Al+離子3s21S0→3s3p3,1P躍遷同位素偏移的理論研究?

張婷賢 李冀光 劉建鵬

1)(北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所,北京 100088)

2)(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,蘭州 730070)

3)(國防科技大學(xué)文理學(xué)院,長沙 410073)

(2017年10月19日收到;2017年12月14日收到修改稿)

1 引 言

在核物理研究中,原子核的均方根半徑〈r2〉是研究原子核性質(zhì)的重要物理參數(shù),對(duì)同一元素該參數(shù)沿同位素鏈的變化反映原子核內(nèi)相互作用的變化規(guī)律.因此,對(duì)不同同位素均方半徑的確定不僅有助于發(fā)現(xiàn)奇異核,而且有助于理解原子核內(nèi)的多體相互作用從而發(fā)展核結(jié)構(gòu)理論[1].從原子物理的角度出發(fā),結(jié)合對(duì)原子(或離子)同位素偏移的精密測(cè)量和原子結(jié)構(gòu)高精度計(jì)算是提取原子核均方根半徑的有效途徑之一[2].該方法的優(yōu)勢(shì)在于其提取得到的核參數(shù)與核模型無關(guān),因此可以用于檢驗(yàn)核模型.特別是近年來共線激光光譜技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)可以測(cè)量產(chǎn)量較低的不穩(wěn)定核素的同位素偏移.但是在理論計(jì)算方面,由于同位素偏移因子對(duì)電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的敏感性較強(qiáng),在有限的計(jì)算資源下難以對(duì)多電子體系的計(jì)算精度進(jìn)行準(zhǔn)確地評(píng)估.

近年來,對(duì)某些體系的大規(guī)模計(jì)算中發(fā)現(xiàn),在同位素質(zhì)量偏移因子(包擴(kuò)正規(guī)質(zhì)量偏移因子和特殊質(zhì)量偏移因子)和躍遷能隨電子關(guān)聯(lián)的收斂過程中,這兩個(gè)物理量的收斂性之間存在線性關(guān)系.以Carette和Godefroid對(duì)C原子和C?離子的研究為例,當(dāng)參考組態(tài)基組固定時(shí),隨著活動(dòng)空間中關(guān)聯(lián)軌道的增加,C原子的2p23P態(tài)的能量本征值和特殊質(zhì)量偏移因子均逐漸減小,并近似成線性關(guān)系.在活動(dòng)空間大小一樣、參考組態(tài)基組逐漸擴(kuò)大的情況下,特殊質(zhì)量偏移因子逐漸增大,能量本征值逐漸減小,二者的收斂過程仍然近似成線性關(guān)系.這反映出C原子的2p23P態(tài)的能量本征值和特殊質(zhì)量偏移因子隨電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的收斂過程近似成線性關(guān)系[3].類似的情況還在S?離子、Cl原子,Cl?離子中被發(fā)現(xiàn)[4,5].后來,他們又在對(duì)中性Cu的4s躍遷的研究工作中發(fā)現(xiàn),該躍遷的質(zhì)量偏移因子與躍遷能隨電子關(guān)聯(lián)的收斂性之間存在線性關(guān)系,并且指出在他們的計(jì)算模型下,計(jì)算所得的質(zhì)量偏移因子的誤差與躍遷能和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差有一定的關(guān)聯(lián)[6].最近,Liu等[7]在B+體系中同樣發(fā)現(xiàn)了相似的線性關(guān)系,而且用該線性關(guān)系對(duì)計(jì)算結(jié)果的不確定度進(jìn)行了評(píng)估,其評(píng)估結(jié)果與通過評(píng)估電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的收斂性及Breit相互作用所得不確定度基本一致.但是,到目前為止,還沒有對(duì)這些線性關(guān)系普適證明的報(bào)道.另外,對(duì)于大部分體系,不論是實(shí)驗(yàn)還是理論,給出躍遷能的結(jié)果要相對(duì)容易一些,如果同位素偏移因子與躍遷能的收斂性之間確實(shí)存在線性關(guān)系,這必然有助于對(duì)今后理論計(jì)算結(jié)果不確定度的評(píng)估.

