關(guān)于Birkhoff逆問題中Santilli方法的研究?

崔金超 陳漫 廖翠萃

1)(江南大學(xué)理學(xué)院,無錫 214122)

2)(北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院,北京 100081)

(2017年9月21日收到;2017年11月21日收到修改稿)

1 引 言

Lagrange逆問題、 Hamilton逆問題以及Birkhoff逆問題,是動(dòng)力學(xué)逆問題研究的主要對(duì)象[1?3].Douglas[4]和Havas[5]關(guān)于Lagrange逆問題的研究表明,只有自伴隨的牛頓系統(tǒng)或完整約束力學(xué)系統(tǒng)能夠Lagrange化.運(yùn)動(dòng)微分方程不滿足Helmholtz條件的本質(zhì)非自伴隨系統(tǒng),不能Lagrange化,因此Lagrange逆問題對(duì)于完整約束力學(xué)系統(tǒng)而言不具有普適性.再由Lagrange方程和Hamilton方程的等價(jià)性可知,Hamilton逆問題也不具有普適性[6,7].于是提出了一個(gè)問題:在分析力學(xué)范疇內(nèi),是否存在一種自伴隨的動(dòng)力學(xué)模型,其逆問題對(duì)于完整約束力學(xué)系統(tǒng)來說是普適的?

20世紀(jì)80年代物理學(xué)家Santilli[8]對(duì)這一問題的深入研究表明,對(duì)于滿足局部性、解析性、正規(guī)性基本條件的完整約束力學(xué)系統(tǒng),普適的自伴隨動(dòng)力學(xué)模型是存在的,其解析表達(dá)就是Birkhoff方程形式.Birkhoff方程是Hamilton方程的自然推廣[9?15],它將非保守系統(tǒng)的幾何特性表現(xiàn)為一般辛結(jié)構(gòu),而不是Hamilton方程那樣的簡(jiǎn)單辛結(jié)構(gòu).這種更為一般的辛結(jié)構(gòu),為非保守系統(tǒng)保結(jié)構(gòu)算法的研究提供了幾何基礎(chǔ)[16?22].因此,尋求完整約束系統(tǒng)的Birkhoff表示,亦即研究Birkhoff逆問題顯得尤為重要.

Birkhoff動(dòng)力學(xué)的逆問題主要研究力學(xué)系統(tǒng)能夠表示為Birkhoff方程形式的條件,以及Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)的構(gòu)造方法.但完整非保守系統(tǒng)的廣泛性和復(fù)雜性,導(dǎo)致Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)沒有像Lagrange函數(shù)和Hamilton函數(shù)那樣簡(jiǎn)單的構(gòu)造方法.國(guó)內(nèi)外關(guān)于這一問題的研究成果屈指可數(shù)[23?26],現(xiàn)有構(gòu)造方法主要是Santilli[8]提出的,分別為利用偏微分方程的可積性定理直接構(gòu)造Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)的Santilli第一方法,利用自伴隨因子的函數(shù)積分法即Santilli第二方法,以及借助給定系統(tǒng)首次積分的Santilli第三方法.上述三種方法在具體應(yīng)用中還有許多技術(shù)性問題需要解決.例如在Santilli第一方法中,如何從欠定的偏微分方程組中解得所需的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù).文獻(xiàn)[9]針對(duì)自治系統(tǒng)情形中的這一問題提出了能量賦值法,通過將系統(tǒng)的總能量取為Birkhoff函數(shù),然后再求解Cauchy-Kovalevskaya型正定方程組來解決這一問題;文獻(xiàn)[23]則通過增加一個(gè)附加方程,將原來欠定的方程組化為正定方程組來求解.Santilli第二方法應(yīng)用的技術(shù)性困難在于必須先將系統(tǒng)自伴隨化,而這一前提通常較難滿足.文獻(xiàn)[24]針對(duì)已經(jīng)自伴隨化的一類系統(tǒng),提出了簡(jiǎn)化的Santilli第二方法,指出了一個(gè)被人們長(zhǎng)期忽視的冗余項(xiàng)問題.Santilli第三方法的使用困難有兩個(gè),一是要求系統(tǒng)全部第一積分為已知,二是對(duì)于多自由度系統(tǒng)的計(jì)算繁瑣.

