人口預(yù)期壽命與退休年齡

姚海祥，魏嘉輝，馬慶華

（廣東外語外貿(mào)大學(xué) 金融學(xué)院，廣東 廣州 510006）

一、引 言

隨著中國經(jīng)濟社會的發(fā)展，醫(yī)療水平不斷提高，人口預(yù)期壽命也變得越來越長。2016年中國統(tǒng)計年鑒顯示，在過去的30多年間，中國人口預(yù)期壽命從1981年的67.77歲增長到了2015年的76.34歲。在國務(wù)院發(fā)布的《國家人口發(fā)展規(guī)劃（2016?2030年）》中，更是預(yù)測了在2030年，中國人口預(yù)期壽命將達到79歲。預(yù)期壽命的延長加劇了中國的人口老齡化現(xiàn)狀，并給中國的養(yǎng)老事業(yè)帶來了越來越大的壓力。殷俊等（2012）曾建立了養(yǎng)老金精算模型，估算中國養(yǎng)老金未來90年的收入和支出水平，認(rèn)為在過去的養(yǎng)老保險政策下也許難以實現(xiàn)養(yǎng)老金收支的平衡。為了緩解長壽帶來的養(yǎng)老金支付壓力，目前中國正擬出臺延遲退休政策來應(yīng)對壽命延長導(dǎo)致的人口老齡化問題。

圖 1 中國人口預(yù)期壽命延長情況（1981—2015年）

是否應(yīng)該延遲退休，仍然存在很多爭議。贊成者一般認(rèn)為延遲退休能夠增加勞動力的供給，提高社會的產(chǎn)出，由此給老年生活提供更多的保障。Lacomba和Lagos（2006）認(rèn)為，延遲退休在一定程度上也許能夠提高勞動力的供給水平，同時提高養(yǎng)老金的收入，進而緩解長壽帶來的養(yǎng)老壓力。Kalwij等（2010）使用OECD中22個國家從1960?2008年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)老年人就業(yè)與年輕人不存在替代的關(guān)系。林寶（2014）在考慮實際的就業(yè)狀況和保障機制后，提出了具體的延遲退休方案，并測算了延遲退休將有效改善職工養(yǎng)老保險資金的平衡狀況。但也有相當(dāng)一部分學(xué)者認(rèn)為，延遲退休并不一定能緩解長壽帶來的養(yǎng)老壓力。Michello和Ford（2006）認(rèn)為美國提出的延遲退休政策和提出的降低失業(yè)率的目標(biāo)是相矛盾的。Casamatta和Paoli（2012）通過對不同行業(yè)的失業(yè)率、人均壽命和法定退休年齡進行比較，模擬出了最優(yōu)的退休年齡，并發(fā)現(xiàn)現(xiàn)行的退休年齡下的失業(yè)率會比延遲退休后的更低。張熠（2011）建立了連續(xù)時間養(yǎng)老金收支模型，考察延遲退休對養(yǎng)老金余額的影響，提出了延遲退休年齡是由很多復(fù)雜因素決定的，而延遲退休不一定能減輕政府在養(yǎng)老保險方面的負(fù)擔(dān)。陽義南等（2014）構(gòu)建了關(guān)于養(yǎng)老金的期望精算現(xiàn)值模型，通過賦值模擬計算不同退休年齡能得到的具體養(yǎng)老金，結(jié)果發(fā)現(xiàn)延遲退休可能減少也可能增加養(yǎng)老金給付，主要取決于參保人的性別和參保年齡。Weller（2006）、Aubert和Duc（2013）出于公平性的考慮，認(rèn)為延遲退休可能會不利于不同群體之間的收入再分配?？偟膩碚f，退休行為由很多復(fù)雜的因素決定，是否應(yīng)該延遲退休，如何延遲退休，仍然存在很大的爭議。

然而，從國際對比的角度來看，按照中國目前的人口預(yù)期壽命，現(xiàn)行的法定退休年齡處于世界上的低水平。世界上大多數(shù)國家都通過法律規(guī)定了退休的年齡，從2013年世界銀行HDNSP養(yǎng)老金數(shù)據(jù)庫中可以得到151個國家的法定退休年齡和各國人口預(yù)期壽命的樣本。①限于篇幅，這里不貼出具體據(jù)?？梢宰孕胁殚喪澜玢y行據(jù)庫http://web.worldbank.org，其中各國法定退休年齡據(jù)更新至從樣本中發(fā)現(xiàn)，男性最低平均退休年齡為61歲，女性最低平均退休年齡為59歲；男性平均預(yù)期壽命為69歲，女性平均預(yù)期壽命為74歲。而根據(jù)2016中國統(tǒng)計年鑒，中國男性平均預(yù)期壽命為73.64，女性平均預(yù)期壽命為79.43；男性最低退休年齡為60歲，女性最低退休年齡為50歲?？梢杂闷骄ǘㄍ诵菽挲g與預(yù)期壽命的比值來衡量法定退休年齡的高低：