本文在之前對(duì)Al+離子兩個(gè)躍遷的同位素偏移因子精細(xì)計(jì)算的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步細(xì)致地討論了同位素偏移因子隨著電子關(guān)聯(lián)的收斂過程.發(fā)現(xiàn)在大規(guī)模計(jì)算中,同位素偏移因子的收斂過程和躍遷能的收斂過程存在線性關(guān)系.進(jìn)一步,我們嘗試?yán)么司€性關(guān)系對(duì)之前的計(jì)算結(jié)果給出不確定度.

2 理論方法

2.1 MCDHF方法和RCI方法

多組態(tài)Dirac-Hartree-Fock方法,簡(jiǎn)稱MCDHF方法[8],用具有相同宇稱P、總角動(dòng)量J以及J的z方向的分量MJ的組態(tài)波函數(shù)Φ的線性組合表示原子態(tài)的波函數(shù)Ψ,即

式中ci是混合系數(shù),γi是描述組態(tài)波函數(shù)Φ所需其余量子數(shù)的統(tǒng)一標(biāo)記.組態(tài)波函數(shù)Φ又是單電子Dirac軌道波函數(shù)的乘積的線性組合.理論上,(1)式中組態(tài)波函數(shù)Φ的個(gè)數(shù)應(yīng)該是無數(shù)個(gè)時(shí)才能得到真實(shí)的原子態(tài)波函數(shù).但是,在實(shí)際計(jì)算中只能選取有限多個(gè)組態(tài)波函數(shù)Φ.因此,組態(tài)波函數(shù)Φ的個(gè)數(shù)以及選取條件就決定著對(duì)電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)的描述程度.在MCDHF方法中,基于變分原理,通過自洽場(chǎng)計(jì)算同時(shí)優(yōu)化混合系數(shù)和軌道波函數(shù)使原子態(tài)的能量達(dá)到最低.在得到單電子軌道基后,可以通過進(jìn)一步擴(kuò)大組態(tài)空間,利用相對(duì)論組態(tài)相互作用(RCI)的方法包含更多的電子關(guān)聯(lián),但此時(shí)單電子軌道波函數(shù)是固定的,只有混合系數(shù)可以被繼續(xù)優(yōu)化.另外,在低頻近似下的Breit相互作用也可以在RCI中被包括[9]:

2.2 同位素偏移

真實(shí)的原子核是由質(zhì)子和中子構(gòu)成的具有一定質(zhì)量M的有限量子體系,其核電荷分布由原子核電荷均方半徑描述.因?yàn)椴煌凰氐闹凶訑?shù)不同,所以不同同位素具有不同的質(zhì)量數(shù)和核電荷分布,從而導(dǎo)致原子譜線的偏移,這一偏移量被稱之為同位素偏移(IS).根據(jù)起因,將同位素偏移分為由于原子核的有限質(zhì)量引起的質(zhì)量偏移(MS)和由于原子核的有限體積引起的場(chǎng)偏移(FS)[10,11].對(duì)于質(zhì)量偏移部分,近似到α2(m/M)階,包含相對(duì)論的原子核核反沖效應(yīng)的質(zhì)量偏移的哈密頓量如(3)式,其單體算符和兩體算符分別對(duì)應(yīng)著正規(guī)質(zhì)量偏移(NMS)和特殊質(zhì)量偏移(SMS)[12?15],

在此基礎(chǔ)上,將正規(guī)質(zhì)量偏移因子KRNMS和特殊質(zhì)量偏移因子KRSMS定義為[16]:

對(duì)于一個(gè)躍遷而言,同位素A和A′之間的質(zhì)量偏移因子ΔKRMS為躍遷中上(u)下(l)能級(jí)之間質(zhì)量偏移因子差值[17],即