近年來,我們針對(duì)上述問題開展了一些研究工作.本文將在前期工作基礎(chǔ)上給出一些新成果.第2節(jié)將從笛卡兒坐標(biāo)系下的達(dá)朗伯原理出發(fā),介紹完整系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)系下的一階標(biāo)準(zhǔn)形式,然后介紹Birkhoff方程及其逆問題;第3節(jié)具體介紹Santilli提出的三種構(gòu)造方法;第4節(jié)分別介紹這三種方法的研究進(jìn)展,包括Santilli第一方法的拓展研究,Santilli第二方法的簡(jiǎn)化證明,Santilli第三方法的改進(jìn)及其MATLAB程序化計(jì)算;第5節(jié)總結(jié)全文并對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論.

2 Birkhoff方程及Birkhoff逆問題

考慮笛卡兒坐標(biāo)系中由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成、受有3N?n個(gè)完整約束的力學(xué)系統(tǒng),其運(yùn)動(dòng)微分方程由D’Alembert原理描述為

這里及以下采用愛因斯坦求和約定.

引入廣義坐標(biāo)qi(i=1,2,···,n),并利用坐標(biāo)變換關(guān)系rk=rk(t,q)得到完整約束力學(xué)系統(tǒng)((1)式)在位形空間中的表達(dá)式,

由于上述二階微分方程有可能是本質(zhì)非自伴隨的,因而不宜作為逆問題普適性理論研究的出發(fā)點(diǎn).為此,采用文獻(xiàn)[8]的降階方法得到與(2)式等價(jià)的一階標(biāo)準(zhǔn)形式

再結(jié)合下述定理,則可在Birkhoff力學(xué)體系下建立普適的自伴隨方程.

定理1任何局域、解析、正規(guī)、完整的一階力學(xué)系統(tǒng)((3)式),在其正規(guī)點(diǎn)的星形鄰域上,總能實(shí)現(xiàn)自伴隨的、保持動(dòng)力學(xué)函數(shù)物理意義和變量實(shí)驗(yàn)室可測(cè)性質(zhì)的Birkhoff方程形式,即

式中B(t,a)稱為Birkhoff函數(shù),2n個(gè)函數(shù)Rμ(t,a)稱為Birkhoff函數(shù)組.

為方便起見,將2n+1個(gè)函數(shù)(B,Rμ)統(tǒng)稱為Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù),再引入Birkhoff張量

則(4)式可寫為

進(jìn)一步,若(6)式中函數(shù)和都不顯含時(shí)間,則(6)式成為自治Birkhoff方程,即

容易驗(yàn)證Birkhoff方程滿足如下自伴隨條件:

于是,Birkhoff逆問題可以具體闡述為:構(gòu)造未知函數(shù)B和Rμ,使得完整約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程((3)式)與Birkhoff方程((4)式)等價(jià),即

亦即要求

并且同時(shí)滿足自伴隨條件((8)式).

3 構(gòu)造Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)的Santilli方法

Santilli第一方法. 對(duì)于給定的Birkhoff函數(shù)B,(10)式是關(guān)于Birkhoff函數(shù)組Rμ的Cauchy-Kovalevskaya型方程,即

由Cauchy-Kovalevskaya定理可知,(11)式的解Rμ總是存在的.因此,如果能從(11)式解得一組Rμ,就能找到所需的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù).這種方法稱為Santilli第一方法.

在實(shí)際應(yīng)用中,若已知系統(tǒng)的總能量(即動(dòng)能與勢(shì)能的和),則將其取為Birkhoff函數(shù)B,那么理論上通過求解(11)式就可以確定Birkhoff函數(shù)組Rμ.但對(duì)于一些復(fù)雜的力學(xué)系統(tǒng),(11)式未必能夠順利求解,因而限制了Santilli第一方法的實(shí)效性.