由表1可見，無論是男性還是女性，中國最低退休年齡和預(yù)期壽命之比均低于國際水平。利用以上數(shù)據(jù)作單變量回歸，令RAM表示男性退休年齡，RAF表示女性退休年齡，LEM表示男性預(yù)期壽命，LEF表示女性預(yù)期壽命。由此可以分別得到：

從回歸結(jié)果看，在國際上這種人口預(yù)期壽命和法定退休年齡的線性關(guān)系下，中國男性退休年齡應(yīng)為62.37歲，女性退休年齡應(yīng)為60.49歲。實際上，目前已經(jīng)有部分國家直接或間接地建立起了人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整機制。例如，丹麥以保持退休后剩余的壽命為基礎(chǔ)，隨著預(yù)期壽命的變化而調(diào)整法定退休年齡；英國則以保持養(yǎng)老金繳費年數(shù)和領(lǐng)取年數(shù)不變的原則來調(diào)整退休年齡。所以，有部分專家學(xué)者認(rèn)為可以參考和借鑒國外的相關(guān)經(jīng)驗，建立人口預(yù)期壽命和法定退休年齡之間的調(diào)節(jié)機制。王曉軍等（2015）參照國際法定退休年齡和人口預(yù)期壽命數(shù)據(jù)，通過實證分析發(fā)現(xiàn)，人口預(yù)期壽命和法定退休年齡是正相關(guān)的，并認(rèn)為國際上的退休經(jīng)驗值得我們參考和借鑒。綜上所述，我國是否也應(yīng)該建立這種預(yù)期壽命和退休年齡之間的彈性調(diào)整機制，由此看來具有非常高的研究價值。

表 1 最低法定退休年齡與預(yù)期壽命的比值

本文的研究基于交疊世代模型（Overlapping generations model，OLG）。交疊世代模型最初由Samuelson（1958）提出，之后由Diamond（1965）擴展為跨期動態(tài)模型，是基于一般均衡的框架，考察微觀主體行為對整個宏觀經(jīng)濟的影響，非常適合用來研究退休的相關(guān)問題。目前國內(nèi)外已經(jīng)有很多文獻使用了交疊世代模型來分析養(yǎng)老保險政策的問題。在經(jīng)典形式的兩期交疊世代模型上，Casamatta（2000）研究了存在不同個體勞動生產(chǎn)率的交疊世代模型。楊再貴（2008）分析了交疊世代模型中各參數(shù)對養(yǎng)老金余額以及各期消費和效用的影響，研究認(rèn)為養(yǎng)老金個人繳費由于對儲蓄有完全替代的作用，即養(yǎng)老金個人繳費率對人均資本沒有影響，而公共養(yǎng)老金繳費率的增加會使人均資本下降。胡仕強等（2011）通過建立隨機的交疊世代模型，提出了兩種養(yǎng)老金改革方案，包括無養(yǎng)老金體制和減少社會統(tǒng)籌、增加個人賬戶，并通過賦值模擬說明這兩種方案下都能得出人均資本和長壽之間的關(guān)系是正相關(guān)的。也有學(xué)者在交疊世代模型中將人力資本因素加入考慮，將其擴展成三個時期的形式，研究存在內(nèi)生增長的模型形式。Pecchenino和Pollar（2002）就在基礎(chǔ)的兩期交疊世代模型基礎(chǔ)上加入了對兒童時期的人力資本投資，將其擴展成了三期模型來分析人口老齡化問題。樂菡（2016）在交疊世代模型中加入學(xué)習(xí)期，把傳統(tǒng)的兩期模型擴展成了三期，并分析研究了養(yǎng)老金發(fā)放水平的影響因素，發(fā)現(xiàn)壽命的延長會使個人養(yǎng)老金發(fā)放水平上升，而公共養(yǎng)老金發(fā)放水平必須減少才能使整個經(jīng)濟框架均衡。如果從效用函數(shù)的角度進行劃分，交疊世代模型還可以被區(qū)分為利己模型和利他模型。楊丹妮等（2013）在交疊世代模型中嵌入了老一輩人對年輕一輩人的單方向利他因素，來研究模型中各變量的關(guān)系。劉慶彬等（2011）在模型中加入了是否贍養(yǎng)老人的不確定性，包括贍養(yǎng)老人的利他形式和不贍養(yǎng)老人的利己形式，來研究政府是否提供保險對經(jīng)濟增長的影響?？偠灾瑖鴥?nèi)外還有許多文獻利用交疊世代模型研究了養(yǎng)老保險，這里暫且先不作過多的論述。

過去已有部分文獻探討了建立人口預(yù)期壽命和法定退休年齡的調(diào)節(jié)機制，如王曉軍等（2015），但很少有文獻從理論模型的角度展開論證。也有部分文獻利用交疊世代模型研究過預(yù)期壽命和退休年齡的關(guān)系，但沒能解出兩者間的具體算法，如曾燕（2013）、康傳坤（2014）。而本文在兩期交疊世代模型的基礎(chǔ)上，加入退休因素，從個人行為、企業(yè)行為、政府行為、資本市場均衡四個方面建立整個宏觀經(jīng)濟學(xué)框架，基于社會計劃者的角度，通過最優(yōu)化求解和賦值模擬的方法，解出人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整算法，并根據(jù)算法給出兩者相應(yīng)的調(diào)整對照表。根據(jù)計算的結(jié)果，建議在2030年前逐步延遲退休年齡至65歲。本文的結(jié)論希望能豐富和發(fā)展交疊世代模型在延遲退休問題上的應(yīng)用，同時在這一問題上給予政府一定的參考價值。