3 計(jì)算模型

物理量的計(jì)算精度主要取決于對(duì)電子關(guān)聯(lián)的描述程度.在多組態(tài)Dirac-Hartree-Fock理論框架下,我們采用活動(dòng)空間方法捕獲電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),因此,組態(tài)空間的構(gòu)建是計(jì)算的關(guān)鍵所在.在本文的計(jì)算中,組態(tài)空間是由從參考組態(tài)的單雙激發(fā)所產(chǎn)生的組態(tài)構(gòu)成.在表1和表2中給出了各個(gè)模型的參考組態(tài)的基組.為了系統(tǒng)地描述電子關(guān)聯(lián),根據(jù)微擾理論將電子關(guān)聯(lián)劃分為一階關(guān)聯(lián)和高階關(guān)聯(lián),其中一階電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)用從單參考組態(tài)單雙激形成的組態(tài)空間描述.將1s,2s,2p軌道看作原子芯軌道(C),3s和3p軌道看作價(jià)軌道(V),相應(yīng)地,一階電子關(guān)聯(lián)可以劃分為價(jià)電子之間的關(guān)聯(lián)(VV關(guān)聯(lián)),價(jià)電子與原子芯電子之間的關(guān)聯(lián)(CV關(guān)聯(lián)),以及原子芯電子之間的關(guān)聯(lián)(CC關(guān)聯(lián)).待一階關(guān)聯(lián)描述充分后,將一階關(guān)聯(lián)組態(tài)空間中權(quán)重較大的組態(tài)加入?yún)⒖冀M態(tài)基組,用從多參考組態(tài)基組的單雙激發(fā)形成的組態(tài)空間描述高階電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).因?yàn)閺亩鄥⒖冀M態(tài)的單、雙激發(fā)就相當(dāng)于從單參考組態(tài)的限制性的三、四激發(fā),而且我們選擇的是權(quán)重較大的組態(tài)加入?yún)⒖冀M態(tài)基組,實(shí)質(zhì)是優(yōu)先考慮了較重要的高階電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),所以在有限的計(jì)算資源下大大提高了計(jì)算效率.另外,為了更真實(shí)地反映各個(gè)能級(jí)的波函數(shù),計(jì)算中對(duì)奇偶宇稱的波函數(shù)分別進(jìn)行優(yōu)化.詳細(xì)的計(jì)算模型在之前的工作[18]中已經(jīng)介紹過,下面僅做簡(jiǎn)要說明.

首先,在自洽場(chǎng)計(jì)算中同時(shí)包含了VV和CV關(guān)聯(lián).這里的組態(tài)空間是由從單參考組態(tài)(即3s2和3s3p分別作為奇偶宇稱的參考組態(tài))限制性的單雙激發(fā)到由關(guān)聯(lián)軌道(虛軌道)構(gòu)成的活動(dòng)空間產(chǎn)生組態(tài)形成,其中對(duì)單雙激發(fā)的限制條件為:原子芯軌道上至多有一個(gè)電子能被激發(fā)到關(guān)聯(lián)軌道.自洽場(chǎng)計(jì)算的起點(diǎn)是用Dirac-Hartree-Fock方法優(yōu)化光譜軌道(占據(jù)軌道),并在隨后的計(jì)算中保持固定.為了同位素偏移因子能夠穩(wěn)定收斂,如表1和表2中所示，關(guān)聯(lián)軌道是逐層加入的,而且每次只優(yōu)化最新加入的軌道.在前期的測(cè)試計(jì)算中,我們發(fā)現(xiàn)部分高角動(dòng)量的關(guān)聯(lián)軌道,如7i,7h,8g等軌道,對(duì)同位素偏移因子的影響很小,因此為了提高計(jì)算效率，這些軌道不包含在活動(dòng)空間中.我們把上述計(jì)算模型被標(biāo)記為C1sV-nl,其中n和l分別代表最新加入的關(guān)聯(lián)軌道的最大主量子數(shù)和軌道角量子數(shù).

