得出ω、M23與輸出功率、效率的關(guān)系如圖4所示。

圖 4Po、η 與ω、M23的關(guān)系曲線

由圖4可知，隨著頻率、互感的增加，系統(tǒng)輸出功率最優(yōu)時(shí)，效率較低，Po和η 不能兼顧。

1.3 SSSS拓?fù)湎到y(tǒng)的功效積分析

通過以上分析可得，對于一個(gè)系統(tǒng)而言，Po和η 不可兼得。鑒于此，本文應(yīng)用功效積這個(gè)綜合性指標(biāo)，為系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化提供理論基礎(chǔ)，使系統(tǒng)在滿足輸出功率的情況下，也能實(shí)現(xiàn)較高的傳輸效率，定義功效積為輸出功率和傳輸效率的乘積[11]，用符號(hào)ψ 表示，由式（7）可得

由式（11），可得功效積隨等效負(fù)載 R0的變化曲線，如圖5所示。

圖5 ψ 與R0的關(guān)系曲線

由圖5可以看出，功效積存在最優(yōu)等效負(fù)載。令dψ/dR0=0，可得功效積最優(yōu)負(fù)載：

將式（9）、式（12）代入式（7），可得最大效率和最大功效積指標(biāo)下的Po和η，見表1。

表1 最大效率與最大功效積指標(biāo)下系統(tǒng)傳輸特性對比

由表 1，可知在最大功效積指標(biāo)下，傳輸效率降低了4.3%，但功率卻增加了14.7%。綜上所述，以功效積為優(yōu)化指標(biāo)，能較好的兼顧輸出功率和傳輸效率。

2 線圈的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 PCB線圈

圖6為長方形PCB線圈的結(jié)構(gòu)圖。其中，Amax、Bmax為線圈的最大尺寸，Amin、Bmin為線圈的最小尺寸；lw為N匝導(dǎo)體的總長度；w為導(dǎo)體線寬；s為線間距；t為銅厚。

圖6 長方形PCB線圈

由圖6可推導(dǎo)出線圈的幾何關(guān)系如下：

線圈優(yōu)化時(shí)需滿足以下約束條件：

1）線圈最大尺寸：A1max=80mm，B1max=100mm，A2max=50mm，B2max=80mm。

2）工作頻率：f=4MHz。

3）傳輸距離：D=130mm。

其中，下標(biāo) 1、2表示發(fā)射線圈和接收線圈，A1min、B1min、A2min、B2min均不得小于零。

2.2 理論優(yōu)化

交流電阻可根據(jù)以下公式近似計(jì)算[12]：

式中，σ 為銅的電導(dǎo)率，δ 為趨膚深度；μo為真空磁導(dǎo)率；f為工作頻率；Rdc為線圈的直流電阻。

圖7為單匝線圈互感耦合模型圖，其中圓形線圈的互感可通過下式計(jì)算[9]：

式中，r1、r2分別為發(fā)射線圈和接收線圈的半徑，D為兩線圈中心間的距離，E(k)、K(k)為具有模數(shù)k的第一類和第二類橢圓積分。

圖7 單匝線圈模型

當(dāng)長方形線圈的面積與圓形線圈的面積相等時(shí)，長方形線圈間的互感與圓形線圈間的互感近似相等[14]，故多匝長方形線圈間的互感可通過下式計(jì)算：式中，N1、N2為發(fā)射和接收線圈的匝數(shù)；r1a、r2a為長方形線圈最大尺寸與最小尺寸的等效圓形半徑的平均值。

將式（12）代入功效積表達(dá)式（11），可得最優(yōu)負(fù)載下的功效積（以下簡稱最大功效積），再結(jié)合交流電阻、互感計(jì)算公式以及式（13）所示的線圈各參數(shù)之間的幾何關(guān)系，可推導(dǎo)出基于PCB線圈參數(shù)的最大功效積表達(dá)式ψmax（N,w,s,t），以此作為優(yōu)化函數(shù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析軟件 Mathcad，采用單因素法描繪出ψmax隨各優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的變化曲線。

1）銅厚

先假定 N1=7，w1=3mm，s1=1mm，N2=6，w2=2mm，s2=1mm，設(shè)t1=t2=t，作出ψmax與t的關(guān)系曲線，如圖8所示。