表 2 人口預(yù)期壽命對退休年齡的單變量線性回歸結(jié)果

二、理論模型

假設(shè)在封閉的經(jīng)濟環(huán)境下，存在為數(shù)眾多的企業(yè)、個人以及唯一的政府。在時期的設(shè)置上，暫時不考慮積累知識或者人力資本的青年期，而假設(shè)個人一生中只經(jīng)歷兩個時期：第一個時期是參加工作的中年期，第二個時期是工作一段時間后退休的老年期。通常OLG模型假設(shè)一期約為25～30年，本文令30年為一期，把21～50歲作為中年期，51～80歲作為老年期。同時，假設(shè)時期單位相同的中年人單位相同的老年人，并有人口增長率。

在中年時期，中年人參與工作獲得工資，并按一定比例繳納養(yǎng)老金后用作消費和儲蓄。用C1t表示在t時期中年人的消費，那么中年時期的消費約束可以用下式表示：

其中： wt表示t 時期的工資，st表示t 時期的儲蓄，τ表示養(yǎng)老金個人賬戶繳費率。

在老年時期內(nèi)，個人存在兩種狀態(tài)，分別是參加工作和退休。假設(shè)沒有人愿意度過沒有工資收入的真空期，都會堅持工作直到法定退休年齡。①本文采用了退休年齡完由政府控制的外生方式建模，而實際上政府能夠決定的僅為領(lǐng)取退休金的法定退休年齡，而非實際的退休年齡。這在一定程度上不符合實際情況。但相信現(xiàn)實生活中，法定退休年齡是具有一定的指導(dǎo)意義的，這讓大部分人最終選擇在法定的退休年齡退休。設(shè)每個時期的時間為1，從老年期開始計算，退休的時間為 β，平均存活時間為 d ，②按照假設(shè)，60 歲退休可以計算出 β=（60?50）/30=0.3333，73.64 歲的人口期壽命可以計算出 d=（73.64?50）/30=0.788。換句話說，個人在一生中的平均退休的時間為 (1+β)，存活的時間為 (1+d)。按照假設(shè)可以得到個人一生狀態(tài)的設(shè)置：

圖 2 個人一生狀態(tài)的設(shè)置

在老年時期，個人在退休前會繼續(xù)參加工作并獲得工資，而退休后不會有任何工資收入。整個老年時期的消費需要依靠退休前參加工作的工資收入和積累的儲蓄，以及退休后政府發(fā)放的養(yǎng)老金提供。根據(jù)《國務(wù)院關(guān)于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險制度的決定》（國發(fā)[2005]38號）中的規(guī)定，把政府發(fā)放的養(yǎng)老金分為兩部分：一是個人賬戶養(yǎng)老金，由個人按工資比例繳納；二是公共賬戶養(yǎng)老金，由企業(yè)按工資比例繳納。假設(shè)在中年期，個人參加工作要按工資比例繳納個人賬戶養(yǎng)老金，而在老年期不需要。③在老年時期，繳納的個人賬戶養(yǎng)老金會在退休后部發(fā)回。按照模型假設(shè)，延遲退休參加工作與實際退休同屬一個時期，不存在利率的回報，所以這里提前把個人賬戶養(yǎng)老金的繳納和發(fā)放相抵消了。同時，中年時期所積累的儲蓄和繳納的個人賬戶養(yǎng)老金，在老年時期領(lǐng)取時會獲得一定的利率回報。另外，為了模型計算簡單，假設(shè)老年人死亡之前會把所有的資源消費完。用C2t+1表示老年人在 (t+1)時期的消費。那么按照假設(shè)，老年人的消費約束可用下式表示：

其中： rt+1為 (t+1)期的利率，It為t 時期積累的個人賬戶養(yǎng)老金，Qt+1為 (t+1)期的公共賬戶養(yǎng)老金。個人賬戶養(yǎng)老金和儲蓄都存在利率 (1+rt+1)的回報，而公共賬戶養(yǎng)老金是“現(xiàn)給現(xiàn)付”（pay as you go）的，所以不存在利率的回報。

假設(shè)個人一生的效用由中年時期和老年時期的消費組成，用對數(shù)函數(shù)來描述消費所獲得的效用，那么個人一生的效用可以用以下的函數(shù)表示：

其中： θ∈(0,1)表示老年時期消費對中年時期的折現(xiàn)系數(shù)。按照以上的假設(shè)條件和分別對中年時期與老年時期預(yù)算約束的討論，結(jié)合式（3）、（4）和（5）構(gòu)建個人的效用最大化模型。