當(dāng)自洽場(chǎng)計(jì)算的結(jié)果收斂之后,將單電子軌道波函數(shù)固定,通過進(jìn)一步擴(kuò)大組態(tài)空間在RCI計(jì)算中包括剩余的電子關(guān)聯(lián)效應(yīng).首先在RCI計(jì)算中包括的是2s和2p軌道的電子關(guān)聯(lián).此時(shí)組態(tài)空間中被加入的是從單參考組態(tài)中2s,2p軌道上雙激發(fā)到最大活動(dòng)空間所形成的組態(tài).相應(yīng)地,此時(shí)的計(jì)算模型用CC2s標(biāo)記.至此,Al+離子中除CC1s關(guān)聯(lián)外的一階電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)均已被包括.隨后,逐步把一階關(guān)聯(lián)中權(quán)重大于0.05,0.02,0.01的組態(tài)加入?yún)⒖冀M態(tài)基組再次逐步擴(kuò)大組態(tài)空間,從而包擴(kuò)了2s,2p軌道和3s,3p軌道之間的高階關(guān)聯(lián)效應(yīng).將這部分計(jì)算模型依次標(biāo)記為MR1,MR2,MR3.在MR1模型中,{2s22p63s2;2s22p63p2}和{2s22p63s3p;2s22p63p3d}分別作為奇偶宇稱的參考組態(tài).這里的關(guān)聯(lián)軌道仍然是逐層添加,直至該模型下的計(jì)算結(jié)果達(dá)到收斂.待MR1模型下的計(jì)算結(jié)果收斂后,將{2s22p43s24p2;2s22p43s23d2;2s22p53s3p3d}和{2s22p63s5p;2s22p63s4p;2s22p63d5p}分別加入奇偶宇稱的參考組態(tài)基組中,構(gòu)成MR2模型中的參考組態(tài)基組. 同理,MR2模型下的計(jì)算結(jié)果收斂后,將{2s22p43s23p4p;2s22p43s23d4d;2s2p53s24s4p;2s22p43s24p5p}和{2s22p43s3p4p2;2s22p43s3p4d2}加入?yún)⒖冀M態(tài)基組,即MR3.最后,用RCI計(jì)算評(píng)估了Breit作用對(duì)Al+離子的同位素偏移因子的貢獻(xiàn),并將其作為計(jì)算結(jié)果的不確定度的一部分.本文計(jì)算用Grasp2K程序包[19?21]完成.

圖1 Al+離子3s3p3,1P→3s21S0躍遷的躍遷能(單位:cm?1)隨電子關(guān)聯(lián)的變化Fig.1. Transition energies(in cm?1)of the 3s3p 3,1P→3s21S0transitions in Al+ion as a function of the computational models.

為了反映計(jì)算得到的原子態(tài)波函數(shù)的品質(zhì),在表1和表2中給出了各個(gè)模型下組態(tài)波函數(shù)的個(gè)數(shù)(NCSF)以及能量本征值(單位:cm?1).同時(shí)在圖1中展示了本文所涉及的兩個(gè)躍遷的躍遷能(單位:cm?1)隨電子關(guān)聯(lián)的變化.從表1和表2中三個(gè)能級(jí)的能量本征值隨組態(tài)空間的收斂可以看出,最后一步得到的能量本征值最

低,因此,此時(shí)得到的原子態(tài)波函數(shù)與真實(shí)情況最接近.但在圖1中最后計(jì)算的的躍遷能與虛線標(biāo)注的NIST[22]推薦值相比并不是最好的,其誤差為1.35%.這是由于初末態(tài)能級(jí)的關(guān)聯(lián)效應(yīng)存在細(xì)微的不平衡,這些誤差需要用更大規(guī)模的計(jì)算來改進(jìn),但這已經(jīng)超出了我們目前的計(jì)算資源.通過系統(tǒng)地考慮電子關(guān)聯(lián)效應(yīng),可以準(zhǔn)確地給出物理量的誤差范圍,并呈現(xiàn)在表3中.

