預(yù)張拉CFRP布增強加筋矩形板的動力特性分析

丁 馴， 周 叮， 劉 朵， 張建東

(1. 南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 211816； 2. 蘇交科集團股份有限公司，南京 211112)

板是結(jié)構(gòu)工程中最常見的構(gòu)件，若在垂直于板邊方向使用加強筋，可有效提高板和整個結(jié)構(gòu)的承載能力和穩(wěn)定性[1-2]。CFRP是一種高性能的新型纖維增強復(fù)合材料，近十年來，特別是在美國北嶺地震和日本阪神大地震后，采用CFRP布加固補強混凝土結(jié)構(gòu)的技術(shù)在實際工程中大量應(yīng)用，并且隨著這項加固技術(shù)在世界各地的推廣和發(fā)展，CFRP材料的輕質(zhì)高強、抵抗腐蝕、方便操作等優(yōu)越性能逐漸被工程界認(rèn)可，并且已成功運用于加筋板的加固，具體方法是對CFRP布進行預(yù)張拉，然后張貼到加強筋的下表面起到增強效果[3]。

近十年來世界各國土木建筑界的許多學(xué)者和工程師們將CFRP廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的加固工程，并進行了大量的實踐和研究工作。劉世恩等[4]提出了一種計算加勁板的板梁分開法模型，用有限元法對該模型進行了幾何非線性分析并與試驗結(jié)果以及解析解相比較；杜修力等[5]介紹了預(yù)應(yīng)力芳綸纖維布和碳纖維筋在加固混凝土結(jié)構(gòu)方面的主要研究成果。

Bhaskar等[6]分別用彈性力學(xué)方法和經(jīng)典力學(xué)方法研究了四邊簡支正交各向異性加筋板的靜、動力學(xué)性能；周叮[7]研究了兩對邊簡支、另兩對邊復(fù)雜支撐矩形板的橫向振動問題；馬牛靜等[8-9]研究了四邊固定和四邊簡支加勁板非線性振動的求解方法與振動特性，將加勁板分為母板與加勁肋兩個部分考慮，其中母板視為大撓度板，加勁肋視為Euler梁。李凱等[10]基于能量泛函變分的方法，研究附加多個集中質(zhì)量縱橫加筋板的自由振動特性；為了提高加筋板結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的預(yù)報精度，黃海燕等[11]建立了考慮板的剪切變形和旋轉(zhuǎn)慣性以及梁偏心的加筋板結(jié)構(gòu)的振動模型；尉大業(yè)[12]研究了周期和失諧周期正交各向異性肋板結(jié)構(gòu)的振動傳播特性；白崇喜[13]研究了無黏結(jié)CFRP筋部分預(yù)應(yīng)力混凝土梁板設(shè)計方法研究；張浩宇等[14]分別應(yīng)用工程算法和有限元軟件ANSY對CFRP增強環(huán)氧樹脂復(fù)合材料加筋板的壓縮穩(wěn)定性進行了分析，得到了加筋板的臨界失穩(wěn)屈曲載荷和屈曲模態(tài)。CFRP加固技術(shù)的廣泛運用，推動了社會對CFRP增強加筋板的理論研究。

通常情況下，板的平面尺寸比厚度大很多，可用經(jīng)典薄板理論進行分析；加強筋的長度比其寬度和高度均大很多，故可用歐拉梁理論進行分析，而粘貼在加強筋下表面的預(yù)張拉CFRP布可使用弦理論進行分析。本文將預(yù)張拉CFRP布加固簡支加筋矩形板體系劃分為CFRP層、加強筋、矩形板三個部分，分別對之進行動力學(xué)分析，根據(jù)各個部分在接觸處力和位移的連續(xù)性條件確定待定系數(shù)，采用數(shù)值搜根法求出整個系統(tǒng)自由振動的固有頻率。

1 研究模型

考慮如圖1所示的長寬分別為a、b，厚度為h的四邊簡支矩形板；板下表面y=b/2處支承有長度為a、截面高度和寬度分別為H和B的簡支梁；梁下表面滿布貼有預(yù)張拉的CFRP布。模型中任一點沿x、y、z方向的位移分別為u、v、w。

基本假設(shè)：①不考慮梁與CFRP層之間的膠結(jié)層作用，梁和CFRP布完全黏合在一起；②板和梁、梁和CFRP層間的應(yīng)力和位移沿梁寬均布；③CFRP粘貼層的厚度與加強筋的截面高度相比很小可忽略不計。

圖1 預(yù)張拉CFRP布加固加筋矩形板Fig.1 Stiffened rectangular plate strengthened with pretension CFRP sheets