（一）個人行為。個人的目標(biāo)是在中年、老年時期的預(yù)算約束下實現(xiàn)效用最大化：

個人一生效用最大化問題實際上是在預(yù)算約束下個人如何分配中年消費 C1t和老年消費C2t+1之間的問題。不難發(fā)現(xiàn)，個人只需要通過控制儲蓄 st即可實現(xiàn)對兩種消費之間的分配。在式（6）中的效用函數(shù)里對儲蓄 st求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為0，容易得到個人消費效用最大化的一階必要條件為：

式（7）表明，一生效用最大化時，老年時期的一單位消費所得到的效用等價于 θd(1+rt+1)單位中年時期消費所帶來的效用。

（二）企業(yè)行為。假設(shè)企業(yè)在完全競爭的環(huán)境下生產(chǎn)完全同質(zhì)的產(chǎn)品，該產(chǎn)品可以滿足所有人的消費需求，并令其價格為1。用包含技術(shù)進步的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)來表示企業(yè)的生產(chǎn)行為：

其中： Yt表示t 時期的總產(chǎn)出，A為 技術(shù)進步，Kt為t 期的資本存量，α ∈(0,1)為資本的收入份額。這里，在t 時期提供勞動力的包括當(dāng)期中年人 Nt，還有參加工作的老年人 βNt?1，即在同一個時期內(nèi)參加工作的人一共有 (Nt+ βNt?1)。為了模型計算方便，假設(shè)在同一時期中，不管是中年人還是老年人，由于處在同一個經(jīng)濟環(huán)境下，勞動所獲得的工資是相等的。即在t時期里，無論是中年人還是老年人的工資都是 wt。按照目前的養(yǎng)老保險政策規(guī)定，企業(yè)要為個人繳納公共部分養(yǎng)老金，設(shè)繳納的比例為 η，那么企業(yè)的利潤函數(shù)可以表示為：

其中：πt表示企業(yè)t 時期的利潤，rtKt表示企業(yè)投入生產(chǎn)所使用資本的成本，(Nt+βNt?1)(1+η)wt為企業(yè)投入生產(chǎn)所需的人力成本。把式（8）代入式（9），可以得到：

為了求解企業(yè)利潤最大化，在式（10）中分別對資本 Kt和人力資源 Nt求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為0，同時令 k=Kt

為人均資本，取 M=(1+n+β)/(1+n)，可以得到企業(yè)利潤最大化時的利率和工資：

tNt

這里 rt和 wt是完全競爭假設(shè)下資本和勞動力的價格，它們都是關(guān)于t 時期的人均資本 kt的函數(shù)。從式（11）中可以得到 ?rt/?kt= α(α?1)AM1?αktα?2＜0，說明當(dāng)退休年齡不變時，隨著人均資本的增加，會有當(dāng)期利率的減少。這是因為資本和勞動力對生產(chǎn)而言可能存在著替代的關(guān)系，而隨著人均資本的不斷積累，生產(chǎn)過程中獲得資本會相對比較容易，這時資本的邊際報酬降低。從式（12）中可以得到 ?wt/?kt=(1?α)αAM?αktα?1/(1+η)＞0，說明當(dāng)退休年齡不變時，隨著人均資本的增加，當(dāng)期的工資是增加的。因為當(dāng)人均資本達到一定的累積量后，企業(yè)獲得資本更加容易，而獲得勞動力就會變得相對困難，此時勞動力的價格也就是工資可能就會提高。

（三）政府行為。在模型中，政府部門的作用是管理養(yǎng)老金的繳納和發(fā)放。按照目前我國養(yǎng)老保險政策有關(guān)規(guī)定，城鎮(zhèn)居民按一定的工資比例繳納個人賬戶養(yǎng)老金，企業(yè)按照一定的工資比例繳納公共賬戶養(yǎng)老金。個人賬戶養(yǎng)老金由個人在工作時繳納，退休后再發(fā)放。而公共養(yǎng)老金是“現(xiàn)給現(xiàn)付”的，由當(dāng)期的中年人和還在參加工作的老年人繳納給當(dāng)期已經(jīng)退休的老年人。

η

公共部分養(yǎng)老金由當(dāng)期參加工作的中年人和老年人所在的企業(yè)按工資比例 提供，并平均發(fā)放到每一個退休后還存活的老年人手中，所以有：

式（14）簡單變換一下，每一位還存活的老年人平均可以得到的公共賬戶養(yǎng)老金為：

對 Qt+1關(guān)于人均壽命 d 求導(dǎo)，可以得到：

式（16）說明，在工資和退休年齡保持不變的前提下，隨著人均壽命的提高，同一時期內(nèi)退休的老年人數(shù)增加，分配到每一個老年人手中的公共賬戶養(yǎng)老金就會減少。此時，如果政府仍然需要維持原來的公共養(yǎng)老金發(fā)放水平，就可能會造成養(yǎng)老金收支的不平衡，出現(xiàn)收不抵支的缺口。