Santilli第二方法.設(shè)系統(tǒng)的一階標(biāo)準(zhǔn)形式((3)式)已自伴隨化為如下形式:

式中下標(biāo)SA表示自伴隨(self-adjointness),為變量t,a的一般函數(shù).此時(shí)Birkhoff張量?μν為已知量,將其代入Birkhoff張量的定義((5)式)直接積分得

式中τ是參變量并且滿足0≤τ≤1.將求得的?μν和Rμ代入Birkhoff方程((4)式),并注意到(12)式,則可得

這種方法稱為Santilli第二方法.

Santilli第三方法. 若已知系統(tǒng)((3)式)全部獨(dú)立的第一積分Iα(t,a)(α=1,2,···,2n), 則Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)可由下式確定:

式中函數(shù)Gα=Gα[I(a)]要滿足正規(guī)性條件

這種方法稱為Santilli第三方法.

4 Santilli方法的研究新進(jìn)展

4.1 Santilli第一方法的拓展研究

文獻(xiàn)[9]關(guān)于Santilli第一方法在自治系統(tǒng)中的應(yīng)用,啟發(fā)我們思考如下問題:自治系統(tǒng)((3)式)是否總有自治Birkhoff表示((7)式)?文獻(xiàn)[8]對(duì)這一問題有所討論,但沒有給出具體證明.這里采用反證法加以證明.

命題1自治系統(tǒng)總存在自治Birkhoff表示.

證明假設(shè)某個(gè)自治系統(tǒng)

不存在自治Birkhoff表示,即對(duì)向量場(chǎng)Ξν找不到B和Rμ使得等式

成立.但另一方面,存在B(a)使得(18)式總是Cauchy-Kovalevskaya型的,只需將B(a)=RνΞν代入(18)式整理得

顯然,這是一組以2n個(gè)Rμ為未知函數(shù)的2n個(gè)一階偏微分方程組.不妨假定則(19)式可寫為Cauchy-Kovalevskaya型方程

由Cauchy-Kovalevskaya定理知(20)式的解總是存在.這說明對(duì)任意給定的向量場(chǎng)Ξν總有(18)式成立,這顯然與假設(shè)矛盾.故自治系統(tǒng)總有自治Birkhoff表示.證畢.

4.2 簡(jiǎn)化的Santilli第二方法

對(duì)于已經(jīng)自伴隨化的力學(xué)系統(tǒng),用Santilli第二方法構(gòu)造Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)是方便的.但長(zhǎng)期以來,人們忽視了該方法中存在的冗余項(xiàng),造成求解過程繁瑣復(fù)雜.在文獻(xiàn)[17]中我們已對(duì)這一問題做過討論,這里給出一種更為簡(jiǎn)潔的證明方法.

命題2Santilli第二方法中求解函數(shù)B的計(jì)算式(14)式可以簡(jiǎn)化為

即有如下恒等式成立:

式中Rμ由(13)式給出.

證明將(13)式代入(14)式,具體運(yùn)算得

式中最后一個(gè)等號(hào)成立主要是因?yàn)锽irkhoff張量?μν具有反對(duì)稱性,因而第三個(gè)等號(hào)后的第二項(xiàng)中(?νμaνaμ)關(guān)于μ和ν的遍歷求和恒為零,從而有

命題得證.

4.3 Santilli第三方法的改進(jìn)及其MATLAB程序化計(jì)算

4.3.1 Santilli第三方法的性質(zhì)及其第二形式

Santilli第三方法適用于可以求得全部獨(dú)立第一積分的系統(tǒng).此類系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)B和Rμ都表示為這些積分的函數(shù),因此借助第一積分這個(gè)橋梁可以找到B和Rμ之間的等量關(guān)系.

命題3由Santilli第三方法((15)式)所構(gòu)造的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)B和Rμ,總滿足如下等量關(guān)系式[8]:

證明由于Iα(α=1,2,···,n)是系統(tǒng)的第一積分,故有

兩端同乘以滿足正規(guī)性條件((16)式)的函數(shù)Gα(t,a)得

將(15)式代入(26)式即得(24)式.

