由二次函數(shù)拋物線(xiàn)引發(fā)的思考

張立剛 段曉曉

一、拋物線(xiàn)天下一家

解析幾何中，方程y2=2px的圖形稱(chēng)拋物線(xiàn)；函數(shù)中，二次函數(shù)y=ax2的圖象也稱(chēng)拋物線(xiàn).于是發(fā)問(wèn)：這兩種拋物線(xiàn)是一家人嗎？

【例1】二次函數(shù)y=14x2+1的圖象如下：

試探索，平面上是否存在這樣的定直線(xiàn)l和定點(diǎn)F，使得圖象上任何一點(diǎn)P（x，y），到F的距離與到l的距離相等？

【解答】（配方法）由等式y(tǒng)=14x2+1兩邊乘以4并移項(xiàng)：x2-4y+4=0，

兩邊同時(shí)加上y2，得x2+（y-2）2=y2，

兩邊開(kāi)平方，同取算術(shù)根，得14x2=|y| （※）

用距離公式看待式子（※），此式表明：拋物線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（0，2）的距離與到定直線(xiàn)y=0的距離相等.

【說(shuō)明】二次函數(shù)y=14x2+1的圖象可視為：到定點(diǎn)（0，2）與定直線(xiàn)y=0的點(diǎn)的軌跡（集合）.看來(lái)，二次函數(shù)的圖象與二次方程y2=2px的圖形是同一家人.

【另解】（標(biāo)準(zhǔn)方程法）由y=14x2+1得x2=4（y-4），

它是拋物線(xiàn)x′ 2=4y′ 2上移1個(gè)單位的結(jié)果，后者的焦點(diǎn)數(shù)P=2，焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)l′ 為y=-1.

上移1個(gè)單位后， 的焦點(diǎn)為F（0，2），準(zhǔn)線(xiàn)為y=0.

【說(shuō)明】二次函數(shù)的圖象只是拋物線(xiàn)圖形的一種特殊形式（開(kāi)口向上或向下），它統(tǒng)一于拋物線(xiàn)的共性之中：到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和定直線(xiàn)（準(zhǔn)線(xiàn)）距離相等的點(diǎn)的軌跡（集合）.

二、拋物線(xiàn)全族相似

拋物線(xiàn)y2=2x有些特殊，焦參數(shù)——焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離P=1，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)距離為P2=12，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離也是P2=12.

像單位圓一樣，有人稱(chēng)這種拋物線(xiàn)為“單位拋物線(xiàn)”，

當(dāng)x=P2=12時(shí)，得拋物線(xiàn)的垂直焦半徑|FP|=|y|=1.

垂直焦半徑端點(diǎn)P到頂點(diǎn)O的距離為|OP|=62，它是拋物線(xiàn)的一條特殊的頂點(diǎn)弦.

有了這些，我們可以研究拋物線(xiàn)族y2=2px與單位拋物線(xiàn)y2=2x的關(guān)系.

從作圖可知，拋物線(xiàn)y2=4x由拋物線(xiàn)y2=2x放縮而得，或者說(shuō)它們相似，相似比λ=OTOQ=P=2.

不難發(fā)現(xiàn)，拋物線(xiàn)族y2=2px中每條拋物線(xiàn)都與單位拋物線(xiàn)y2=2x相似，相似比為λ=P1=P，相似中心是頂點(diǎn)O.

三、通徑拋物線(xiàn)最短的焦徑

連結(jié)拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的線(xiàn)段稱(chēng)作拋物線(xiàn)的弦，過(guò)焦點(diǎn)的弦稱(chēng)作拋物線(xiàn)的焦徑.

和圓不一樣，圓的直徑長(zhǎng)是個(gè)常數(shù)，而拋物線(xiàn)的焦徑則是個(gè)變數(shù).

直觀(guān)地，拋物線(xiàn)的焦徑可以增到無(wú)窮大，因此，拋物線(xiàn)的焦徑無(wú)最大值.那么，拋物線(xiàn)的焦徑有最小值嗎？

【例3】設(shè)拋物線(xiàn)x2=2py的焦點(diǎn)為F（0，P2），P1P2是拋物線(xiàn)的一條焦徑，求|P1P2|的取值范圍.

【解答】（解析法）設(shè)P1P2的點(diǎn)斜式方程為y-P2=kx，

聯(lián)立 ，x2=2py

y-P2=kx

得x2-2pkx-p2=0→x1+x2=2pk，x1x2=-p2，

|P1P2|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2

=1+k2·（2pk）2+4p2

=（1+k2）·2p≥2p.

等號(hào)成立條件是k=0.

|P1P2|的最小值為2p，值域?yàn)閇2p，+∞）.

【說(shuō)明】當(dāng)k=0時(shí)，焦徑P1P2垂直于y軸，成為拋物線(xiàn)的通徑，因此，通徑是拋物線(xiàn)最短焦徑.

四、焦半徑誰(shuí)的增函數(shù)

連結(jié)拋物線(xiàn)（y2=2px）上一點(diǎn)和焦點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)拋物線(xiàn)的焦半徑.注意，焦半徑不一定是焦徑的一半，除非焦徑是通徑.

直觀(guān)地，焦半徑的長(zhǎng)度可以增向無(wú)窮大，因此無(wú)最大值.那么，拋物線(xiàn)的焦半徑應(yīng)該有最小值.這個(gè)最小值是通徑的一半嗎？

【例4】探求拋物線(xiàn)y2=2px焦半徑的取值范圍.

【解答】設(shè)焦半徑的端點(diǎn)為P（x，y），則有|PF|=（x-p2）2+y2

利用y2=2px消去y，得|PF|=（x-p2）2+2px=（x+p2）2=p2+x .

當(dāng)x→∞，|PF|→∞；當(dāng)x=0時(shí)，得|PF|的最小值為p2.

故y2=2px焦半徑的取值范圍為[p2，0）.

【說(shuō)明】拋物線(xiàn)y2=2px的焦半徑公式r焦=p2+x，表明焦半徑是橫坐標(biāo)x 的一次函數(shù)，且在[0，+∞）上遞增.

特別地，x=p2時(shí)，|PF|=p2+p2=p，即拋物線(xiàn)y2=2px的通半徑長(zhǎng)為p.

x=0時(shí)，焦半徑得到最小值p2.

注意，在拋物線(xiàn)y2=-2px中，焦半徑是x 的減函數(shù)：r 焦=p2-x.

同理，在x2=2py中，焦半徑是y 的增函數(shù)：r 焦=p2+y；在x2=-2py中，焦半徑是y的減函數(shù)：r 焦=p2-y.

（作者單位：山東省淄博第七中學(xué)）