（四）資本市場。Blanchard和Fischer（1988）具體推導(dǎo)了資本市場均衡的條件。假設(shè)資本完全折舊，資本市場均衡要求上一期的總儲蓄構(gòu)成了下一期期初的資本存量，由此可以得出市場均衡條件：

該等式左邊表示 (t+1)時期的總資本存量，而右邊表示t 時期的總儲蓄，包括當(dāng)期所有中年人的儲蓄和個人賬戶養(yǎng)老金。簡單處理一下式（17），可以得到：

把式（13）代入式（18），可以得到：

式（19）表示個人儲蓄關(guān)于人均資本的函數(shù)，但由于其中存在兩個時間段的人均資本 kt+1和 kt，所以無法直接得到儲蓄和人均資本之間的影響關(guān)系。接下來從動態(tài)均衡角度考察人均資本收斂條件。

（五）動態(tài)均衡。由式（11）?（13）、式（15）和式（19），可分別得到利率 rt+1、中年工資 wt、老年工資 wt+1、個人賬戶養(yǎng)老金 It、儲蓄 st、公共賬戶養(yǎng)老金 Qt+1關(guān)于人均資本 kt+1與 kt的解析式。把式（11）?（13）、式（15）和式（19）同時代入一階必要條件式（7）中，可得到關(guān)于人均資本 kt+1和 kt的差分方程：

為了構(gòu)造經(jīng)濟框架的一般均衡，假設(shè)方程（20）存在唯一、穩(wěn)定且無振動的解，令這個解為 k，則經(jīng)濟處于穩(wěn)定狀態(tài)時有t時期的人均資本和t+1時期人均資本相等，即 k=k=k。①穩(wěn)態(tài)條件求解過程略，但備索。即當(dāng)t趨

t+1t向于無窮時，人均資本會收斂至黃金率水平 k。

（六）社會福利最大化。政府部門與個人、企業(yè)部門不同，是非盈利的機構(gòu)。除了管理養(yǎng)老金的繳納和發(fā)放外，政府也是養(yǎng)老保險政策的制定者，可以決定退休年齡，也就是常說的社會計劃者（Social Planner）。從社會計劃者角度出發(fā)，政府的工作是實現(xiàn)社會福利的最大化。取單個人的一生中效用函數(shù)作為代表性個體的福利函數(shù)，把從第0代開始到第i代人的福利函數(shù)進行加總，②其中i趨向于無窮。加總后得到的為社會福利函數(shù)，并令其為，那么有：

其中： C20表示社會上最初代的老年人的消費。 ξ∈(0,1)為社會折現(xiàn)率，表示制定延遲退休計劃的政府對各代人的效用的重視程度。把每一期的期初資本存量和當(dāng)期的總產(chǎn)出作為資源約束，那么有第i期的資源約束為：

把式（8）代入式（22），并且進一步化簡可以有：

假設(shè)社會計劃者能夠通過控制退休年齡進而控制穩(wěn)態(tài)下的人均資本存量，從而使社會福利達到最大。令社會福利函數(shù)式（21）在約束條件式（23）的約束下最大化，于式（21）中對穩(wěn)態(tài)下的人均資本 k求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為0，得到社會福利最大化的一階必要條件：①社會福利最大化求解過程略，但備索。

i+1

其中：k表示經(jīng)濟社會處于穩(wěn)定狀態(tài)下的人均資福利最大化下的穩(wěn)態(tài)人均資本。由于所以穩(wěn)態(tài)下的本存量。式（24）表示存在社會計劃者且滿足社會人均資本存量會隨著退休年齡的提高而提高。這是因為隨著退休年齡的提高，可能使得同一時期內(nèi)有更多的人參與到工作中去，提高了整個社會的產(chǎn)出水平，從而提高了人均的資本存量。

于是，將式（24）代入至式（20）中，可以得到表示人均資本處于動態(tài)均衡的方程式：

本文意在得出個人效用最大化和社會福利最大化下的最優(yōu)退休年齡，以及人口壽命變化對最優(yōu)退休年齡的影響。把穩(wěn)態(tài)下的人均資本式（24）代入到穩(wěn)態(tài)下關(guān)于人均資本的方程式（25）中，可以得到穩(wěn)態(tài)下的最優(yōu)退休年齡的關(guān)系式：

下面通過比較靜態(tài)分析的方法，考察人口壽命變化對穩(wěn)態(tài)下的退休年齡的影響，再通過算法優(yōu)化和賦值模擬的方法，研究人口壽命變化在模型中是如何對最優(yōu)退休年齡產(chǎn)生影響的。

三、比較靜態(tài)和影響機制分析

目前對延遲退休政策是否有效的探討主要集中在延遲退休是否會對就業(yè)和工資產(chǎn)生擠出的問題上。而本文從社會福利最大化的角度出發(fā)，通過計算得到了穩(wěn)態(tài)下的工資、利率與退休年齡無關(guān)的結(jié)論。

