基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程產(chǎn)生四光子超糾纏態(tài)?

何英秋 丁東 彭濤 閆鳳利 高亭

1)(承德醫(yī)學(xué)院生物醫(yī)學(xué)工程系,承德 067000)

2)(華北科技學(xué)院理學(xué)院,北京 101601)

3)(河北師范大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院,石家莊 050024)

4)(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,石家莊 050024)

1 引言

在光量子信息處理中,量子比特對應(yīng)的實際物理系統(tǒng)是由光子構(gòu)成的光學(xué)系統(tǒng)[1,2],其中最簡單、最重要的糾纏資源是成對的糾纏光子.作為一種非線性光學(xué)過程,自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換是指一束短脈沖紫外光子入射到非線性晶體BBO(β-barium-borate)上產(chǎn)生兩個糾纏光子的現(xiàn)象[3?5],對應(yīng)的這兩個光子分別稱為信號光子和休閑光子.自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程分為兩類,在第一類中產(chǎn)生的信號光子和休閑光子的偏振方向相同,在第二類中產(chǎn)生的信號光子和休閑光子的偏振方向相互垂直.這里,以第二類自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程為例,其相互作用過程中的哈密頓量為[6,7]

對于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源,除了應(yīng)用一階激發(fā)過程產(chǎn)生成對的糾纏光子外,其高階激發(fā)同樣具有重要的研究意義.一般地,自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源高階激發(fā)過程[11?16]對應(yīng)產(chǎn)生的多光子糾纏態(tài)可表示為

其中,|n?m〉aH表示在空間模a中有n?m個H偏振光子,其他項具有類似的意義;τ=κt/?是相互作用參數(shù),t是相互作用時間.值得注意的是這里的態(tài)表示的是n對不可區(qū)分的光子態(tài),不同于n對相互獨立的光子對.

一般地,光子可以在偏振、空間和頻率等自由度上糾纏.當(dāng)一個光學(xué)系統(tǒng)同時在兩個以上自由度上具有糾纏時,通常稱之為超糾纏態(tài)[17?22].相對于單一自由度上的糾纏態(tài)而言,超糾纏態(tài)是一種應(yīng)用更為廣泛的糾纏資源,比如可應(yīng)用于糾纏態(tài)分析[23?28]、糾纏純化和濃縮[29?35]、超并行量子計算[36?38]及超糾纏量子通信[39?42]等.本文研究基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程產(chǎn)生四光子超糾纏態(tài)方案.方案中,應(yīng)用線性光學(xué)器件設(shè)計可行的量子線路,演化參量下轉(zhuǎn)換源激發(fā)的四個不可區(qū)分的糾纏光子態(tài).最后,基于四光子符合探測,可制備一個同時包含偏振糾纏和空間糾纏的四光子超糾纏態(tài).

2 四光子超糾纏態(tài)的制備

這里研究基于二階自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程制備四光子超糾纏態(tài)方案.如圖1所示,考慮一個短脈沖紫外光通過BBO晶體,在空間模a1和b1(或空間模a2和b2)激發(fā)四個不可區(qū)分的糾纏光子,即態(tài)

其中,|0〉表示真空態(tài),i=1,2.圖1中,分束器的作用是當(dāng)一個光子通過分束器時其通過和被反射的概率各占50%;半波片的作用是演化光子的偏振狀態(tài)|H〉到|V〉,或演化狀態(tài)|V〉到|H〉;偏振分束器的作用是使水平偏振光通過而垂直偏振光被反射.

很明顯,二階自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換過程激發(fā)的四光子糾纏態(tài)可能處于空間模a1和b1,當(dāng)然也可能激發(fā)于空間模a2和b2.首先考慮四光子處于空間模a1和b1的情況.由空間模a1,b1到空間模C1,C2,D1和D4,經(jīng)過兩個分束器的作用,光子的演化過程滿足

圖1 四光子超糾纏態(tài)制備原理圖Fig.1.The schematic diagram of generating four-photon hyperentangled state.

于是,四光子糾纏態(tài)演化為

接著,空間模C1和C2中的光子經(jīng)偏振分束器干涉,滿足

此時,空間模D1,D2,D3和D4中的四光子糾纏態(tài)可表示為

隨后,光子經(jīng)過半波片和偏振分束器作用,即

從空間模Di到空間模ei,Ei,其中i=1,2,3,4,四光子糾纏態(tài)演化為

另一方面,考慮自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源激發(fā)的四光子處于空間模a2和b2的情況.同理,由于空間模a2和b2中兩個分束器和空間模c1,c2中偏振分束器的作用,最初激發(fā)的四光子糾纏態(tài)演化為

表1 四光子GHZ態(tài)的符合探測結(jié)果及其對應(yīng)的概率Table 1.The results of fourfold coincidence detections and the corresponding probabilities for the four-photon GHZ states.

