電磁誘導(dǎo)透明暗孤子的耗散變分束縛分析

譚康伯 路宏敏 官喬 張光碩 陳沖沖

(西安電子科技大學(xué),天線與微波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710071)

1 引 言

在EIT的早期研究中,氣相材料是主要基材,然而氣態(tài)不穩(wěn)定性對(duì)相關(guān)電磁控制的精確性構(gòu)成不利影響.隨著材料科學(xué)的發(fā)展,基于半導(dǎo)體固態(tài)材料的量子點(diǎn)、量子阱技術(shù),通過對(duì)半導(dǎo)體不同空間維度上的量子約束操作,使得相應(yīng)研究逐漸具有對(duì)EIT受控性增強(qiáng)的潛力[9?19].較之氣相材料,半導(dǎo)體材料具有更大的非線性系數(shù)和帶間躍遷偶極矩,且通過結(jié)構(gòu)材料和結(jié)構(gòu)方向來調(diào)節(jié)這些因素更為方便,這就為半導(dǎo)體材料作為EIT效應(yīng)的有效基材提供了便利.另外,固態(tài)材料因在成形、生成等方面所表現(xiàn)的突出可控性[16?19],使得基于此類材料的EIT在相關(guān)的EPC研究方向及應(yīng)用前景上具有較強(qiáng)的靈活性和適用性.

然而,當(dāng)電磁場(chǎng)與固態(tài)半導(dǎo)體材料發(fā)生誘導(dǎo)作用時(shí),材料系統(tǒng)性環(huán)境的強(qiáng)色散與非線性特性不斷凸顯.對(duì)于色散與非線性環(huán)境約束,電磁耗散就成為EIT中EPC必須進(jìn)一步考慮的實(shí)際因素.另外,較之單孤子形成,同態(tài)孤子對(duì)的耦合作用更為復(fù)雜.這些特征要素間的相互關(guān)系在相應(yīng)半導(dǎo)體量子點(diǎn)和阱、色散與非線性所激發(fā)的孤子等形成機(jī)理中需要不斷研究,相關(guān)問題的分析也將有利于對(duì)EIT研究的深入.

本文基于雙阱固態(tài)EIT系統(tǒng)中孤子形成機(jī)理,通過變分方法對(duì)耗散暗孤子態(tài)間的相干耦合作用進(jìn)行討論.

2 固態(tài)EIT系統(tǒng)中的暗孤子態(tài)變分分析

強(qiáng)電磁場(chǎng)在半導(dǎo)體材料中激發(fā)的特征是二者系統(tǒng)性作用的結(jié)果.在連續(xù)電磁脈沖作用下,雙阱半導(dǎo)體具有由量子相干而引發(fā)暗態(tài)的可能[19].在電磁材料分析中有兩種重要的技術(shù):一種是略去固態(tài)多體效應(yīng)等影響的半經(jīng)典密度方程演化分析;另一種是受半導(dǎo)體材料色散與非線性環(huán)境束縛的電動(dòng)力學(xué)作用分析.對(duì)于這種電磁材料的多物理場(chǎng)系統(tǒng)作用特征規(guī)律,可以通過把二者相結(jié)合,來協(xié)同研究.

針對(duì)實(shí)際應(yīng)用環(huán)境,耗散是必須考慮的因素.電磁場(chǎng)的耗散特征受到固態(tài)材料色散與非線性的環(huán)境約束.下面將著重考慮耗散和相干束縛因素對(duì)于雙阱半導(dǎo)體量子相干孤子態(tài)的影響.在脈沖探針電磁作用中考慮材料線性及非線性極化與電場(chǎng)的電動(dòng)力學(xué)關(guān)系,并于半導(dǎo)體材料中考慮雙量子阱Kerr相干作用及慢變包絡(luò)近似,則可得到相應(yīng)的耗散非線性Schr?dinger方程組:

其中,um,n表示固態(tài)材料系統(tǒng)中的孤子態(tài),Γc反映了固態(tài)材料系統(tǒng)中的耗散影響,Cc為非線性耦合系數(shù),其余參量則采用與文獻(xiàn)[19]相類似的定義形式,s1=sgn(β2),s2=sgn(n2),β2為群速度色散(GVD)參量,n2為Kerr非線性調(diào)制系數(shù).該方程組表征了相同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)孤子的動(dòng)力學(xué)特征.對(duì)于固體系統(tǒng),單一孤子特征可通過解析形式進(jìn)行分析[19],但對(duì)于更復(fù)雜的系統(tǒng),變分的駐定特性是分析的有效途徑.變分方法可以通過試探解以較簡(jiǎn)單的半解析形式來揭示復(fù)雜物理作用的內(nèi)在規(guī)律[20,21].在此分析模型的基礎(chǔ)上,借助變分的駐定性對(duì)固體系統(tǒng)的復(fù)雜作用進(jìn)行分析.對(duì)于前面電磁作用下半導(dǎo)體的非線性耗散模型,其所對(duì)應(yīng)的作用量原理為