表1 各個(gè)計(jì)算模型下3s21S0態(tài)的參考組態(tài)基組,活動(dòng)軌道(AO),組態(tài)波函數(shù)的個(gè)數(shù)(NCSF)以及能量本征值(單位:cm?1)Table 1. The reference configurations,the active orbitals(AO),the number of CSFs(NCSF)and the energy(in cm?1)for the 3s21S0state in various correlation models.

表2 各個(gè)計(jì)算模型下3s3p3,1P態(tài)的參考組態(tài)基組,活動(dòng)軌道(AO),組態(tài)波函數(shù)的個(gè)數(shù)(NCSF)以及能量本征值(單位:cm?1)Table 2.The reference configurations,the active orbitals(AO),the number of CSFs(NCSF),and the energy(in cm?1)for the 3s3p3,1Pstates in various correlation models.

表2 各個(gè)計(jì)算模型下3s3p3,1P態(tài)的參考組態(tài)基組,活動(dòng)軌道(AO),組態(tài)波函數(shù)的個(gè)數(shù)(NCSF)以及能量本征值(單位:cm?1)Table 2.The reference configurations,the active orbitals(AO),the number of CSFs(NCSF),and the energy(in cm?1)for the 3s3p3,1Pstates in various correlation models.

Energy/cm?12 ?53111869 ?53079345 CV1s-4f 4s,4p,3d,4f 600 ?53114653 ?53089871 CV1s-5g 5s,5p,4d,5f,5g 2326 ?53117018 ?53094133 CV1s-6h 6s,6p,5d,6f,6g,6h 5573 ?53117958 ?53095104 CV1s-7g 7s,7p,6d,7f,7g,6h 9860 ?53118256 ?53095425 CV1s-8f 8s,8p,7d,8f,7g,6h 14292 ?53118331 ?53095553 CV1s-9f 9s,9p,8d,9f,7g,6h 19594 ?53118377 ?53095619 CV1s-10f 10s,10p,9d,10f,7g,6h 25766 ?53118399 ?53095643 CV1s-11d 11s,11p,10d,10f,7g,6h 30696 ?53118405 ?53095660 CV1s-12d 12s,12p,11d,10f,7g,6h 36146 ?53118411 ?53095667 CV1s-13d 13s,13p,12d,10f,7g,6h 42116 ?53118413 ?53095670 CC2s 13s,13p,12d,10f,7g,6h 223468 ?53188733 ?53163561 MR1 +{2s22p63p3d} 8s,8p,8d,8f,7g,6h 352702 ?53189063 ?53165717 MR2 +{2s22p63s5p; 5s,7p,5d,5f,5g 400690 ?53189141 ?53165917 2s22p63s3p;2s22p63d5p}MR3 +{2s22p43s3p4p2; 4s,6p,5d,4f 1327012 ?53189741 ?53166574 2s22p43s3p4d2}DF {2s22p63s3p}

4 結(jié)果與討論

4.1 單個(gè)能級(jí)的收斂

圖2 3s2(1S0)和3s3p(1,3Po1)的質(zhì)量偏移因子(KRNMS和KRSMS(單位:GHz·u))與能量本征值E(單位:cm?1)隨電子關(guān)聯(lián)的收斂Fig.2.The convergency of the NMS and SMS factor(in GHz·u)of the states 3s2(1S0)and 3s3p(1,3P)versus the eigenvalue energy(in cm?1).