圖8 ψmax與t的關(guān)系曲線

由圖8可得，最大功效積隨銅厚的增加而增加，這是由于隨著銅厚的增加，交流電阻值明顯降低的結(jié)果。且在銅厚小于70μm內(nèi)，功效積增速明顯，而在銅厚大于70μm后增速減緩，考慮性價(jià)比，取t1=t2=70μm。

2）線間距

固定 N1=7，w1=3mm，N2=6，w2=2mm，s2=1mm，t1=t2=70μm，ψmax與 s1的關(guān)系曲線如圖 9所示，隨線間距的減小最大功效積不斷增大，但這是在忽略了導(dǎo)線之間臨近效應(yīng)的情況下，實(shí)際上隨著線間距的減小，臨近效應(yīng)的影響會(huì)逐漸越大，反而會(huì)造成最大功效積減小，所以實(shí)際應(yīng)用中，線間距不宜取的太小，初步取s1=0.5mm。

圖9 ψmax與s1、s2的關(guān)系曲線

固定 N1=7，w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，t1=t2=70μm，ψmax與 s2的關(guān)系如圖 9所示。同理，取s2=0.5mm。

3）線圈匝數(shù)

固定 w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，如圖10所示。由圖可知，最大功效積隨著N1的增加而逐漸減少，考慮到實(shí)際應(yīng)用時(shí)，線圈自感值不能大小，因此本文取N1=4。

圖10 ψmax與N1、N2的關(guān)系曲線

固定 N1=4，w1=3mm，s1=0.5mm，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，由圖10可知，最大功效積在N2=6時(shí)取到最大值，因此取N2=6。

4）線寬

固定 N1=4，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，ψmax與 w1的關(guān)系曲線如圖 11所示。隨著w1的增加最大功效積逐漸增加，這是因?yàn)閣1的增加可以有效減小電阻值，但隨著線寬的增加，會(huì)帶來渦流損耗的增加，所以實(shí)際線寬不宜過大，取w1=4mm。

圖11 ψmax與w1、w2的關(guān)系曲線圖

固定 N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，ψmax與 w2的關(guān)系曲線如圖 11所示。由圖可知，最大功效積隨著接收線圈線寬的增加先增加后減小，因此取w2=2mm。

綜上所述，可以確定以最大功效積為目標(biāo)的PCB線圈理論優(yōu)化的參數(shù)為：N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm。

2.3 仿真優(yōu)化

交流電阻和互感的計(jì)算公式是近似的，偏差比較大，理論優(yōu)化存在一定的局限性。以下基于電磁場有限元分析軟件ANSYS Maxwell，利用其參數(shù)掃描功能對不同參數(shù)下線圈的交流電阻值和互感值進(jìn)行仿真，并將仿真值代入最大功效積表達(dá)式，再利用單因素法進(jìn)行PCB線圈參數(shù)的最終優(yōu)化。

圖12為在Maxwell仿真軟件xyz坐標(biāo)系下建立的長方形PCB線圈的二維仿真模型。

圖12 長方形PCB線圈二維仿真模型

其中交流電阻值通過渦流損耗計(jì)算得到，互感值通過軟件自帶的電感矩陣得到。

1）銅厚

固定 N1=7，w1=3mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm。設(shè) t1=t2=t，對 t進(jìn)行參數(shù)掃描，由仿真結(jié)果可得如圖13所示的最大功效積曲線。

考慮到銅厚的性價(jià)比，取t=70μm。

圖13 ψmax與t的關(guān)系曲線

2）線寬

固定 N1=7，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，對線寬 w1進(jìn)行參數(shù)掃描，由仿真結(jié)果可得如圖14所示。由圖可得，當(dāng)w1=4mm時(shí)，最大功效積取得最大值，因此取w1=4mm。

固定 N1=7，w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，對線寬w2進(jìn)行參數(shù)掃描，由仿真結(jié)果可得如圖14所示。同理，取w2=2mm。

圖14 ψmax與w1、w2的關(guān)系曲線

3）線圈匝數(shù)

固定 w1=4mm，s1=0.5mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，將發(fā)射線圈匝數(shù)由 1匝增加到7匝，由仿真結(jié)果可得如圖15所示的最大功效積曲線?？紤]實(shí)際情況下，匝數(shù)不能太小，因此取N1=4。