其中,Lagrange量為L(zhǎng)=exp(2Γcz)L′,且L′為

(3)式中的指數(shù)項(xiàng)表征了耗散影響,其余項(xiàng)則表征了固態(tài)系統(tǒng)中的非線性量子運(yùn)動(dòng).該Lagrange量的有效性,可通過如下Euler-Lagrange方程來表達(dá):

目前,已發(fā)現(xiàn)的具有物理意義的非線性發(fā)展方程有幾百種,各個(gè)學(xué)科還在涌現(xiàn)新的方程,不少學(xué)者對(duì)這些新方程非常感興趣,發(fā)現(xiàn)了大量的求解非線性偏微分方程的方法,主要有逆散射法[1]、B?cklund法[2]、Darboux變換法[3]、Hirota雙線性法[4-5]、Painlevé展開法[6]等.利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB和MAPLE等,學(xué)者們又發(fā)現(xiàn)了許多求解非線性偏微分方程的新方法,如雙曲函數(shù)法[7]、齊次平衡法[8]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[9]、包絡(luò)變換法[10-11]、ADM法[12]和F展開法[13]等.本文對(duì)F展開法進(jìn)行擴(kuò)展,擴(kuò)展后的方法可以求得非線性偏微分方程更豐富的解.

通過將Lagrange量代入方程(4),可得方程(1).前面的Lagrange分析考慮了Caldirola量子耗散構(gòu)型,所得成對(duì)支配方程具有共軛特點(diǎn).

實(shí)際分析表明[19],通過調(diào)節(jié)GVD參量和Kerr非線性系數(shù),在材料失諧變化Δ=?0.48γ13附近,將形成GVD參量和非線性系數(shù)均為負(fù)的暗孤子.在此形成機(jī)理的基礎(chǔ)上,接下來將通過具體的變分分析,對(duì)該固態(tài)非線性系統(tǒng)耗散擾動(dòng)影響進(jìn)行動(dòng)力學(xué)討論.基于變分的駐定性,定義該固態(tài)系統(tǒng)中同態(tài)孤子對(duì)的試探解為

其中,同態(tài)孤子特征參量{qm|tm,βm,θm}分別為中心時(shí)刻、色散參量、相位參量;α為背景幅值.將包含這些參量的試探解代入作用量原理(2)中,通過所得的時(shí)域作用量,即可對(duì)該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征進(jìn)行分析.

3 實(shí)例分析

下面對(duì)固態(tài)耗散系統(tǒng)中的同態(tài)暗孤子特性進(jìn)行具體變分分析和討論.考慮雙量子阱的能帶結(jié)構(gòu),該固態(tài)系統(tǒng)包含寬、窄兩個(gè)阱,其中能級(jí)|1〉為導(dǎo)帶中的束縛態(tài),而對(duì)應(yīng)各阱,|2〉和|3〉分別為價(jià)帶中的空穴定域態(tài)[6].在此固態(tài)系統(tǒng)中,通過對(duì)密度算符與電極化率的分析,可以在系統(tǒng)環(huán)境中參數(shù)γ13,γ12(γ13)和γ12(γ13)確定的情況下, 調(diào)節(jié)載頻失諧量Δ(γ13),進(jìn)而控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程組(1)中的GVD參量和非線性調(diào)制系數(shù),使之對(duì)應(yīng)EIT系統(tǒng)中暗孤子形成的負(fù)約束,其中γ13=(γ1+γ3)/2,γ1和γ3分別為能級(jí)|1〉和|3〉的衰變率.

圖1給出了固態(tài)環(huán)境系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)傳輸?shù)钠谱V,對(duì)應(yīng)EIT非線性特征.對(duì)此,把試探解(5)代入作用量原理,使用變量代換及單位換算等動(dòng)力學(xué)分析技術(shù)[19?23],將計(jì)算所得時(shí)域作用量再代入通過變分計(jì)算所得的方程如下:

理論討論中所采用的分析技術(shù)從本質(zhì)上并不影響問題所表現(xiàn)的基本物理規(guī)律.在方程組(7)中,第一個(gè)方程表征了同態(tài)暗孤子的時(shí)空變化特性,第二個(gè)方程表征了固態(tài)系統(tǒng)的耗散特性,而第三個(gè)方程則表征了固態(tài)系統(tǒng)中同態(tài)暗孤子的色散特性,該方程組共同約束固態(tài)耗散系統(tǒng)中的同態(tài)暗孤子動(dòng)力學(xué)特征.由于耗散環(huán)境的影響,實(shí)際固態(tài)系統(tǒng)中的暗孤子呈現(xiàn)出不同于無耗情況的特性,圖2給出了對(duì)比結(jié)果.