（一）穩(wěn)態(tài)下的利率、工資與最優(yōu)退休年齡。將穩(wěn)定狀態(tài)下的人均資本式（24）分別代入到利率式（11）與工資式（12）中，可以得到穩(wěn)定狀態(tài)下的利率和工資：其中：分別表示穩(wěn)定狀態(tài)下的利率和工資。從式（27）和式（28）中可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)濟處于穩(wěn)定狀態(tài)下，利率和工資只受人口增長率的影響，與人口預(yù)期壽命和退休年齡都無關(guān)。也就是說，退休年齡的變化并不會影響穩(wěn)態(tài)水平的利率和工資。

對于穩(wěn)態(tài)下的工資和退休年齡無關(guān)，根據(jù)式（12），可以得到：

當(dāng)退休年齡提高時，會使得同一時期中參加工作的人數(shù)增加，進而導(dǎo)致工資下降，此時經(jīng)濟會偏離穩(wěn)態(tài)水平，出現(xiàn)了我們所說的擠出效應(yīng)。然而，當(dāng)經(jīng)濟恢復(fù)到均衡狀態(tài)中，根據(jù)式（24）有：

退休年齡的提高，會提高穩(wěn)態(tài)下的人均資本水平。由式（12）可知，工資是由人均資本和退休年齡共同決定的。退休年齡的提高會產(chǎn)生工資下降的趨勢，但又由于人均資本的提高帶來了總產(chǎn)出的提高，進而增加了企業(yè)對勞動力的需求，又使工資回到了原來的水平。實際上本文認(rèn)為，在短時間內(nèi)，延遲退休的確可能會產(chǎn)生一定的擠出效應(yīng)。然而從長期來看，這種擠出效應(yīng)也許只是暫時的。當(dāng)經(jīng)濟恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)時，延遲退休會提高勞動力的供給水平，帶來更多的產(chǎn)出，增加人均GDP，由此為經(jīng)濟社會帶來更多的就業(yè)機會，因此抵消了擠出的效應(yīng)。類似地，Lacomba和Lagos（2006）認(rèn)為長期以來延遲退休確實能增加勞動力的供給，而不是擠出就業(yè)和工資。Kalwij等（2010）通過22個國家和40多年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)實證分析表明，老年人繼續(xù)參加工作并不會對年輕人就業(yè)產(chǎn)生擠出，相反甚至可能會刺激年輕人的就業(yè)。

而對于穩(wěn)態(tài)下的利率與退休年齡無關(guān)，從式（11）可以得到：

隨著退休年齡的提高，企業(yè)獲得勞動力相對比較容易，會出現(xiàn)工資下降的趨勢，企業(yè)獲得資本相對會變得困難，利率出現(xiàn)暫時上漲的趨勢。但根據(jù)式（11）可以知道，利率也是由退休年齡和人均資本共同決定的。而根據(jù)式（30），長期來看，在經(jīng)濟恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中，由于人均資本的提高，可能使企業(yè)獲得資本變得容易，使利率又回復(fù)到了原來的水平。

所以，總的來說，由于本文考察的是一般均衡的模型框架，存在社會計劃者的前提下，當(dāng)退休年齡發(fā)生變化時，工資和利率的變化可能只是暫時的，最終將恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)水平。所以得出穩(wěn)態(tài)下工資、利率和退休年齡可能是無關(guān)的結(jié)論。

（二）人口預(yù)期壽命最優(yōu)退休年齡。化簡式（26）的穩(wěn)態(tài)下的最優(yōu)退休年齡，可得以下函數(shù)：

其中系數(shù) e 、f、g 和 h 分別為：

式（32）對人口預(yù)期壽命 d 求導(dǎo)，由于 e＞0、f ＜0、g ＞0、 h＞0，可以得到：①詳細(xì)證明過程略，但備索。

即當(dāng) d＞0時，穩(wěn)態(tài)下的人口預(yù)期壽命與最優(yōu)退休年齡正相關(guān)。類似地，如Zhang等（2001）、康傳坤（2014）、曾燕等（2013）。在其他條件不變的前提下，隨著人口預(yù)期壽命的延長，退休年齡也會相應(yīng)地提高，但這種提高并不是無止境的。由式（34）還可以發(fā)現(xiàn)：

即隨著預(yù)期壽命的延長，最優(yōu)退休年齡提高的速度是下降的。從式（32）的函數(shù)形式上看，退休年齡 β和人口預(yù)期壽命 d呈現(xiàn)出一種反比例的關(guān)系，當(dāng)預(yù)期壽命趨向于正無窮的過程中，穩(wěn)態(tài)下的最優(yōu)退休年齡將會無限接近于 e/g。