圖15 ψmax與N1、N2的關(guān)系曲線

固定 N1=4，w1=4mm，s1=0.5mm，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，接收線圈匝數(shù)進(jìn)行變化，由仿真結(jié)果可得如圖15所示的曲線。由圖可得，當(dāng)N2=6時(shí)，最大功效積取得最大值，因此取N2=6。

4）線間距

固定 N1=4，w1=4mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm，對線寬 s1進(jìn)行參數(shù)掃描，由仿真結(jié)果如圖16所示。由圖可得，當(dāng)s1超過2mm時(shí)，最大功效積基本不增加，因此取s1=2mm。

圖16 ψmax與s1、s2的關(guān)系曲線

固定 N1=4，s1=2mm，w1=4mm，N2=6，w2=2mm，t1=t2=70μm，對線寬 s2進(jìn)行參數(shù)掃描，由仿真結(jié)果如圖16所示。由圖可知，當(dāng)s2=0.5mm時(shí)，最大功效積取到最值，因此取s2=0.5mm。

綜上所述，可以確定以最大功效積為目標(biāo)的PCB線圈仿真優(yōu)化的參數(shù)為：N1=4，w1=4mm，s1=2mm，N2=6，w2=2mm，s2=0.5mm，t1=t2=70μm。

3 線圈制作與測試

根據(jù)上述優(yōu)化方法，制作了兩組線圈，理論優(yōu)化線圈實(shí)物如圖17所示。

圖17 理論優(yōu)化的線圈實(shí)物

采用阻抗分析儀在4MHz頻率下測得線圈的交流電阻見表 2（阻抗分析儀的型號(hào)為 WK-6520A，最高測試頻率為 15MHz）。根據(jù)表格 2中的線圈參數(shù)值，可以看出電阻的仿真值與計(jì)算值很相近，電阻的計(jì)算值與實(shí)測值有一些誤差，導(dǎo)致誤差的原因可能有：①測量探頭的接觸電阻而帶來的附加電阻；實(shí)測時(shí)周圍難免有導(dǎo)體和導(dǎo)磁體，比如阻抗分析儀的外殼就為金屬物；②線圈導(dǎo)體的銅厚未達(dá)到設(shè)計(jì)值的要求。減小該誤差的方法：①采用測量精度更高的阻抗分析儀；②搭建輔助電路，以測量線圈的交流損耗，最后計(jì)算出更準(zhǔn)確的交流電阻值。

表2 線圈的交流電阻

根據(jù)反射阻抗的式（7），通過阻抗分析儀測得發(fā)射線圈阻抗實(shí)部的最大值，可間接得到發(fā)射和接收線圈的互感值，見表 3，互感的計(jì)算值和實(shí)測值是很接近的。

表3 不同距離下線圈之間的互感

再根據(jù)仿真分析優(yōu)化的結(jié)果，制作的線圈實(shí)物圖如圖18所示。

圖18 仿真優(yōu)化的線圈實(shí)物

按照上述測試方法，得到表4所示的交流電阻和表5所示的互感值。具體分析過程和上述一樣。

表4 線圈的交流電阻

表5 不同距離下線圈之間的互感

根據(jù)表2和表4，得出實(shí)測值與計(jì)算值的誤差、仿真值與計(jì)算值的誤差，見表 6（表格里前一個(gè)數(shù)是表2的，后一個(gè)是表4的），計(jì)算與仿真的誤差很小，說明仿真用的模型較準(zhǔn)確，計(jì)算公式較精準(zhǔn)。計(jì)算、仿真值與實(shí)測值之間的誤差主要是由測量誤差導(dǎo)致的。

表6 誤差對比

4 結(jié)論

本文通過對四線圈結(jié)構(gòu)的磁諧振無線傳輸系統(tǒng)進(jìn)行建模分析，得出了影響系統(tǒng)傳輸效率和輸出功率的因素，以線圈的參數(shù)為變量對系統(tǒng)傳輸特性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)Po和η 無法實(shí)現(xiàn)同時(shí)達(dá)到兩者的最佳值。因此，本文以最大功效積為優(yōu)化目標(biāo)，提出了一種在有限尺寸空間下的PCB線圈優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過理論和仿真的優(yōu)化方法，尋找最優(yōu)功效積下的線圈各參數(shù)，最后，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，制作了兩組線圈，分別對兩組線圈的互感和交流電阻進(jìn)行了測試。測試結(jié)果與理論計(jì)算和仿真結(jié)果基本一致，從而驗(yàn)證了所提方法的可行性與正確性。

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