2 預(yù)張拉CFRP布分析

CFRP布很薄，CFRP層和加強筋之間的作用力沿寬度B不變，可將預(yù)張拉CFRP層當(dāng)作一維的弦來進行分析。CFRP層的受力如圖2所示，加強筋對其在單位寬度上產(chǎn)生的豎向作用力為Jint(x,t)，切向作用力為Rint(x,t)，CFRP層兩端受到大小為T的預(yù)張力，則每層CFRP兩端受到T除以層數(shù)的預(yù)張力。

圖2 CFRP層上的界面作用力Fig.2 Interface tractions on the CFRP sheet

CFRP層微段上的平衡條件為

(1)

(2)

(3)

式中：N為CFRP層除了T以外的軸力；Ec為CFRP布沿長度方向的彈性模量；Ac為CFRP層的橫截面積；ρc為弦單位長度的質(zhì)量。

將式(3)代入式(2)進一步得到

(4)

設(shè)CFRP層的位移函數(shù)為

(5)

式(5)已滿足邊界條件：w=0， 當(dāng)x=0,a。

根據(jù)位移函數(shù)的形式，可設(shè)加筋板與CFRP布間的界面力為

(6)

將式(5)、式(6)代入式(1)、式(4)， 將Am、Bm用Jm、Rm表示。

3 加強筋分析

因加強筋的跨度比其截面尺寸大很多，可以將加強筋簡化成歐拉梁，用歐拉梁理論進行分析。加強筋上下表面的受力如圖3所示，CFRP層在單位寬度上對其產(chǎn)生的豎向力為Jint(x,t)， 切向力為Rint(x,t)， 矩形板對其產(chǎn)生的單位寬度上的豎向力為Qint(x,t)， 切向力為Sint(x,t)。

圖3 加強筋上下表面的受力Fig.3 Interface tractions on the stiffener

將上下界面作用力均轉(zhuǎn)移到加強筋中線上時，上下切向力均會產(chǎn)生沿長度方向分布的附加彎矩，如圖4所示。

圖4 上下表面受力轉(zhuǎn)換到加強筋的中線Fig.4 Shifting of interface tractions to the mid line of the stiffener

設(shè)CFRP層切向力Rint(x,t)產(chǎn)生的附加彎矩為mr(x,t)， 矩形板切向力Sint(x,t)產(chǎn)生的附加彎矩為ms(x,t)， 則

(7)

根據(jù)歐拉梁理論，引入加強筋中線位移u0，則加強筋上某點的位移為

(8)

加強筋中線微段上的平衡條件為

(9)

(10)

(11)

式中：N、V、M分別為加強筋任一截面上的拉力、剪力和彎矩；ρb為加強筋的質(zhì)量密度。

將式(11)代入式(10)中，消去V得

(12)

根據(jù)加強筋的本構(gòu)關(guān)系，在x方向上有

(13)

將式(13)代入式(9)、式(12)，得加強筋的微分控制方程

(14)

式中：Eb為加強筋長度方向的彈性模量；Ab為加強筋截面的面積；Ib為加強筋截面的慣性矩。設(shè)矩形板對單位寬度上加強筋的作用力為

(15)

根據(jù)加強筋上下界面作用力傅里葉級數(shù)的形式，加強筋的位移函數(shù)可設(shè)為

(16)

式(16)已滿足梁兩端簡支的邊界條件

將式(6)、式(15)、式(16)代入式(14)，將Um、Wm用Rm、Jm、Sm、Qm表示。

4 薄板分析

矩形薄板下方受力如圖5所示，和加強筋一樣，將界面作用力轉(zhuǎn)移到板的中面上，在板的單位面積上會分別產(chǎn)生豎向力Qint(x,y,t)、 切向力Sint(x,y,t)以及分布力矩mp(x,y,t)。

圖5 矩形板上的界面作用力Fig.5 Interface tractions on the rectangular plate

將加強筋對矩形板的豎向和切向作用力展開成雙三角級數(shù)

(17)

(18)

則有

(19)

根據(jù)經(jīng)典板理論，有

(20)

式中：u0(x,y,t)、v0(x,y,t)和w(w,y,z,t)為板中面的位移。

板中面上微小面積元的受力平衡條件為

(21)

(22)

(23)

式中：N、M、Q為矩形板的內(nèi)力。

將式(22)代入式(23)消去Qx和Qy，得

(24)

各向同性板的平面應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系為

(25)

沿板厚度積分得微分控制方程

(26)

(27)

(28)

設(shè)板的位移函數(shù)為雙三角級數(shù)形式

(29)