圖 3 人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整機制

從模型上看，隨著人口預(yù)期壽命的提高，提高退休年齡一方面會增加個人一生的收入，由此可進行更多的消費；另一方面，為了應(yīng)對人口壽命的延長，提高退休年齡還能增加勞動力的供給，增加社會上的總產(chǎn)出，并由此增加一個時期內(nèi)可消費的總資源，實現(xiàn)社會福利的最大化。而當(dāng)預(yù)期壽命縮短時，人們會相應(yīng)地減少儲蓄，此時降低退休年齡，能夠保持人們的儲蓄水平，增加資本存量，使總產(chǎn)出保持較高水平，由此實現(xiàn)社會福利的最大化。所以出現(xiàn)了人口預(yù)期壽命和退休年齡的正相關(guān)關(guān)系。然而，由于老年時期參加工作所獲得的工資可能大多用于當(dāng)期的消費，而不是儲蓄，所以隨著人口預(yù)期壽命的延長，提高退休年齡的過程中增加了較多的勞動力供給，而形成了較少的資本。當(dāng)勞動力供給處于高水平時，想要通過繼續(xù)提高退休年齡來增加社會產(chǎn)出的效果是較小的，從而一個時期內(nèi)可消費資源的增加也是較少的。所以，隨著預(yù)期壽命的延長，模型中最優(yōu)退休年齡的提高幅度是減少的。

從現(xiàn)實生活中看，由于預(yù)期壽命和退休年齡的不斷提高可能會持續(xù)增加勞動者的財富，而當(dāng)財富積累到一定程度時，僅通過短期的投資回報就足夠保障老年消費的需要，此時如果繼續(xù)提高退休年齡，也許只會因為占用閑暇而降低效用。所以，這時候無論壽命如何延長，最優(yōu)的退休年齡也不應(yīng)該繼續(xù)提高，而最終可能會趨向于一個穩(wěn)定值。另外，本模型中沒有考慮勞動者的身體健康問題。如果加入健康因素，建立一個隨著年齡增長而減少勞動力供給的函數(shù)，可能更能支撐本結(jié)論，出現(xiàn)這樣一個極限的退休年齡，這也是我們未來繼續(xù)展開研究的方向之一。

四、賦值模擬和退休年齡測算

式（26）是模型求解出來的關(guān)于退休年齡的解析式，存在以下參數(shù)：人口預(yù)期壽命 d，資本收入份額 α，個人效用折現(xiàn)率，公共養(yǎng)老金繳費率，個人養(yǎng)老金繳費率，代際折現(xiàn)率 ξ和人口增長率 n。為了得到關(guān)于人口預(yù)期壽命和退休年齡掛鉤的調(diào)整方法，關(guān)鍵在于如何進行參數(shù)估計。

（一）參數(shù)估計。

（二）敏感性分析。以上參數(shù)中，資本收入份額和效用折現(xiàn)率難以準(zhǔn)確測算，有必要分別進行敏感性分析。

由表3可見，設(shè)置的資本收入份額越高，最優(yōu)退休年齡越低。一方面，這是因為當(dāng)資本收入份額較高時，個人的老年消費生活會更依賴資本積累而不是參加工作賺取工資；另一方面，當(dāng)資本收入份額較高時，社會總產(chǎn)出更多地由資本提供而非勞動力，此時退休年齡應(yīng)設(shè)置更低。

由表4可見，設(shè)置的效用折現(xiàn)率越高，最優(yōu)退休年齡越高。效用折現(xiàn)

表 3 參數(shù) α敏感性分析

θ率反映了老年時期的消費生活對中年期的重要程度，當(dāng)效用折現(xiàn)率較高時，人們會更加關(guān)注老年時期的消費，此時提高退休年齡，能獲得更多的收入，保障老年消費生活。

表 4 參數(shù) 敏感性分析

（三）人口預(yù)期壽命和退休年齡調(diào)整機制。基于模型的求解和參數(shù)估計，下面給出人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整公式，以供政府參考。基于以上參數(shù)估計，得到以下參數(shù)估計表：

以男性為例，將表5參數(shù)代入至式（26）中，假設(shè)退休年齡為RA，預(yù)期壽命為LE，通過換算可以得到人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整公式：

表 5 參數(shù)賦值表

由式（36）可見，在社會資源約束下，不考慮健康因素時，極限退休年齡為204.57歲。實際上，假如人口預(yù)期壽命不斷延長，相信老年人的健康狀況也會變得越來越好，從而可參加工作的年限也會遠遠高于目前。由此，可以得到關(guān)于人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整對照表：

表 6 人口預(yù)期壽命和退休年齡調(diào)整對照表

《國家人口發(fā)展規(guī)劃（2016?2030年）》預(yù)測中國2030年人口預(yù)期壽命達到79歲。根據(jù)本模型的結(jié)論，建議在2030年前根據(jù)壽命的延長逐步延遲退休年齡至65歲。

五、長壽風(fēng)險造成的福利損失

長壽風(fēng)險是指由于無法準(zhǔn)確預(yù)期到自己未來的壽命，而可能無法做出保障老年生活的最優(yōu)決策的風(fēng)險。下面假設(shè)人口預(yù)期壽命在某一時期突然延長，而政府沒有來得及根據(jù)上述調(diào)整機制調(diào)整退休年齡，考察這種情況下可能會帶來的損失。

