如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題的研究

黃清鵬

【內(nèi)容摘要】導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)和解決方法的掌握，不僅是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分，在高考中也是作為考試的考查重點(diǎn)。含參函數(shù)問題主要是以函數(shù)為載體，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具來解決這一類問題，這是一種方法，主要是考查函數(shù)性質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生深入研究和分析導(dǎo)數(shù)和更好地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)。因此，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題，必須把握好最近幾年函數(shù)命題的規(guī)律，深入了解和分析導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，結(jié)合試題特點(diǎn)和命題趨向的同時(shí)，要充分運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決含參函數(shù)問題。要把握好導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)來求出含參數(shù)函數(shù)問題中參數(shù)的取值范圍，這種求存在性問題是常考的范圍，也是常規(guī)的解題思路，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化將復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行簡單轉(zhuǎn)化，有利于將學(xué)生不熟悉、復(fù)雜的問題簡單化，進(jìn)而變?yōu)樗麄兪煜?、?guī)范和簡單的含參函數(shù)問題。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題，對(duì)提高學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)認(rèn)識(shí)和創(chuàng)新方法與思路去解決含參函數(shù)問題具有極強(qiáng)的指導(dǎo)意義。

【關(guān)鍵詞】含參函數(shù)問題導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)

歷年高考試題中常常出現(xiàn)含參函數(shù)問題，這考察的不僅是學(xué)生對(duì)含參函數(shù)問題的解決能力，也是學(xué)生解題思路的一種培養(yǎng)。常用的解題方法就是導(dǎo)數(shù)求解法。實(shí)際上，學(xué)生對(duì)這類含參函數(shù)問題比較頭疼和恐懼，因?yàn)榇祟悊栴}涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容多、面廣，具有極強(qiáng)的綜合性。學(xué)生面對(duì)這類問題時(shí)，不知道如何確定參數(shù)范圍，也不知道所包括的函數(shù)關(guān)系或不等關(guān)系是怎么來的。含參函數(shù)問題以函數(shù)為載體，對(duì)學(xué)生函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考察要求較為嚴(yán)格，也是近些年高考數(shù)學(xué)命題的趨向。實(shí)際上，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參數(shù)函數(shù)問題，求參數(shù)取值范圍，作為探索性問題對(duì)于數(shù)學(xué)解題來說非常常見，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化來把握住數(shù)學(xué)思想，就可以將這些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成為學(xué)生熟悉的、規(guī)范的和簡單的問題。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題，就是基于不等式的結(jié)構(gòu)特征，把握好含參數(shù)不等式的存在性，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，來探討含參函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)就可以求出范圍。

一、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題的相關(guān)分析

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題，對(duì)于學(xué)生來說既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)它作為高考的熱點(diǎn)又不得不進(jìn)行學(xué)習(xí)。這類問題的解決引起了師生廣泛的關(guān)注，主要是用來考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用能力，判斷學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等思想的掌握程度和理解能力。在一定程度上，這不僅是新課程理念的要求，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際應(yīng)用的重要途徑，要充分把握含參函數(shù)問題的復(fù)雜性，有針對(duì)性地解決才可以。

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題，要構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)，把握好教學(xué)重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)思路。學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題，就必須掌握“利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的方法，深入研究和理解這個(gè)過程中極值、最值之間的區(qū)別與聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想在問題中的滲透，在問題解決中培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力，促進(jìn)學(xué)生形成化歸意識(shí)，著力通過此類問題激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性潛能，深入學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性與數(shù)形結(jié)合的一系列問題，并增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)簡約美的體驗(yàn)和感受，在極值、最值中不斷探索，激發(fā)學(xué)生“學(xué)好數(shù)學(xué)”的興趣和信心。

對(duì)于“含參函數(shù)”問題來說，主要思路包括以下集中：

1、“已知函數(shù)的切線，利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)的值”；

2、“已知函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)范圍”；

3、“已知函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)范圍”；

4、“已知函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求出參數(shù)范圍”；

5、“利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)中的恒成立問題”。

本文將選擇幾種進(jìn)行案例演示，充分闡述運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題的思路。