首先研究了3s21S0和3s3p1,3Po1能級(jí)的同位素偏移因子和能量本征值隨電子關(guān)聯(lián)的收斂過程.圖2給出了上述能級(jí)的正規(guī)質(zhì)量偏移因子KRNMS(左)、特殊質(zhì)量偏移因子KRSMS(右)和能量本征值的收斂過程.圖中的δK=|K(a)?K(b)|,δE=|E(a)?E(b)|,其中a代表每一步計(jì)算模型,b代表最后一步計(jì)算模型,即MR3.圖中實(shí)心方點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是在自洽場(chǎng)計(jì)算中物理量隨VV和CV關(guān)聯(lián)的收斂過程；空心方點(diǎn)對(duì)應(yīng)在RCI計(jì)算中隨CC2s關(guān)聯(lián)的收斂過程;空心三角則代表在RCI中隨高階關(guān)聯(lián)的收斂過程.對(duì)于能量本征值,我們的計(jì)算結(jié)果已收斂到0.001%,對(duì)于質(zhì)量偏移因子KRNMS和KRSMS則大約收斂到0.1%,這反映出同位素偏移因子對(duì)電子關(guān)聯(lián)的敏感性較高,對(duì)于能量本征值影響很小的電子關(guān)聯(lián),對(duì)同位素偏移的影響不一定可以忽略.另外,從圖中可以看出,在自洽場(chǎng)過程中與MR過程同位素偏移因子隨能量本征值的收斂斜率不同,這反映出在不同的計(jì)算模型下同位素偏移因子和能量本征值的收斂速度不同,但是隨著越來越多的關(guān)聯(lián)被包括后,能量本征值和同位素偏移因子的收斂速度趨于一致.

圖3 3s2(1S0)和3s3p(1,3P)的質(zhì)量偏移因子(KRNMS和KRSMS(單位:GHz·u))與能量本征值E(單位:cm?1)相鄰兩步的差值隨電子關(guān)聯(lián)的變化Fig.3.Convergency of the NMS and SMS factor(in GHz·u)of the states 3s2(1S0)and 3s3p(1,3P)versus the eigenvalue energy(in cm?1)with the adjacent steps.

圖3給出了3s21S0和各能級(jí)的正規(guī)質(zhì)量偏移因子KRNMS和特殊質(zhì)量偏移因子KRSMS在計(jì)算過程中每相鄰兩步計(jì)算結(jié)果的差值隨能量本征值每相鄰兩步的差值的變化.圖中的δK=|K(α)?K(β)|,δE=|E(α)?E(β)|,此時(shí)α代表每一步計(jì)算模型,β代表α之前一步的計(jì)算模型.與圖2的標(biāo)示方法相同,即實(shí)心方點(diǎn)部分對(duì)應(yīng)在自洽場(chǎng)計(jì)算中物理量隨VV和CV關(guān)聯(lián)的收斂過程,空心方點(diǎn)對(duì)應(yīng)在RCI計(jì)算中隨CC2s關(guān)聯(lián)的收斂過程,空心三角代表隨高階關(guān)聯(lián)的收斂過程.從圖3可以看出,對(duì)于單個(gè)能級(jí),其同位素偏移因子和能量本征值隨電子關(guān)聯(lián)的收斂性之間近似存在線性關(guān)系,這進(jìn)一步說明這兩種物理量在每一步收斂過程中都是相關(guān)的.當(dāng)電子關(guān)聯(lián)對(duì)能量本征值的影響減小時(shí)對(duì)同位素偏移因子的影響也相應(yīng)地減小.相比于自洽場(chǎng)計(jì)算部分,δK和δE之間線性關(guān)系在RCI計(jì)算中隨CC2s關(guān)聯(lián)的收斂過程中更明顯.類似的情況同樣出現(xiàn)在Liu等[7]對(duì)B+的研究中.在圖3中,物理量隨高階關(guān)聯(lián)的收斂過程中δK和δE之間線性關(guān)系不明顯,主要是由于我們的計(jì)算模型中所包含的高階關(guān)聯(lián)有限.在Liu等對(duì)B+的計(jì)算模型中直接采用了從單參考組態(tài)的三、四激發(fā)形成組態(tài)空間的方法描述高階關(guān)聯(lián),因此對(duì)高階關(guān)聯(lián)的描述很充分.但是受限于計(jì)算資源,我們的計(jì)算中僅包含了重要的高階關(guān)聯(lián),這導(dǎo)致得出的線性關(guān)系不及B+的明顯.

圖4 3s21S0→3s3p3,1P躍遷的質(zhì)量偏移因子(ΔKRNMS和ΔKRSMS(單位:GHz·u))與躍遷能ΔE(單位:cm?1)相鄰兩步的差值隨電子關(guān)聯(lián)的變化Fig.4.Convergency of the NMS and SMS factor(in GHz·u)of the transitions 3s21S0→ 3s3p3,1Pversus the transition energy(in cm?1)with the adjacent steps.

