雙截尾Cauchy分布參數(shù)估計的若干問題*

熊 雄，庹 恒

(1.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105;2.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 411000)

Cauchy分布[1]是概率統(tǒng)計問題中常用的分布，其密度為f(x)=λ/π(λ2+(x-μ)2)，其中μ，λ為參數(shù)，μ∈(-∞,+∞),λ>0.Cauchy分布在許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.如在背景圖像中，像素點觀測的時序波動來源于白噪聲，2幀圖像中對應(yīng)像素間的灰度比值的分布服從Cauchy分布.[2]但是因為Cauchy的各階原點矩均不存在，所以難以深入研究與數(shù)字特征有關(guān)的問題.雙截尾Cauchy分布的密度為

1 準(zhǔn)備工作

引入如下記號：記隨機(jī)變量X有分布函數(shù)F(x)，并記

α(F)=inf{x:F(x)>0},ω(F)=sup{x:F(x)<1}.

引理1[5]設(shè)X1,n,X2,n,…,Xn,n為任意在[A,B]取值的連續(xù)型隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計量，則對于?ε>0，有

引理2[6]若向量函數(shù)Ψ(X)存在m(m>2)階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，X是方程Ψ(X)=0的單根，當(dāng)初值X0充分接近精確解X時，Newton迭代法收斂且至少為二階收斂.

序列{bn}取為bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}.

引理7[10]設(shè)h(x;θ)為分布族，X1，X2，…，Xn為idd樣本，參數(shù)θ是一維的且參數(shù)空間Θ是開集，若lnh(x;θ)關(guān)于參數(shù)θ是可微的且分布族是可識別的(即對于?θ1,θ2∈Θ，{x:h(x;θ1)=h(x;θ2)}不是零測集)，則以概率1似然方程在n→∞時有解，且此解關(guān)于θ是相合的.

2 主要結(jié)果

假設(shè)參數(shù)μ，λ已知，考慮A,B的矩估計，就是考慮如下方程組的解：

(1)

其中：

設(shè)由方程組(1)得到A,B的矩估計分別為AM,BM.首先，對于矩估計的可靠程度，由大數(shù)定律容易得到如下結(jié)論:

定理1矩法估計量AM,BM分別是參數(shù)A,B的弱相合估計，即

(2)

要得到方程組(1)的公式解，其難度異乎尋常，因此筆者研究其數(shù)值解.下面以標(biāo)準(zhǔn)雙截尾Cauchy分布為例，說明其矩估計的算法步驟.

(ⅰ)待解方程組為

(ⅱ)尋找初值點.由引理2和引理2，可以取(X1,n,Xn,n)作為計算(A,B)的初值點.

(ⅲ)利用Newton迭代法計算.將fj在初值點(X1,n,Xn,n)進(jìn)行一階Taylor展開，得

(3)

忽略方程組(3)中的余項，得

(4)

易知方程組(4)的解即為方程組(1)的近似解.

現(xiàn)考慮線性方程組(4)的解，其系數(shù)矩陣就是函數(shù)對于未知參數(shù)的Jacobi矩陣：

令f=(f1,f2)T,X=(A*,B*)T,X0=(X1,n,Xn,n)T，那么(2)式可以寫成f(X0)+J(X0)(X-X0)=0,其解為X1=X0-J-1(X0)f(X0).重復(fù)這個步驟，便得到如下Newton迭代法的公式：

Xk+1=Xk-J-1(Xk)f(Xk)k=0,1,2,….

Newton迭代法的優(yōu)勢在于平方范數(shù)收斂性，即‖Xk+1-X‖≤C‖Xk-X‖ .鑒于Newton迭代法的特性，剩余量范數(shù)不一定遞減.為了保證剩余量范數(shù)遞減，即‖f(Xk+1)‖≤‖f(Xk)‖(k=0,1,2,…)，考慮加入一個修正因子ωk，ωk>0，將解改寫為

Xk+1=Xk-J-1ωk(Xk)f(Xk)k=0,1,2,….

選擇合適的ωk使得范數(shù)遞減，這個辦法被稱為阻尼Newton迭代法.

(ⅳ)確定算法的終止條件.由于阻尼Newton迭代法保證了剩余量范數(shù)遞減，因此只要找到某一步的運(yùn)算結(jié)果Xk并使得其滿足一定的條件即可.給定允許誤差值δ>0，若存在k∈N,s.t.‖Xk-X0‖≤δ，則有‖Xn-X0‖≤δ(?n≥k).

這里的矩估計算法只針對參數(shù)μ，λ已知的情形作出討論.事實上，若A,B已知，要求解參數(shù)μ，λ的矩估計時，算法完全一致，只是初值點需要重新選擇.

定理2設(shè)Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,X2,n,…,Xn,n是其順序統(tǒng)計量，若λ,μ已知，則參數(shù)A,B分別有極大似然估計X1,n,Xn,n.

證明考慮對數(shù)似然函數(shù)

由X1,n≥A,Xn,n≤B，可得lnL(A,B)≤lnL(X1,n,Xn,n).再由lnx的單調(diào)性即得參數(shù)A,B的極大似然估計分別為X1,n,Xn,n.

證明由引理6，只要證明

現(xiàn)只要證明當(dāng)n→∞時，以概率1似然方程有解.顯然雙截尾柯西分布的密度函數(shù)滿足引理7的條件，因其密度函數(shù)f(x)在定義域上連續(xù)，故以概率1似然方程有解.

最后，先給出非標(biāo)準(zhǔn)雙截尾Cauchy分布極端順序統(tǒng)計量的漸近分布，再導(dǎo)出參數(shù)A,B的近似區(qū)間估計.

bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}.

證明對于Xk的分布函數(shù)F(x)，有ω(F)<∞，則對于?x>0，由L'Hospital法則有

故取γ=2.由引理4，取an=0,bn=t，則

下面令ε→0，對于?x>1，有

再由引理4可得定理5成立.

cn,dn分別取為cn=μ,dn=sup{x:F(x)≤1/n}-μ.

證明對于雙截尾Cauchy分布的分布函數(shù)F(x)，有α(F)=A,則分布函數(shù)F*(x)(F*(x)=F(A-1/x),x<0)滿足：對于 ?x>0，由L'Hospital法則有

故取γ=1.根據(jù)引理3，結(jié)合定理5的證明方法可得定理6成立.

定理7設(shè){Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，參數(shù)λ,μ已知，X1,n,X2,n,…,Xn,n為其順序統(tǒng)計量，則當(dāng)樣本量n充分大時，參數(shù)A,B分別有近似區(qū)間估計

其中0<α<1為顯著性水平.

P{X1,n≤Ax+μ(1-x)}≈L2,1(x)n→∞.

(5)

特別地，取L2,1(x)=1-α，得x=-lnα.經(jīng)過整理，(5)式變成

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