一組規(guī)律探尋問題的呈現(xiàn)、分析、求解及思考

☉浙江臨海市大石中學(xué) 梁素芬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第三學(xué)段（7～9年級）對知識技能的要求里面明確提到：探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進行表述的方法.

規(guī)律探尋類問題符合其知識技能的考查要求，這類問題的綜合性強，一是體現(xiàn)在考查的知識點較多，不管是代數(shù)，還是幾何，亦或是代數(shù)與幾何結(jié)合，都可以找到很多的考查點；二是這類問題更多的是側(cè)重于對學(xué)生掌握的“隱性知識”進行考查，如數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及學(xué)生的觀察、實驗、猜測、聯(lián)想、推理和總結(jié)的能力等.

一、一組規(guī)律探尋問題

（1）（數(shù)列類，根據(jù)2016年濟寧市中考題改編）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：1，3，6，10，□，21，28，….請你仔細(xì)觀察，按照此規(guī)律，方框內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為______.

（2）（數(shù)式類，根據(jù)2016年濱州市中考題改編）觀察下列式子：

13=12；

13+23=32；

13+23+33=62；

13+23+33+43=102；

……

可猜想第n個式子為______.

（3）（數(shù)形類，2017年臨沂市中考題）將一些相同的“○”按圖1所示擺放，觀察每個圖形中“○”的個數(shù)，若第n個圖形中“○”的個數(shù)為78，則n的值是（ ）.

A.11 B.12 C.13 D.14

（4）（數(shù)陣類，2017年黔東南州中考題）我國古代許多數(shù)學(xué)的創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用圖2所示的三角形解釋二項和（a+b）n的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”.

根據(jù)“楊輝三角”，請計算（a+b）20的展開式中第三項的系數(shù)為（ ）.

A.2017 B.2016 C.191 D.190

二、分析與求解

解答上述四個題目的關(guān)鍵是對下面一列數(shù)的把握：1，3，6，10，15，21，28，…，這列數(shù)的規(guī)律比較明顯，第二項比第一項多2，第三項比第二項多3，第四項比第三項多4，……，第n項比第n-1項多n；深層次的規(guī)律是第一項等于1，第二項等于1+2，第三項等于1+2+3，第四項等于1+2+3+4，……，第n項等于1+2+3+…+n，所以每一項的一般形式應(yīng)該為（用倒序相加法求得）.

第（1）題的答案為：15；第（2）題的答案為：13+23+33+；第（3）題只需令=78即可，解得n=12，所以答案為B；第（4）題關(guān)于楊輝三角的整體規(guī)律不用考慮（如果考慮了，反而麻煩了），只需考慮每個展開式中第三項的系數(shù)即可，所以求（a+b）20的展開式中第三項的系數(shù)只需令中的n等于19即可，所以答案為D.

這類問題以不同的形式（列、式、形、陣）出現(xiàn)，但都和“數(shù)”有關(guān)系，解決這類問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“n”的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生良好的“數(shù)感”，相當(dāng)于建立一個定義在所有正整數(shù)上的函數(shù)關(guān)系.在教學(xué)或?qū)W習(xí)中可以熟記下列常見的幾列數(shù)：1，2，3，4，…，n，…；1，3，5，7，…，2n-1，…；2，4，6，8，…，2n，…；1，4，9，16，…，n2，…（常稱為“正方形數(shù)”）；1，3，6，…，…（常稱為“三角形數(shù)”）.

下面分別以“1，3，5，7，…，2n-1，…”和“1，3，6，…，，…”為例，介紹另外一種方法.

對于“1，3，5，7，…，2n-1，…”，可以發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的深層特點：后面一項與前面一項的差等于常數(shù)（高中稱為等差數(shù)列，在此不提），我們則稱滿足上述類型特點的一列數(shù)為“一次函數(shù)型”，下面以“1，2，3，4，…，n，…”為自變量，“1，3，5，7，…，2n-1，…”為函數(shù)值，建立函數(shù)關(guān)系.設(shè)y=an+b，將（1，1）、（2，3）代入上式，解得a=2，b=-1，所以這列數(shù)的一般形式為：2n-1.

三、兩點思考

通過上述對“規(guī)律探尋”這類問題的示例、求解、分析，可以發(fā)現(xiàn)這類問題比較受命題者青睞，因此在教學(xué)中應(yīng)該引起一線教師的足夠重視.可以大膽預(yù)測，在以后的中考試題中，此類問題還會大量存在，甚至?xí)爸辉霾粶p”.

1.知識與能力并重.

對于“規(guī)律探尋問題”，在教學(xué)中應(yīng)該做到知識和能力并重.在知識方面，如上面提到的一些基本的方法、基本的題型要認(rèn)真總結(jié)，但是不能陷于“題海戰(zhàn)術(shù)”，因此要重視能力方面的培養(yǎng)，特別是提出問題和發(fā)現(xiàn)問題的能力，如上述第（4）題的解題方法就是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的，作為教師，可能更多的是關(guān)注楊輝三角整體的性質(zhì)（這和教師的知識儲備有關(guān)系），而學(xué)生卻能夠真正“走”進命題者的心里，洞悉命題意圖，使得此題變“活”，富有靈性，實現(xiàn)和命題者的對話.

2.素養(yǎng)與育人共舞.

隨著《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》的提出，可以看出這類問題考查的方向與此是不謀而合的，如學(xué)生需要抽象出n與第n個數(shù)之間的關(guān)系，重要的是在抽象過程中需要較高的邏輯推理能力.此外，這類問題在教學(xué)中可以很好地實現(xiàn)學(xué)科育人，如上述題組中就出現(xiàn)了歷史上有名的三角形數(shù)、正方形數(shù)及楊輝三角，這是一種“美”的體現(xiàn).因此對于這類問題，在教學(xué)中只有注意到了素養(yǎng)與育人共舞，才能夠真正“跳出題?！保拍軌蜻€數(shù)學(xué)以“美”的本來面貌.

四、對應(yīng)練習(xí)

（1）（數(shù)列類，2017年遵義市中考題）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為，…，按此規(guī)律，這列數(shù)中的第100個數(shù)是______.

（2）（數(shù)陣類，2017年自貢市中考題）填在下面?zhèn)€各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)這種規(guī)律，m的值為（ ）.

A.180 B.182 C.184 D.186

（3）（數(shù)形類，2017年煙臺市中考題）用棋子擺出以下一組圖形（如圖4）：

按照這種規(guī)律下去，第n個圖形中用的棋子的個數(shù)為（ ）.

A.3n B.6n C.3n+6 D.3n+3

（4）（數(shù)式類，2016年黃石市中考題）觀察下列等式：

按上述規(guī)律，請回答以下問題：

①請寫出第n個等式：an=______.

②a1+a2+a3+…+an=______.W