式(29)已滿足簡支邊界條件當(dāng)x=0,a;w=v=0； 當(dāng)y=0,b;w=u=0。

將式(17)～式(19)和式(29)代入式(26)～式(28)，將Umn、Vmn、Wmn用Sm、Qm表示。

5 CFRP層、加強筋、板的整體分析

上述的分析已經(jīng)滿足了界面之間力的連續(xù)性，由于加強筋與矩形板的作用力和位移沿筋的寬度B均保持不變，這樣的假設(shè)無法保證在加強筋整個寬度上與矩形板間位移的連續(xù)，因此可沿加強筋的中線近似取加強筋和板的界面位移沿y=b/2線連續(xù)，則根據(jù)各層間位移連續(xù)性，得到一個關(guān)于系數(shù)Rm、Jm、Qm、Sm之間的齊次線性方程組，用矩陣形式可表示為

(30)

式中： 各個系數(shù)詳細表達式見附錄。

由于系數(shù)不全為0，根據(jù)線性代數(shù)知識，可知其系數(shù)行列式的值為零，就得到整個系統(tǒng)的頻率方程

(31)

利用行列式搜根法可求出各階固有頻率，將頻率值代入式(30)可求出各個系數(shù)的相對值，再將這些結(jié)果值代入相應(yīng)的位移函數(shù)，就可以得到各階振型。

6 收斂性分析和算例

首先研究本文方法的收斂性，假設(shè)方板的泊松比vp=0.3，彈性模量Ep=30 000 MPa,板的長寬a=b=5 000 mm，板厚h=100 mm，密度ρ=2.4×10-9T/mm3加強筋的泊松比υb=0.3，彈性模量Eb=30 000 MPa，加強筋高H=200 mm，寬B=100 mm；CFRP的彈性模量Ec=200 000 MPa，每層CFRP布的厚度為0.6 mm，密度ρc=1.8×10-9T/mm3，每層CFRP布兩端受到的預(yù)拉力使CFRP布產(chǎn)生0.5%的拉應(yīng)變，換算得預(yù)拉力T=600 N/mm。收斂性分析和與有限元結(jié)果對比如表1和表2所示。

表1 各階頻率收斂性分析

從表1可以看出本文的結(jié)果具有很好的收斂性，在級數(shù)N取到40時，可保證三位以上的有效數(shù)字，故在以后的分析中級數(shù)項全部取N=40。有限元ANASYS分析板和FRP均采用殼單元Shell181，加強筋采用實體單元Solid185，預(yù)張拉施加采用溫度法。表2給出了本文解與有限元ANSYS解的比較，從表中可以看出，本文解與有限元解吻合很好，最大誤差只有2.1%，證明了本文模型的正確性。另外用Mathematics畫出了前三階振型圖，如圖6所示。

表2 本文解與有限元解的比較

圖6 矩形加筋板的前三階振型Fig.6 The first three mode shapes of the rectangular stiffened plate

表3和表4分別研究CFRP布層數(shù)和CFRP布預(yù)張力對固有頻率的影響，表3中每層CFRP布預(yù)張力的大小都是600 N/mm，由表3可知隨著CFRP層數(shù)的增加，加筋板各階的自振頻率相應(yīng)增大，加固效果隨CFRP布層數(shù)的增加越來越明顯。表4為CFRP布粘貼一層情況下預(yù)張力變化對各階自振頻率的影響，由表4可知隨CFRP布預(yù)張力的增加，各階自振頻率亦相應(yīng)增大；比較表3和表4可以發(fā)現(xiàn)，增加CFRP的層數(shù)比增加預(yù)張力的大小對提高加筋板固有頻率的影響更大。不管是增加CFRP層數(shù)還是提高預(yù)張力大小，都提高了加筋板的剛度，從而使得加筋板的自振頻率增大，符合實際工程情況。

表3 粘貼不同層數(shù)CFRP對加筋板固有頻率的影響

表4 不同預(yù)張力CFRP對加筋板固有頻率的影響

7 結(jié) 論

本文研究了預(yù)張拉CFRP增強加筋矩形板的動力學(xué)分析，將整體系統(tǒng)沿界面分割成薄板、加強筋、CFRP三部分，將界面力作為待定未知外力，分別對三部分進行分析，以三角級數(shù)形式表示各個方向的位移函數(shù)和應(yīng)力，根據(jù)各部分界面間的位移連續(xù)性條件得到一齊次代數(shù)方程組，由系數(shù)行列式為零條件得到以固有頻率為未知量的代數(shù)表達式，數(shù)值搜根得到各階固有頻率。計算結(jié)果與有限元ANSYS解對比證明了本文模型的準(zhǔn)確性。分析了不同層數(shù)CFRP和不同預(yù)張力值對加筋板固有頻率的影響，通過對比可知，隨著CFRP層數(shù)和預(yù)張力的增加，CFRP增強加筋板的固有頻率逐漸增加，這意味著加固有明顯效果；研究表明CFRP層數(shù)的增加比預(yù)張力的增加對CFRP增強加筋板固有頻率的影響更大。