二、 已知函數(shù)切線求參數(shù)值問題

對(duì)于已知函數(shù)切線求參數(shù)值這一類問題，學(xué)生要把握好導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要想方設(shè)法簡化原問題，促進(jìn)復(fù)雜問題簡單化，將這類問題變?yōu)閷W(xué)生自己熟悉的問題，再進(jìn)一步求解算出參數(shù)值。 但是，我們都知道數(shù)學(xué)深?yuàn)W，具有極強(qiáng)的復(fù)雜性，同一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以以千變?nèi)f化的形式出現(xiàn)，形式多樣的參數(shù)問題同樣有千變?nèi)f化和靈活多變的方法來解決，對(duì)于這類技巧性較強(qiáng)的問題學(xué)生必須學(xué)會(huì)以不變應(yīng)萬變。拿到題目不要急于解題，而是深入研究和分析題目想考察的內(nèi)容，確定好研究思路，把握好題目的具體題設(shè)條件和不等式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)從多個(gè)角度、方向?qū)@類問題進(jìn)行分析探討，才能選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，從而快速?zhǔn)確地解答這類問題。數(shù)學(xué)解題中各種方法又是相互融合的，具有一定的關(guān)系，要摸清楚參數(shù)問題的考察內(nèi)容，掌握基本題型，綜合運(yùn)用各種解題方法，對(duì)學(xué)生問題分析和解決能力的培養(yǎng)也具有積極的作用。

例1. （2016湖北高考模擬卷試卷）已知函數(shù)f（x）=x3+ax+b的圖象是曲線C，直線y=kx+1與曲線C相切于點(diǎn)（1，3）.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；

（3）求函數(shù)F（x）=f（x）-2x-3在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值.

解答：（1） ∵切點(diǎn)為（1，3），∴k+1=3，得k=2.∵f′（x）=3x2+a，∴f′（1）=3+a=2，得a=-1.則f（x）=x3-x+b.由f（1）=3得b=3.∴f（x）=x3-x+3.

（2） 由f（x）=x3-x+3得f′（x）=3x2-1，令f′（x）=3x2-1>0，

解得x<-33或x>33

∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-33），（33，+∞）.

（3） F（x）=x3-3x，F(xiàn)′（x）=3x2-3令F′（x）=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1.列出x，F(xiàn)′（x），根據(jù)F（x）關(guān)系

∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，F(xiàn)（x）的最大值為2，最小值為-2.

這是我們已經(jīng)知道了函數(shù)切線方程，相應(yīng)地我們就知道切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)方法，主要是需要求出切點(diǎn)坐標(biāo)，或者是利用導(dǎo)數(shù)方法求出曲線中的未知參數(shù)，把握曲線其他性質(zhì)的同時(shí)，就可以列出方程，進(jìn)一步求得切點(diǎn)坐標(biāo)和參數(shù)的值。

三、 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題

在數(shù)學(xué)中已知等式恒成立來求相關(guān)的參數(shù)，這一類問題非常常見，廣泛出現(xiàn)于高中各類考試中，也深受高考命題專家“青睞”。我們?cè)诮獯疬@類問題的過程中，要學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)對(duì)其巧妙求解，這也需要學(xué)生具有較高的導(dǎo)數(shù)思維和應(yīng)用意識(shí)。

結(jié)束語

實(shí)際上，利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)問題，主要思路是萬變不離其宗的，但是數(shù)學(xué)博大精深，同樣一個(gè)問題可以以千變?nèi)f化的形式出現(xiàn)，但是只要掌握基本的方法和思路，就可以靈活多變的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決這一類問題。還需要把握好一個(gè)基本原則，就是將復(fù)雜的、我們不熟悉的含參函數(shù)問題簡單化，通過一定的思路變成我們熟悉的、常見的和簡單的問題，無論是哪種形式出現(xiàn)，我們都可以快速解答求出答案。

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（作者單位：福建省南安市新僑中學(xué)）