為揭示概念本質(zhì)而教
——以“加權(quán)平均數(shù)”教學(xué)為例

☉福建三明市列東中學(xué) 詹高晟

☉福建三明市列東中學(xué) 陳冠文

2017年12月，筆者在三明市初中數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)教研活動中開設(shè)的“平均數(shù)”（北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊第六章第1節(jié)）教學(xué)研討課得到了聽課教師的好評，課后大家就這節(jié)課的教學(xué)在網(wǎng)絡(luò)上展開了熱烈的討論，也引發(fā)筆者的進一步思考，現(xiàn)整理成文，與大家交流.

一、教學(xué)內(nèi)容

教材安排如下三個環(huán)節(jié)展開教學(xué)：

環(huán)節(jié)一：給出中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽2011—2012賽季兩個球隊（北京隊和廣東隊）隊員的身高和年齡，讓學(xué)生通過計算比較兩隊隊員的平均身高，由此引入算術(shù)平均數(shù)的概念.

環(huán)節(jié)二：介紹小明計算北京隊隊員平均年齡的方法：

表1

平均年齡=（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷（1+4+2+2+1+2+2+1）=25.4（歲）.

讓學(xué)生說明這種算法的道理，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：小明的做法還是根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計算公式進行計算，只是在求相同加數(shù)的和時用了乘法，這是一種求算術(shù)平均數(shù)的簡便方法，為引入加權(quán)平均數(shù)概念做好鋪墊.

環(huán)節(jié)三：安排如下例題，引出加權(quán)平均數(shù)的概念，完成新知建構(gòu).

例 某廣告公司欲招聘廣告策劃人員一名，對A、B、C三名候選人進行了三項素質(zhì)測試.他們的各項測試成績?nèi)绫?所示：

表2

（1）如果根據(jù)三項測試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用？

（2）根據(jù)實際需要，公司將創(chuàng)新、綜合知識和語言三項測試的得分按4∶3∶1的比例確定各人的測試成績，此時誰將被錄用？

二、教學(xué)過程及評析

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)舊知.

上課伊始，筆者指出大家生活中會接觸各種各樣的數(shù)據(jù)，常常要對它們進行適當(dāng)?shù)恼砗头治?，以獲取更多的信息，為決策提供依據(jù).接著讓學(xué)生閱讀教材的章引言和觀察章前主題圖，明確本章的主要學(xué)習(xí)任務(wù)，主要是研究數(shù)據(jù)分析的常用方法.然后提出問題一：

問題一：A、B兩個學(xué)習(xí)互助小組的半期考數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?/p>

A組：75，84，85，90，56.

B組：92，80，54，73，85，81.

你認(rèn)為哪個互助小組的成績更好些？

引導(dǎo)學(xué)生比較兩個小組的平均成績，順勢回顧算術(shù)平均數(shù)的算法，并給出規(guī)范定義.

評析：本節(jié)是“數(shù)據(jù)分析”這章教學(xué)的起始課，加權(quán)平均數(shù)的概念是這節(jié)課的教學(xué)重點，但筆者不僅關(guān)注加權(quán)平均數(shù)概念的教學(xué)，還非常注重發(fā)揮章引言的教學(xué)功能，通過指導(dǎo)學(xué)生閱讀章引言，幫助他們了解本章的主要內(nèi)容，熟悉本章概貌，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之初就能弄清學(xué)習(xí)的脈絡(luò)，以防“只見樹木，不見森林”.然后用一個具體的情境問題引導(dǎo)學(xué)生自然喚醒算術(shù)平均數(shù)的概念和求法，體會算術(shù)平均數(shù)的統(tǒng)計意義.

環(huán)節(jié)2：提出問題，引發(fā)思考.

問題二：半期聯(lián)考中，甲、乙兩校初一年級數(shù)學(xué)平均成績?nèi)绫?所示，能否求出這兩校初一學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績？

表3

不少學(xué)生回答“能”，認(rèn)為答案是70分.

生1：算不出來，因為平均分等于總成績除以總?cè)藬?shù)，而現(xiàn)在我們不知道這兩個學(xué)校的具體人數(shù).

師：能確定平均分的大致范圍嗎？

師：是更接近60分還是更接近80分？

生3：應(yīng)該跟兩個學(xué)校的人數(shù)有關(guān).

接著筆者提出問題三：

問題三：如果知道這兩校初一年級的人數(shù)（如表4），能否表示出這兩校初一學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績？

表4

然后筆者借助Excel表格，給定一些a的值，依次算出相應(yīng)的的值（如表5），繪出相應(yīng)的統(tǒng)計圖（如圖1）.

表5

圖1

師：請大家觀察統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，能有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：a的值不同，最后結(jié)果也不同.

生6：a越大，平均成績就越低.