接下來,經(jīng)過最后這組偏振分束器作用,空間模ei,Ei(i=1,2,3,4)中的四光子糾纏態(tài)演化為

這里,我們假定四個光子處于空間模a1和b1與空間模a2和b2這兩種激發(fā)狀態(tài)的概率相同、相對相位為零并且對光子的兩種激發(fā)狀態(tài)不進行區(qū)分.于是,可以通過選擇適當(dāng)?shù)乃哪９庾臃咸綔y投影四光子態(tài)到不同的子空間.考慮四個光子同時出現(xiàn)在不同空間模的情況,此時可以得到人們熟知的四光子GHZ態(tài).具體地,對應(yīng)于不同的符合探測結(jié)果,得到的四光子GHZ態(tài)及其對應(yīng)的概率如表1所列.根據(jù)表1中的結(jié)果,不難發(fā)現(xiàn)基于參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程得到偏振糾纏四光子GHZ態(tài)的總概率為1/2.

另一方面,如果選擇不區(qū)分空間模ei和Ei(i=1,2,3,4)的四模符合事件,即考慮空間模e1(或E1),e2(或E2),e3(或E3)和e4(或E4) 中有且僅有一個光子的情況,得到態(tài)

顯然,該四光子糾纏態(tài)既具有偏振糾纏又有空間糾纏,是超糾纏態(tài).由表1中的結(jié)果可知,獲得該超糾纏態(tài)的概率為1/24.

3 討 論

基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程,我們給出了一個四光子超糾纏態(tài)的制備方案.在基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源一階激發(fā)過程制備四光子超糾纏態(tài)方案[31]中,需要引入量子非破壞性測量[43?51]來區(qū)分參量下轉(zhuǎn)換源激發(fā)的兩對糾纏光子所處的狀態(tài).而對于僅包含二階激發(fā)過程的自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源而言,這里不需要區(qū)分四個糾纏光子所處的狀態(tài),因此當(dāng)前方案更具可行性.對于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源同時包含一階激發(fā)和二階激發(fā)過程的情況,因為用于演化四光子系統(tǒng)的量子線路及隨后的四光子符合探測選擇性地遺棄了一個空間模同時包含兩個處于相同偏振狀態(tài)的光子對應(yīng)的項,于是,這里得到的態(tài)與一階激發(fā)過程中的兩對糾纏光子激發(fā)于同一空間模的情況相同,所以本文的方案可以提高超糾纏態(tài)的制備效率.當(dāng)前實驗上,人們主要通過抑制參量下轉(zhuǎn)換源高階激發(fā)過程,以確保僅產(chǎn)生成對的糾纏光子并進一步實現(xiàn)多光子糾纏態(tài)的制備.而實際上,本文的研究表明,對于四光子超糾纏態(tài)的制備,自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程不必刻意抑制,而恰恰是可以靈活應(yīng)用的.同時,我們也注意到自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程的實驗觀測[12,13,15]、一階激發(fā)與二階激發(fā)間的參數(shù)控制[14]以及高階激發(fā)光子的區(qū)分[52]等.隨著人們對自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源高階激發(fā)過程的深入研究,相信其在多光子糾纏態(tài)的產(chǎn)生、制備及應(yīng)用等方面一定有其獨特的實際應(yīng)用價值.

4 結(jié) 論

基于自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源二階激發(fā)過程,提出了一個簡單可行的四光子超糾纏態(tài)制備方案.方案中,應(yīng)用分束器、半波片和偏振分束器等線性光學(xué)器件設(shè)計量子線路演化參量下轉(zhuǎn)換過程激發(fā)的四個不可區(qū)分光子.通過四模光子符合探測,四光子態(tài)可演化為同時具有偏振糾纏和空間糾纏的超糾纏態(tài).本方案的提出可為應(yīng)用自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換源高階激發(fā)過程提供新的思路和方法.

[1]Kok P,Munro W J,Nemoto K,Ralph T C,Dowling J P,Milburn G J 2007Rev.Mod.Phys.79 135

[2]Pan J W,Chen Z B,Lu C Y,Weinfurter H,Zeilinger A,?kowski M 2012Rev.Mod.Phys.84 777

[3]Burnham D C,Weinberg D L 1970Phys.Rev.Lett.25 84

[4]Kiess T E,Shih Y H,Sergienko A V,Alley C O 1993Phys.Rev.Lett.71 3893

[5]Kwiat P G,Mattle K,Weinfurter H,Zeilinger A 1995Phys.Rev.Lett.75 4337

[6]Kok P,Braunstein S L 2000Phys.Rev.A61 042304

[7]Simon C,Weihs G,Zeilinger A 2000Phys.Rev.Lett.84 2993

[8]Wieczorek W,Schmid C,Kiesel N,Pohlner R,Gühne O,Weinfurter H 2008Phys.Rev.Lett.101 010503

[9]Yao X C,Wang T X,Xu P,Lu H,Pan G S,Bao X H,Peng C Z,Lu C Y,Chen Y A,Pan J W 2012Nat.Photon.6 225