4.2 躍遷的收斂

圖4給出了3s21S0→3s3p3,1P兩個(gè)躍遷的同位素質(zhì)量偏移因子ΔKRNMS和ΔKRSMS每相鄰兩步的差值隨躍遷能ΔE的每相鄰兩步差值的變化規(guī)律.對(duì)于躍遷而言,其同位素偏移因子和躍遷能都是該躍遷初末態(tài)的相應(yīng)物理量的差值,由于初末態(tài)之間存在相互抵消作用,因此相比于單個(gè)能級(jí),躍遷所對(duì)應(yīng)的收斂過程中的線性關(guān)系較差.另外,由于在我們的計(jì)算中對(duì)奇偶宇稱的波函數(shù)是分別優(yōu)化的,不可避免地造成對(duì)初末態(tài)收斂的不平衡,這種不平衡會(huì)破壞躍遷同位素偏移因子和躍遷能之間的線性關(guān)系.從圖4中可以看出,在大規(guī)模的計(jì)算中,躍遷能與同位素偏移因子之間確實(shí)存在線性關(guān)系,相比于自洽場(chǎng)計(jì)算和CC2s關(guān)聯(lián)部分的收斂過程,高階關(guān)聯(lián)部分的收斂過程中的線性關(guān)系更明顯.對(duì)于正規(guī)質(zhì)量偏移因子KNMS在非相對(duì)論框架下有標(biāo)度關(guān)系,ΔKNMS=?ν/1823,其中ν是躍遷頻率[23].對(duì)于Al+離子我們的計(jì)算結(jié)果表明相對(duì)論的原子核反沖效應(yīng)對(duì)質(zhì)量偏移因子的影響不超過4%,因此在正規(guī)質(zhì)量偏移因子與躍遷能隨電子關(guān)聯(lián)的收斂速度基本一致的情況下,也就是電子關(guān)聯(lián)描述較充分的情況下,正規(guī)質(zhì)量偏移因子與躍遷能的收斂過程呈現(xiàn)線性關(guān)系并不意外.對(duì)于特殊質(zhì)量偏移因子,單從其算符形式很難看出線性關(guān)系的存在,但它本質(zhì)上是與電子的動(dòng)能相關(guān)的,因此推測(cè)可能存在線性關(guān)系,并通過大規(guī)模數(shù)值計(jì)算予以驗(yàn)證.

4.3 不確定度評(píng)估

表3中給出了用兩種評(píng)估方法得到的同位素偏移因子的不確定度.一種是通過評(píng)估電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)和Breit作用所得結(jié)果,一種是用圖4中高階關(guān)聯(lián)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值點(diǎn)線性擬合得到的直線結(jié)合我們計(jì)算的躍遷能與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差所得的不確定度.在本文的計(jì)算模型下,兩種方法所得不確定度差距較大,其原因主要由于在我們的計(jì)算中對(duì)高階關(guān)聯(lián)的捕獲有限,因此高階關(guān)聯(lián)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值個(gè)數(shù)有限導(dǎo)致圖4中線性關(guān)系的擬合誤差較大.但是,在計(jì)算資源更優(yōu)越的條件下,我們可以對(duì)高階關(guān)聯(lián)的描述程度更充分,從而得到的線性關(guān)系也會(huì)更準(zhǔn)確,相應(yīng)地,用該線性關(guān)系評(píng)估得到的不確定度也更為可靠.

表3 兩種不確定度評(píng)估方式下所得結(jié)果對(duì)比,line代表用本文線性關(guān)系所得結(jié)果,correlation代表之前工作中通過評(píng)估各個(gè)電子關(guān)聯(lián)效應(yīng)貢獻(xiàn)所得結(jié)果Table 3.Comparing of the uncertainties which are evaluated by the different method,the “l(fā)ine”means the results evaluated using the linearity in this work,the“correlation”means the uncertainties in our previous work.