生7：但到不了60分，只會越來越接近60分.

師：是的，太好了！大家發(fā)現(xiàn)a的值越大，平均分越接近60分，說明a的值越大，甲的成績對結(jié)果的影響就越大，這時甲的成績重要程度就越高，a的值反映了60分的重要程度，我們就把a的值叫作60分的權(quán).

評析：這里設(shè)置了兩個逐漸遞進的問題，問題二既有助于學(xué)生深入理解算術(shù)平均數(shù)的概念，也為引出加權(quán)平均數(shù)的概念埋好伏筆.問題三通過給出兩個學(xué)校初一年級的學(xué)生數(shù)，并且用字母a來表示甲校初一的人數(shù)，讓問題變得開放.課堂上，在師生互動、共同交流中，引導(dǎo)學(xué)生逐步明確a的值的變化會引起兩校平均成績的變化，理解研究加權(quán)平均數(shù)的必要性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念.特別是借助條形統(tǒng)計圖，讓平均分的變化趨勢顯得直觀、簡潔，能有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為加權(quán)平均數(shù)概念的引入做了充分的鋪墊.

環(huán)節(jié)3：歸納提煉，引出概念.

師：在這個問題中，一組數(shù)據(jù)里的各個數(shù)據(jù)的“重要程度”未必相同，因而，在計算這組數(shù)據(jù)時，往往給每個數(shù)據(jù)一個“權(quán)”.像式子≈72.92中，這里85就叫作60分的權(quán)，155叫作80分的權(quán)，85、155反映了這個式子中60分和80分的重要程度，72.92分就叫作兩校成績60分、80分的加權(quán)平均數(shù).

然后給出加權(quán)平均數(shù)規(guī)范的概念：一般地，n個數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的權(quán)分別是f1、f2、…、fn，則這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)

生8：在式子①中，60、80的權(quán)分別為85、155；在式子②中，60、80的權(quán)分別為600、155.

師：權(quán)的作用是什么？

生9：反映數(shù)據(jù)的重要程度，權(quán)越大對平均數(shù)的影響就越大.

師：觀察這些式子，分子和分母都有哪些特點？

生10：分子表示兩個學(xué)校的成績總和，分母表示各權(quán)的和，也就是兩個學(xué)校的總?cè)藬?shù).

師：你能取一個a的值，使平均分更接近80分一些嗎？

生11：a=30.

師：為什么這樣??？

生11：要讓最后成績更接近80分，說明80分的權(quán)重要盡量大一些，60分的權(quán)重要盡量小一些，所以a的值要盡量小一點.

師：說得很好！那么如果兩個分?jǐn)?shù)的權(quán)重一樣，a的值應(yīng)是多少？計算出的平均分又是多少？

生（眾）：a=155，平均分為70分.

生12：結(jié)果跟算術(shù)平均數(shù)一樣.

師：對，這就說明算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的特殊情況，此時，每個數(shù)據(jù)的權(quán)重相同.

評析：有了問題二和問題三的鋪墊，筆者借助具體例子，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析，先給出加權(quán)平均數(shù)概念的形式化定義，再進行抽象概括，得到概念的規(guī)范定義，把握住了概念的本質(zhì)，既有助于學(xué)生理解概念，又有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，概念的引出自然、流暢.概念引出后，再通過具體實例幫助學(xué)生理解，并把算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)有機統(tǒng)一起來，滲透了特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了前后一致、邏輯連貫的數(shù)學(xué)思維.

環(huán)節(jié)4：辨析發(fā)現(xiàn)，完善認(rèn)知.

問題四：某次安全知識競賽，我校參賽的學(xué)生共有3種得分：85分、80分、90分，人數(shù)分別為19、10、21，請求出這些參賽學(xué)生的平均得分.

接著筆者對該題進行變式，提出以下問題：

變式1：某次安全知識競賽，我校參賽學(xué)生共有3種得分：85分、80分、90分，人數(shù)之比為19∶10∶21，請求出這些參賽學(xué)生的平均得分.

對于本題，不少學(xué)生存在困難，筆者引導(dǎo)他們利用算術(shù)平均數(shù)的概念解決，假設(shè)3種得分的人數(shù)分別為19x、10x、21x，則有，整理后得到，發(fā)現(xiàn)結(jié)果與原題一樣，在探究中讓學(xué)生明白，權(quán)還可用比例的形式來呈現(xiàn)，此類問題以后可直接用加權(quán)平均數(shù)解決.

變式2：某次安全知識競賽，我校參賽學(xué)生共有3種得分：85分、80分、90分，人數(shù)分別占我校參賽人數(shù)的31%、33%、36%，請求出這些參賽學(xué)生的平均得分.