利用這一關(guān)系可以將Santilli第三方法改寫為如下新形式:

4.3.2 改進(jìn)的Santilli第三方法

考慮Santilli第三方法的一種特殊形式.用Santilli第三方法((15)式)計(jì)算函數(shù)B和Rμ時(shí),為保證得到的Birkhoff方程是正規(guī)的,要求(15)式中的函數(shù)Gα(α=1,2,···,2n)必須滿足如下正規(guī)性條件:

但若對(duì)所選的每組Gα都去驗(yàn)證條件(28)式是否成立,將會(huì)導(dǎo)致額外的計(jì)算負(fù)擔(dān).于是提出如下問題:能否將可選函數(shù)Gα固定為某一組特殊的函數(shù)形式,使得正規(guī)性條件(28)式自動(dòng)滿足？事實(shí)上這是可以做到的,具體以如下命題形式闡述.

命題4假設(shè)給定系統(tǒng)的全部獨(dú)立第一 積 分Iα(α=1,2,···,2n)已 知, 在 原Santilli第三方法((15)式)中按如下方式選取函數(shù)Gα(α=1,2,···,2n),即

或等價(jià)表示為

則正規(guī)性條件(28)式自動(dòng)成立,并且函數(shù)B和Rμ可表示為

證明容易驗(yàn)證按照(29)式選取函數(shù)Gα(α=1,2,···,2n)后, 行列式((28)式)具體寫為

由行列式的結(jié)果不為零可知,正規(guī)性條件(28)式恒成立,再將函數(shù)Gα(α=1,2,···,2n)代入(15)式,即得函數(shù)B和Rμ的表達(dá)式((30)式).證畢.

構(gòu)造方法(30)式稱為改進(jìn)的Santilli第三方法.顯然,當(dāng)應(yīng)用改進(jìn)的Santilli第三方法構(gòu)造系統(tǒng)的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)B和Rμ時(shí),不必再進(jìn)行檢驗(yàn)正規(guī)性條件是否成立的步驟,在計(jì)算上顯然是方便的,示例如下.

例1用改進(jìn)的Santilli第三方法((30)式)構(gòu)造Whittaker方程

的Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)B和Rμ.

令

則系統(tǒng)((32)式)可表示為如下一階標(biāo)準(zhǔn)形式:

可求得系統(tǒng)全部獨(dú)立的第一積分為

將(35)式代入(30)式得

具體計(jì)算得Birkhoff函數(shù)組Rμ為

Birkhoff函數(shù)B為

容易驗(yàn)證(37)式和(38)式是所需的B和Rμ,而且與用原Santiili第三方法算得的結(jié)果一致[9].

4.3.3 Santilli第三方法的MATLAB程序化計(jì)算

應(yīng)用Santilli第三方法進(jìn)行具體計(jì)算時(shí),對(duì)于變量較多的系統(tǒng)必然會(huì)遇到以下問題:

2)若選取另外一組Gα,則要重復(fù)上述計(jì)算;

3)當(dāng)驗(yàn)證B和Rμ是否滿足Birkhoff方程((4)式)和關(guān)系式((24)式)時(shí)計(jì)算量大.

解決上述問題的有效途徑自然是將計(jì)算過程程序化,這將帶來如下便利:

1)消除計(jì)算量大帶來的耗時(shí)、易出錯(cuò)、驗(yàn)證困難等問題;

2)可選取多組不同的Gα得到多組不同的B和Rμ,從中選出相對(duì)簡(jiǎn)單或具有物理意義的一組,這比利用規(guī)范變換簡(jiǎn)化B和Rμ容易得多.

為具體討論Santilli第三方法的MATLAB程序化計(jì)算,首先繪制計(jì)算流程圖,如圖1所示.

圖1 Santilli第三方法MATLAB計(jì)算流程圖Fig.1.Flow diagram of MATLAB program of the Santilli’s third method.