假設(shè)在 t 時期，人口預(yù)期壽命為73.64歲，即有 d=0.7880，同時有退休年齡。而時期的人均預(yù)期壽命延長至79歲，有 d′=(79?50)/30=0.9667。通過式（36）可以得到，此時模型中最優(yōu)的退休年齡應(yīng)該是 β′=0.5016，即65.05歲。將參數(shù)代入至模型中，并分別考慮政府根據(jù)人口預(yù)期壽命變化調(diào)整退休年齡和不調(diào)整退休年齡的情況下，公共賬戶養(yǎng)老金、老年時期總消費、老年時期平均消費和當(dāng)期社會福利的影響，可以得到：

通過對比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不存在人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整機制時，在保持養(yǎng)老金收支平衡的前提下，由于退休年齡沒能及時根據(jù)人口壽命的延長而調(diào)整，平均發(fā)放的養(yǎng)老金可能會減少，這使得當(dāng)代人單位時間的老年消費下降幅度相對較大，進而影響消費所獲得的效用。如果此時政府想要維持養(yǎng)老金的發(fā)放水平，則可能導(dǎo)致養(yǎng)老金的收不抵支。而當(dāng)存在人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整機制時，由于退休年齡隨著壽命的延長而提高，一方面增加了老年時期的收入，另一方面延遲了發(fā)放養(yǎng)老金的時間，使得老年時期的平均消費下降幅度相對較小。

根據(jù)表7還可以得到，當(dāng)人口預(yù)期壽命從73.64歲增長到79(歲時，如果)不根據(jù)人口預(yù)期壽命而調(diào)整退休年齡(，可能導(dǎo)致老年)人單位時間得到的養(yǎng)老金減少 Qt+1?(=)0.0351，老年人單位時間的消費減少 (C2t+1?C2bt+1)/dt+1=0.0302，最終可能使社會福利減少 Ut?=0.0607。然而，本文在賦值模擬時為了得到某些參數(shù)，假設(shè)了當(dāng)前退休年齡就是最優(yōu)的退休年齡，但事實上，連祥卿（1990）就已經(jīng)提及延遲退休的政策建議。20多年以來，人口預(yù)期壽命已經(jīng)從1990年的68.55歲延長至了目前的76.34歲，而法定退休年齡卻沒有作出相應(yīng)調(diào)整，長時間的討論和研究可能已經(jīng)導(dǎo)致了社會福利的損失。

六、結(jié)論與政策啟示

本文在兩期交疊世代模型的基礎(chǔ)上，加入退休因素，在市場完全競爭、充分就業(yè)和政府能夠控制退休年齡的假設(shè)前提下，從社會計劃者的角度，研究了經(jīng)濟處于穩(wěn)態(tài)水平時人口預(yù)期壽命變化和退休年齡之間的函數(shù)關(guān)系。分析結(jié)果顯示，人口預(yù)期壽命與社會福利最大化下的退休年齡可能是正相關(guān)的，并且呈現(xiàn)出負(fù)反比例函數(shù)的形式。同時，使用賦值模擬和參數(shù)估計的辦法，計算出了人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整公式，并由此給出了兩者的調(diào)整對照表。最后通過反事實檢驗，發(fā)現(xiàn)如果不建立人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整機制，突然的預(yù)期壽命變化可能造成社會福利損失。

基于研究的結(jié)論，本文建議政府建立人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整機制。同時，根據(jù)《國家人口發(fā)展規(guī)劃（2016?2030年）》中預(yù)測的人口預(yù)期壽命，在2030年前逐步將退休年齡延長至65歲。本文認(rèn)為，人口預(yù)期壽命延長將給老年人的生活帶來一定的壓力。而根據(jù)人口預(yù)期壽命對退休年齡作出適當(dāng)?shù)卣{(diào)整也許能夠提高老年人每年獲得的養(yǎng)老金水平，進而緩解老年的消費壓力。實際上，世界上已有很多國家建立起了退休年齡與平均預(yù)期壽命之間直接或間接的機制，中國可以學(xué)習(xí)和借鑒國際上的這種經(jīng)驗，并結(jié)合我國實際情況，制定適合我國未來人口壽命變化趨勢的養(yǎng)老保險政策。

本文還存在一些不足之處。首先，本文模型的構(gòu)建基于退休年齡由政府決定的假設(shè)，實際上個人是可以自由決定退休的，無法決定的只是養(yǎng)老金的發(fā)放時間，這在一定程度上不符合實際情況。但相信現(xiàn)實生活中，法定退休年齡是具有一定指導(dǎo)意義的，這讓大部分人最終選擇在法定的退休年齡退休，而非提前幾年或推遲幾年，因為很多人為了保險起見，不愿意度過完全沒有工資收入的真空期。而法定退休年齡的指導(dǎo)作用到底有多大，相信會是另一個值得研究的方向。其次，本文沒有考慮勞動者的身體健康情況，勞動者的身體情況將影響實際的勞動力供給，進而會對人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整機制產(chǎn)生影響。第三，本文通過賦值模擬的方法測算出了人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整公式，但參數(shù)估計過程中部分參數(shù)存在一定的量化困難，由此得到的調(diào)整算法的準(zhǔn)確性還有待進一步檢驗。以上不足之處也將是我們未來繼續(xù)研究的方向。

表 7 人口預(yù)期壽命延長對經(jīng)濟的沖擊

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