有了“變式1”的解題經(jīng)驗，學(xué)生解決此題就容易多了，引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)我校全部參賽學(xué)生為x人，則有：，整理后得到=85×31%+80×33%+90×36%，由此指出權(quán)還可以用百分比的形式呈現(xiàn).

評析：權(quán)的表現(xiàn)形式有多種，數(shù)據(jù)的出現(xiàn)次數(shù)這種形式對初學(xué)者來說比較容易接受，而比例和百分比這兩種形式較難理解，如何才能從次數(shù)這種形式自然過渡到另兩種形式，讓學(xué)生能夠理解，易于接受？這就需要我們精心設(shè)計.為此，筆者通過變式，把后兩者借助平均數(shù)的概念統(tǒng)一到次數(shù)這種形式，過渡流暢，最終都是利用較易理解的次數(shù)這種形式來理解權(quán)的其他表現(xiàn)形式，思路順暢，生成自然.

環(huán)節(jié)5：應(yīng)用概念，深化理解.

利用教材中環(huán)節(jié)三的例題素材，提出問題五：

問題五：若根據(jù)三項測試的平均成績確定錄取人選，那么誰被錄??？說明理由.

師：若公司要招聘的是廣告策劃員，A會是合適人選嗎？

生13：不合適，因為廣告策劃員的創(chuàng)新能力更重要，而A的創(chuàng)新分?jǐn)?shù)不高，應(yīng)該錄用B.

師：那該如何修改最后的計分規(guī)則，使我們能錄用到合適人選？

生14：可以給“創(chuàng)新”更高的權(quán)重，如按照4∶3∶1的權(quán)重計算最后的得分.

筆者讓學(xué)生算一算，發(fā)現(xiàn)按這種錄取方式可以錄用到B.

師：生活中，你們還接觸過哪些利用加權(quán)平均數(shù)來解決的問題？

通過討論，讓學(xué)生分享自己的例子，感受加權(quán)平均數(shù)在生活中的應(yīng)用.

評析：這里通過開放性的問題，讓學(xué)生主動給數(shù)據(jù)賦予適當(dāng)?shù)臋?quán)，在分析問題、解決問題的過程中，學(xué)生對權(quán)的意義有了更深的理解和領(lǐng)悟，權(quán)可以根據(jù)數(shù)據(jù)的重要程度進行合理分配，體會到權(quán)對決策所起的作用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念.

三、幾點體會

1.概念教學(xué)：基于自然生長，重在揭示本質(zhì).

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點，是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，而概念又往往比較抽象，學(xué)生不易理解，因而在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，基于知識的自然生長，通過有序、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)環(huán)節(jié)，拉長思維過程，幫助學(xué)生揭示概念的本質(zhì).筆者聽過多位教師開設(shè)的“平均數(shù)”教學(xué)公開課，他們在權(quán)的概念形成上用時很少，對它的本質(zhì)一帶而過，而是把更多的精力放在有關(guān)加權(quán)平均數(shù)的計算訓(xùn)練上面，結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生只會機械模仿，生搬硬套，對權(quán)的含義并未真正理解，沒有將權(quán)的概念建構(gòu)進自己的知識網(wǎng)絡(luò)中，用時是知其然而不知其所以然.有一節(jié)公開課，教師在練習(xí)中設(shè)計了以下題目：小明家上個月的伙食費用為500元，教育費用為200元，其他費用為300元，本月小明家這三項費用分別增長了10%、30%、5%，小明家本月的總費用比上個月增長的百分?jǐn)?shù)是多少？學(xué)生在解答時無從下手，分不清問題中的數(shù)據(jù)與權(quán).在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者考慮最多的就是如何讓學(xué)生經(jīng)歷從識權(quán)到悟權(quán)的過程，培植權(quán)的概念，理解權(quán)的含義，會用權(quán)解決實際問題，為此，通過精心設(shè)計，讓學(xué)生求兩校初一年級的數(shù)學(xué)平均成績，引發(fā)學(xué)生的思維沖突，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注甲校初一年級人數(shù)a的變化對最終平均成績的影響，a的值越大，最終成績越接近甲校的成績，a的值的大小反映了甲校成績的重要程度，這正是權(quán)的本質(zhì)特征，由此引出加權(quán)平均數(shù)的概念水到渠成.這樣的探究，雖然用時較多，但這種“慢”教學(xué)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，他們在交流碰撞中解決了問題，提升了能力，概念的本質(zhì)屬性是由他們自主揭示得到的，自然理解透徹，體會深刻.

2.教材使用：有取有舍不唯是，優(yōu)化整合有所立.