5 結(jié) 論

通過研究Al+中3s21S0→3s3p3,1P躍遷的同位素偏移因子和躍遷能隨電子關(guān)聯(lián)的收斂性,發(fā)現(xiàn)在Al+體系中同位素偏移因子和躍遷能隨電子關(guān)聯(lián)的收斂性之間確實(shí)存在線性關(guān)系.而且通過這一線性關(guān)系可以根據(jù)理論計(jì)算的躍遷能和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的符合程度實(shí)現(xiàn)對(duì)同位素偏移因子的理論計(jì)算結(jié)果的不確定度予以評(píng)估.由于計(jì)算資源有限,在本文的計(jì)算模型下用兩種方法評(píng)估所得的不確定度相差較大,而該偏差可以通過在計(jì)算模型中包含更充分的高階關(guān)聯(lián)的方法來減小.對(duì)于暫時(shí)沒有同位素偏移實(shí)驗(yàn)結(jié)果的多電子體系,上述線性關(guān)系提供了一種有效評(píng)估不確定度的方法.鑒于同位素偏移因子與能量本征值或躍遷能的收斂性之間的線性關(guān)系已經(jīng)在多個(gè)體系中被發(fā)現(xiàn),我們猜測(cè)這種線性關(guān)系并非偶然,但是需要在更多體系中予以驗(yàn)證.

[1]Campbell P,Moore I D,Pearson M R 2016Prog.Part.Nucl.Phys.86 127

[2]Cheal B,Cocolios T E,Fritzsche S 2012Phys.Rev.A86 042501

[3]Carette T,Godefroid M R 2011Phys.Rev.A83 062505

[4]Carette T,Godefroid M R 2010Phys.Rev.A81 042522

[5]Carette T,Godefroid M R 2013J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.46 095003

[6]Carette T,Godefroid M R 2016arXiv:1602.06574.

[7]Liu J P,Li J G,Zou H X 2017Chin.Phys.B26 23104

[8]Grant I P 2007Relstivistic Quantum Theory of Atom and Molecules(New York:Spinger)

[9]Li J G,J?nsson P,Godefroid M R,Dong C Z,Gaigalas G 2012Phys.Rev.A86 052523

[10]Tupitsyn I I,Shabaev V M,Crespo López-Urrutia J R,Dragani? I,Soria Orts R,Ullrich J 2003Phys.Rev.A68 022511

[11]Filippin L,Beerwerth R,Ekman J,Fritzsche S,Godefroid M R,J?nsson P 2016Phys.Rev.A94 062508

[12]Palmer C W P 1987J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.20 5987

[13]Torbohm G,Fricke B,Rosén A 1985Phys.Rev.A31 2038

[14]Filippin L,Godefroid M R,Ekman J,J?nsson P 2016Phys.Rev.A93 062512

[15]Filippin L,Bieroń J,Gaigalas G,Godefroid M R,J?nsson P 2017Phys.Rev.A96 042502

[16]Gaidamauskas E,Nazé C,Rynkun P,Gaigalas G,J?nsson P,Gaigalas G 2011J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.44 175003

[17]Li J G,Godefroid M R,Wang J G 2016J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.49 115002

[18]Zhang T X,Xie L Y,Li J G,Lu Z H 2017Phys.Rev.A96 012514

[19]J?nsson P,He X,Fischer C F,Grant I 2007Comput.Phys.Commun.177 597

[20]J?nsson P,Gaigalas G,Bierón J,Fischer C F,Grant I 2013Comput.Phys.Commun.184 2197

[21]Nazé C,Gaidamauskas E,Gaigalas G,Godefroid M R,J?nsson P 2013Comput.Phys.Commun.184 2187

[22]Kramida A,Ralchenko Y,Reader J 2016NIST Atomic SpectraDatabase(Version 5)https://www.nist.gov/pml/atomic-spectra-database

[23]Godefroid M R,Fischer C F,J?nsson P 2001J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.34 1079