A)計(jì)算流程圖

B)Santilli第三方法的矩陣形式及程序語句

下面根據(jù)流程圖考慮程序化的具體實(shí)現(xiàn).首先,將Santilli第三方法轉(zhuǎn)換成MATLAB易于處理的矩陣形式;其次,將涉及到偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的各項(xiàng)用求Jacobi矩陣的方法代替,進(jìn)而得到(12)式和Birkhoff張量?μν的MATLAB符號(hào)表示(詳見表1),據(jù)此可以編寫出具體的程序命令,并組合成完整的M文件;最后,在C)部分給出應(yīng)用實(shí)例.

C)應(yīng)用實(shí)例

例2已知如下約束力學(xué)系統(tǒng):

令

則系統(tǒng)((39)式)的一階標(biāo)準(zhǔn)形式為

試用MATLAB構(gòu)造系統(tǒng)的Birkhoff表示.

首先,計(jì)算函數(shù)B和Rμ.利用B)部分的程序模板,在M文件中編寫相應(yīng)的語句,運(yùn)行后返回系統(tǒng)的第一積分為

Birkhoff函數(shù)B和Rμ計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表1 (15)式的張量形式及其MATLAB符號(hào)表示Table 1.The tensor form of Eq.(15)and its MATLAB symbol.

表2 函數(shù)B和Rμ的MATLAB計(jì)算結(jié)果Table 2.The calculation results of B and Rμ of Birkhoff’s functions by MATLAB.

表2中第一組值是取G1=I2,G2=I5,G3=0,G4=0,G5=0得到的,第二組值是取G1=I2,G2=0,G3=I1,G4=I5,G5=0得到的.第一組結(jié)果比第二組結(jié)果更為簡(jiǎn)單,但第二組的Birkhoff函數(shù)B具有能量的意義.對(duì)應(yīng)于第一組G值的Birkhoff張量?μν為

若選取其他不同的G值,則可以得到不同的B和Rμ以及Birkhoff張量?μν.由本例的求解可以看出,Santilli第三方法的程序化計(jì)算,有效提高了計(jì)算效率和準(zhǔn)確率.

5 結(jié) 論

作為Hamilton力學(xué)的推廣,Birkhoff力學(xué)的發(fā)展一方面為完整非保守系統(tǒng)逆問題的研究提供了恰當(dāng)?shù)睦碚摽蚣?另一方面也為Hamilton系統(tǒng)保結(jié)構(gòu)計(jì)算的推廣奠定了理論基礎(chǔ).開展Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)構(gòu)造方法的研究,對(duì)于應(yīng)用變分法理論、幾何結(jié)構(gòu)分析以及幾何數(shù)值積分方法處理完整非保守系統(tǒng)的力學(xué)問題具有重要意義.

本文在命題1中證明了自治系統(tǒng)總有自治Birkhoff表示的結(jié)論,需要說明的是,這個(gè)自治Birkhoff表示并不一定是正規(guī)的.于是,自治系統(tǒng)是否總存在正規(guī)的自治Birkhoff表示,成為一個(gè)有待進(jìn)一步研究的問題.命題2關(guān)于簡(jiǎn)化的Santilli第二方法的證明,比文獻(xiàn)[17]中的方法簡(jiǎn)潔得多.研究這一問題的意義在于:簡(jiǎn)化的Santilli第二方法讓我們認(rèn)識(shí)到,通過求解Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)來確定Birkhoff方程,等同于確定它的辛矩陣.這種觀點(diǎn)為研究Birkhoff動(dòng)力學(xué)函數(shù)的構(gòu)造方法提供了新視角.通過命題3所建立的函數(shù)B和Rμ之間的等量關(guān)系,定義了Santilli第三方法的新形式,再結(jié)合MATLAB程序化計(jì)算提高了Santilli第三方法的計(jì)算效率.

如何將物理學(xué)、力學(xué)、工程科學(xué)等領(lǐng)域中更多的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)納入Birkhoff系統(tǒng)？這是一個(gè)具有基本意義的研究課題,愿能引起更多研究者的關(guān)注.