教材是知識的載體，蘊含課標(biāo)的精神實質(zhì)，凝聚編者的智慧，但教材不是教學(xué)的出發(fā)點，更不是終點，僅僅是教學(xué)的媒介.由于條件限制，教材內(nèi)容很難做到完全適應(yīng)各種不同類型的學(xué)校，這就要求一線教師在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生特點，對教材進行創(chuàng)造性使用，有取有舍，優(yōu)化整合，使靜態(tài)的教材內(nèi)容動態(tài)化，使零星的知識條理化、系統(tǒng)化，以便更好地為教學(xué)服務(wù).本節(jié)課，教材提供的兩個球隊的隊員身高、年齡素材，雖然來源于生活，數(shù)據(jù)豐富，有助于培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計觀念，但本節(jié)的重點不在于具體數(shù)據(jù)的計算，而在于探究數(shù)據(jù)分析的方法，因此復(fù)雜的數(shù)據(jù)反而會干擾對核心內(nèi)容的學(xué)習(xí).此外，教材安排的例題第（2）問，意在引出加權(quán)平均數(shù)的概念，并且給出當(dāng)權(quán)以“比例”形式出現(xiàn)時加權(quán)平均數(shù)的計算方法，然而筆者在備課時請程度較好的學(xué)生試做本題時，發(fā)現(xiàn)他們要么不會列式，要么對列出的式子=不會正確解釋，究其原因，主要在于這時還未引入加權(quán)平均數(shù)的概念，而本題又無法利用算術(shù)平均數(shù)的計算方法（所有數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)）說明.為此，筆者對教材進行大膽取舍，更換教學(xué)素材，通過設(shè)計層層遞進的問題串，讓權(quán)的概念自然生成，然后通過“問題四”的三個小題，讓學(xué)生體會加權(quán)平均數(shù)的三種表現(xiàn)形式，當(dāng)學(xué)生遇到困難時，引導(dǎo)他們回到算術(shù)平均數(shù)的概念加以解決，自然、流暢，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.這樣的教材處理讓整節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)緊湊，學(xué)生的思維在知識的推進中自然流淌，享受數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)旅程中特有的曲徑尋幽之樂.當(dāng)然，我們對教材“不唯是”“有所立”，關(guān)鍵是要深刻理解教材，讀懂編者意圖，再根據(jù)學(xué)生的實際情況，對教材進行合理重組或加工，做到“有取有舍不唯是，優(yōu)化整合有所立”.

3.統(tǒng)計教學(xué)：經(jīng)歷統(tǒng)計活動過程，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念.

當(dāng)下，課堂教學(xué)仍然普遍存在“考什么，教什么”的現(xiàn)象，特別是統(tǒng)計知識在考試中基本屬于送分題，大部分教師不愿意花費時間和精力研究教材，有的教師甚至把統(tǒng)計課上成了算術(shù)課，缺乏統(tǒng)計味，學(xué)生沒有參與統(tǒng)計過程，統(tǒng)計意識和數(shù)據(jù)分析觀念很難得到發(fā)展.數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心，因此在統(tǒng)計教學(xué)中要注意選擇合適、有效的素材，讓學(xué)生參與到統(tǒng)計活動中去，發(fā)展他們的數(shù)據(jù)分析觀念，培養(yǎng)他們的統(tǒng)計意識.本節(jié)課，筆者設(shè)計的“問題一”，不是直接讓學(xué)生求兩個小組各自的平均成績，而是通過問題“你認(rèn)為哪個互助小組的成績更好些”引發(fā)學(xué)生主動思考，自主選擇合適的統(tǒng)計量，由此喚醒平均數(shù)的概念與算法等統(tǒng)計知識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念.在“問題五”教學(xué)時，筆者不是如教材那樣直接提出問題“按4∶3∶1的比例確定各人的測試成績，此時誰將被錄用”，而是通過問題“該如何修改最后的計分規(guī)則，使我們可以錄用到合適人選”，引導(dǎo)學(xué)生從統(tǒng)計角度修改計分規(guī)則，讓學(xué)生自主體會到可以通過改變不同項目的權(quán)重影響最后的成績，并讓學(xué)生自己給各項目賦權(quán)，在現(xiàn)實背景中用權(quán)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展統(tǒng)計觀念.在本節(jié)課的最后，筆者還讓學(xué)生自己列舉用加權(quán)平均數(shù)解決的實際問題，感受統(tǒng)計與實際生活的聯(lián)系，增強他們的統(tǒng)計意識.統(tǒng)計是實踐性很強的一個內(nèi)容領(lǐng)域，教師要通過引導(dǎo)學(xué)生積極參與統(tǒng)計活動，經(jīng)歷統(tǒng)計過程，在活動中建立數(shù)據(jù)分析觀念，形成自覺運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.

1.詹高晟.拉長思維過程 內(nèi)化概念理解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（3）.

2.潘巧慧.重在悟權(quán)過程突出統(tǒng)計思想——“20.1.1平均數(shù)”教學(xué)設(shè)計與說明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（9）.W