[ 1 ] SHANMUGAM N E, ZHU D Q, CHOO Y S, et al. Experimental studies on stiffened plates under in-plane load and lateral pressure[J]. Thin-Walled Structures, 2014, 80(1): 22-31.

[ 2 ] SRIVASTAVA A K L, PANDEY S R, KUMAR A. Dynamical analysis of stiffened plates under patch loading[J]. Applied Mechanics and Engineering, 2013, 18(2): 537-554.

[ 3 ] CHAVES-VARGAS M, DAFNIS A, REIMERDES H G, et al. Modal parameter identification of a compression-loaded CFRP stiffened plate and correlation with its buckling behavior[J]. Progress in Aerospace Sciences, 2015, 78: 39-49.

[ 4 ] 劉世恩, 劉勝君. 加勁板的計算方法研究[J]. 工業(yè)建筑, 1998, 28(10): 30-32.

LIU Shien, LIU Shengjun. Research on the computer method of stiffened plates[J]. Industrial Construction, 1998, 28(10): 30-32.

[ 5 ] 杜修力, 張建偉, 鄧宗才. 預(yù)應(yīng)力FRP加固混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)研究與應(yīng)用[J]. 工程力學(xué)，2007, 24(增刊2): 62-74.

DU Xiuli, ZHANG Jianwei, DENG Zongcai. Technology and application of strengthening RC structure with prestressed FRP[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(Sup 2): 62-74.

[ 6 ] BHASKAR K, PYDAH A. An elasticity approach for simply-supported isotropic and orthotropic stiffened plates[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 89: 21-30.

[ 7 ] 周叮. 兩對邊簡支另兩對邊復(fù)雜支承矩形板的橫向振動問題[J]. 強度與環(huán)境, 1992(3): 16-22.

ZHOU Ding. The transverse vibrations of rectangular plates with complex supports on edges[J]. Structure & Environment Engineering, 1992(3):16-22.

[ 8 ] 馬牛靜, 王榮輝, 韓強, 等. 四邊簡支加勁板的幾何非線性自由振動及內(nèi)共振[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(24): 60-64.

MA Niujing, WANG Ronghui, HAN Qiang, et al. Geometrically nonlinear free vibration and internal resonance of a stiffened plate with four edges simply supported[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(24): 60-64.

[ 9 ] 馬牛靜，王榮輝. 四邊固定加勁板的非線性自由振動[J]. 力學(xué)學(xué)報, 2011, 43(5): 922-930.

MA Niujing, WANG Ronghui. Nonlinear free vibration of stiffened plate with four edges clamped[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, 43(5): 922-930.

[10] 李凱, 何書韜, 邱永康, 等. 附加多個集中質(zhì)量加筋板的自由振動分析[J]. 中國艦船研究, 2015, 10(5): 66-70.

LI Kai, HE Shutao, QIU Yongkang, et al. Free vibration analysis of rectangular stiffened plates with several lumped mass[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2015,10(5): 66-70.

[11] 黃海燕，王德禹. 加筋板結(jié)構(gòu)的自由振動分析[J]. 船舶工程, 2008, 30(6): 1-3.

HUANG Haiyan, WANG Deyu. Free vibration analysis of the stiffened plate[J]. Ship Engineering, 2008, 30(6): 1-3.

[12] 尉大業(yè). 周期和失諧周期正交各向異性肋板結(jié)構(gòu)的振動傳播特性[D]. 北京: 北京交通大學(xué), 2011: 1-7.

[13] 白崇喜. 無黏結(jié)CFRP筋部分預(yù)應(yīng)力混凝土梁板設(shè)計方法研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2010: 1-23.

[14] 張浩宇, 何宇廷, 馮宇, 等. 碳纖維增強環(huán)氧樹脂復(fù)合材料加筋板的壓縮屈曲特性[J]. 機械工程材料, 2015, 39(12): 59-62.

ZHANG Haoyu, HE Yuting, FENG Yu, et al. Compressive buckling property of carbon fiber reinforced epoxy resin composite stiffened panel[J]. Materials for Mechanical Engineering, 2015, 39(12): 59-62.

附錄：