[1]BirkhoffG D 1927Dynamical Systems(New York:AMS College Publishers Providence,RI,Vol.IX)

[2]Santilli R M 1978Foundations of Theoretical Mechanics I(New York:Springer-Verlag)pp219–235

[3]Mei F X 2009Inverse Problems of Dynamics(Beijing:National Defense Industry Press)pp261–263(in Chinese)[梅鳳翔 2009動(dòng)力學(xué)逆問題 (北京:國(guó)防工業(yè)出版社)第261—263頁]

[4]Douglas J 1941Trans.Amer.Math.Soc.50 71

[5]Havas P 1957Nuovo Cimento Suppl.Ser.X5 363

[6]Marsden J E,Ratiu T S 1999Introduction to Mechanics and Symmetry.2nd Edition.(New York:Springer-Verlag)pp181–210

[7]Sarlet W 1982J.Phys.A15 1503

[8]Santilli R M 1983Foundations of Theoretical Mechanics II(New York:Springer-Verlag)pp25–28

[9]Mei F X,Shi R C,Zhang Y F,Wu H B 1996Dynamics of BirkhoffSystem(Beijing:Beijing Institute of Technology Press)pp8–25(in Chinese)[梅鳳翔,史榮昌,張永發(fā),吳恵彬1996 Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)(北京:北京理工大學(xué)出版社)第8—25頁]

[10]Mei F X,Wu H B,Li Y M,Chen X W 2016Chin.J.Theor.Appl.Mech.48 263(in Chinese)[梅鳳翔,吳惠彬,李彥敏,陳向煒2016力學(xué)學(xué)報(bào)48 263]

[11]Wu H B,Mei F X 2011Chin.Phys.B20 290

[12]Luo S K,He J M,Xu Y L 2016Int.J.Non-Linear Mech.78 105

[13]Luo S K,Dai Y,Zhang X T,Yang M J 2017Int.J.Non-Linear Mech.97 107

[14]Chen X W,Zhang Y,Mei F X 2017Chin.J.Theor.Appl.Mech.49 149(in Chinese)[陳向煒,張曄,梅鳳翔2017力學(xué)學(xué)報(bào)49 149]

[15]Fu J L,Fu L P,Chen B Y,Sun Y 2016Phys.Lett.A380 15

[16]Kong X L,Wu H B 2017Acta.Phys.Sin.66 084501(in Chinese)[孔新雷,吳惠彬 2017物理學(xué)報(bào) 66 084501]

[17]Guo Y X,Liu C,Liu S X 2010Commun.Math.18 21

[18]Liu C,Song D,Liu S X,Guo Y X 2013Sci.Chin.Tech.Sci.43 541(in Chinese)[劉暢,宋端,劉世興,郭永新2013中國(guó)科學(xué):物理學(xué)力學(xué)天文學(xué)43 541]

[19]Feng K,Qin M Z 2003Symplectic Geometric Algorithms for Hamiltonian Systems(Hangzhou:Zhejiang Science&Technology Press)pp246–258(in Chinese)[馮康,秦孟兆 2003哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法(杭州:浙江科學(xué)技術(shù)出版社)第246—258頁]

[20]Zhang X W,Wu J K,Zhu H P,Huang K F 2002Appl.Math.Mech.9 915(in Chinese)[張興武,武際可,朱海平,黃克服2002應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)9 915]

[21]Sun Y J,Shang Z J 2005Phys.Lett.A336 358

[22]Liu S X,Liu C,Guo Y X 2011Chin.Phys.B20 034501

[23]Ding G T 2008Acta.Phys.Sin.57 7415(in Chinese)[丁光濤 2008物理學(xué)報(bào)57 7415]

[24]Cui J C,Liao C C,Zhao Z 2016Acta.Phys.Sin.65 180201(in Chinese)[崔金超,廖翠萃,趙喆,劉世興 2016物理學(xué)報(bào)65 180201]

[25]Cui J C,Song D,Guo Y X 2012Acta.Phys.Sin.61 244501(in Chinese)[崔金超,宋端,郭永新2012物理學(xué)報(bào)61 244501]

[26]Song D,Liu C,Guo Y X 2013Appl.Math.Mech.34 995(in Chinese)[宋端,劉暢,郭永新 2013應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)34 995]