[10]Wang X L,Chen L K,Li W,Huang H L,Liu C,Chen C,Luo Y H,Su Z E,Wu D,Li Z D,Lu H,Hu Y,Jiang X,Peng C Z,Li L,Liu N L,Chen Y A,Lu C Y,Pan J W 2016Phys.Rev.Lett.117 210502

[11]Ou Z Y,Rhee J K,Wang L J 1999Phys.Rev.Lett.83 959

[12]Lamas-Linares A,Howell J,Bouwmeester D 2001Nature412 887

[13]Simon C,Bouwmeester D 2003Phys.Rev.Lett.91 053601

[14]de Riedmatten H,Scarani V,Marcikic I,Acín A,Tittel W,Zbinden H,Gisin N 2004J.Mod.Opt.51 1637

[15]Nagata T,Okamoto R,O’Brien J L,Sasaki K,Takeuchi S 2007Science316 726

[16]Ding D,HeY Q,Yan F L,Gao T 2017 arXiv:1705.00392 [quant-ph]

[17]Kwiat P G 1997J.Mod.Opt.44 2173

[18]Barreiro J T,Langford N K,Peters N A,Kwiat P G 2005Phys.Rev.Lett.95 260501

[19]Vallone G,Ceccarelli R,de Martini F,Mataloni P 2009Phys.Rev.A79 030301

[20]Du K,Qiao C F 2012J.Mod.Opt.59 611

[21]Ding D,He Y Q,Yan F L,Gao T 2015Acta Phys.Sin.64 160301(in Chinese)[丁東,何英秋,閆鳳利,高亭2015物理學(xué)報64 160301]

[22]Deng F G,Ren B C,Li X H 2017Sci.Bull.62 46

[23]Walborn S P,Pádua S,Monken C H 2003Phys.Rev.A68 042313

[24]Wei T C,Barreiro J T,Kwiat P G 2007Phys.Rev.A75 060305

[25]Sheng Y B,Deng F G,Long G L 2010Phys.Rev.A82 032318

[26]Ren B C,Wei H R,Hua M,Li T,Deng F G 2012Opt.Express20 24664

[27]Li X H,Ghose S 2016Phys.Rev.A93 022302

[28]Xia Y,Chen Q Q,Song J,Song H S 2012J.Opt.Soc.Am.B29 1029

[29]Sheng Y B,Deng F G 2010Phys.Rev.A81 032307

[30]Ren B C,Long G L 2014Opt.Express22 6547

[31]He Y Q,Ding D,Yan F L,Gao T 2015J.Phys.B:At.Mol.Opt.Phys.48 055501

[32]Ren B C,Du F F,Deng F G 2014Phys.Rev.A90 052309

[33]Du F F,Li T,Long G L 2016Ann.Phys.375 105

[34]Liu H J,Xia Y,Song J 2016Quantum Inf.Process.15 2033

[35]Ren B C,Wang H,Alzahrani F,Hobiny A,Deng F G 2017Ann.Phys.385 86

[36]Ren B C,Wang G Y,Deng F G 2015Phys.Rev.A91 032328

[37]Li T,Long G L 2016Phys.Rev.A94 022343

[38]Wei H R,Deng F G,Long G L 2016Opt.Express24 18619

[39]Wang T J,Song S Y,Long G L 2012Phys.Rev.A85 062311

[40]Sheng Y B,Zhou L 2015Sci.Rep.5 7815

[41]Jiang Y X,Guo P L,Gao C Y,Wang H B,Alzahrani F,Hobiny A,Deng F G 2017Sci.China:Phys.Mech.Astron.60 120312

[42]Wu F Z,Yang G J,Wang H B,Xiong J,Alzahrani F,Hobiny A,Deng F G 2017Sci.China:Phys.Mech.Astron.60 120313

[43]Nemoto K,Munro W J 2004Phys.Rev.Lett.93 250502

[44]Munro W J,Nemoto K,Beausoleil R G,Spiller T P 2005Phys.Rev.A71 033819

[45]Barrett S D,Kok P,Nemoto K,Beausoleil R G,Munro W J,Spiller T P 2005Phys.Rev.A71 060302

[46]Lin Q,He B,Bergou J A,Ren Y H 2009Phys.Rev.A80 042311

[47]Ding D,Yan F L 2013Phys.Lett.A377 1088

[48]Ding D,Yan F L,Gao T 2014Sci.China:Phys.Mech.Astron.57 2098

[49]He Y Q,Ding D,Yan F L,Gao T 2015Opt.Express23 21671

[50]Zhou L,Sheng Y B 2015Phys.Rev.A92 042314

[51]Sheng Y B,Pan J,Guo R,Zhou L,Wang L 2015Sci.China:Phys.Mech.Astron.58 060301

[52]He Y Q,Ding D,Yan F L,Gao T 2017Sci.Rep.7 15356