在圖2中,上部分為固態(tài)無耗環(huán)境中的孤子時(shí)空特征,下部分為固態(tài)有耗環(huán)境中的孤子時(shí)空特征.通過圖2可以看到,由于固態(tài)系統(tǒng)耗散的影響,暗孤子在演化中會(huì)呈現(xiàn)強(qiáng)度不斷減弱且時(shí)寬不斷展開的特點(diǎn).顯然,通過材料技術(shù)對(duì)于固態(tài)系統(tǒng)中耗散因素進(jìn)行適度調(diào)節(jié),可以對(duì)暗孤子的作用形態(tài)形成有效控制.

圖1 固態(tài)環(huán)境系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)傳輸特征的偏移譜Fig.1.Spectrum of dynamic transmission deviation in solid environment.

圖2 無耗和有耗環(huán)境中的暗孤子Fig.2.Dark solitons in the perfect and dissipative environment.

在上面動(dòng)力學(xué)特征分析的基礎(chǔ)上,若定義M=αD=α(t1?t2),則可進(jìn)一步得到表征固態(tài)耗散環(huán)境中同態(tài)孤子對(duì)相干束縛態(tài)的約束關(guān)系:

其中,

由于形式復(fù)雜,該方程的直接求解較為困難.但是,通過分析可以發(fā)現(xiàn),函數(shù)V(M)在自變量較小(|M|＜0.3)時(shí),具有較好的線性特征,其函數(shù)特性如圖3所示.

在此基礎(chǔ)上,可以對(duì)方程(8)在函數(shù)值較小的取值范圍內(nèi)進(jìn)行近似求解.方程中的參量取Γc=0.02.該方程為類Bessel方程[23],通過分析,進(jìn)一步可得到同態(tài)暗孤子對(duì)時(shí)距具有如下形式的解析解:

其中,J0(?)和Y0(?)分別為0階Bessel函數(shù)和0階修正的Bessel函數(shù);P1,P2和P3為待定系數(shù).在此基礎(chǔ)上,設(shè)同態(tài)暗孤子對(duì)的初始時(shí)距為0.3,于是可以在函數(shù)值較小的取值范圍內(nèi)對(duì)上面參量進(jìn)行計(jì)算,所得同態(tài)暗孤子對(duì)的時(shí)空軌跡及適用范圍如圖4所示.

圖3 V(M)的函數(shù)特性Fig.3.Function of V(M).

圖4 同態(tài)暗孤子時(shí)空作用特征Fig.4.Space-time characteristics of solitons under co-sate.

圖4中不同顏色范圍表示了不同近似適用區(qū)域(中間淺色區(qū)域:|M|＜0.3;較深色區(qū)域:0.6＜|M|＜0.3),圖中不同曲線表示了相同耗散且不同耦合強(qiáng)度下的同態(tài)暗孤子對(duì)所形成的時(shí)空束縛軌跡(虛線表示耦合較小,取0.5;實(shí)線表示耦合較大,取1).由圖4可以看到,同態(tài)暗孤子對(duì)時(shí)空束縛結(jié)果處于動(dòng)力學(xué)約束方程(8)的有效適用區(qū)域內(nèi).通過動(dòng)力學(xué)分析可知,暗孤子態(tài)會(huì)由于固體系統(tǒng)中的耗散與相干耦合,形成暗孤子對(duì)的時(shí)空束縛,并受空間耗散的影響而逐漸減弱.對(duì)此,固態(tài)材料系統(tǒng)中,耗散和相干耦合之間平衡的調(diào)節(jié)為實(shí)現(xiàn)對(duì)暗孤子間時(shí)空束縛進(jìn)行有效的控制提供了途徑.

4 結(jié) 論

本文從電磁控制角度,對(duì)半導(dǎo)體固態(tài)系統(tǒng)中耗散環(huán)境以及同態(tài)相干耦合對(duì)暗孤子的影響作用進(jìn)行了變分研究.通過動(dòng)力學(xué)分析可以看到,對(duì)于固態(tài)材料系統(tǒng)中耗散以及相干耦合的準(zhǔn)確調(diào)節(jié)將有利于電磁暗孤子演化的精密控制.

[1]Harris S E 1997Phys.Today50 36

[2]Fleischhauer M,Imamoglu A,Marangos J P 2009Rev.Mod.Phys.77 633

[3]Liu S Y,Zheng B S,Li H M,Liu X C,Liu S B 2015Chin.Phys.B24 084204

[4]Niakan N,Askari M,Zakery A 2012J.Opt.Soc.Am.B29 2329

[5]Xu Z X,Li S L,Yin X X,Zhao H X,Liu L L 2017Sci.Rep.7 6098

[6]Totsuka K,Kobayashi N,Tomita M 2007Phys.Rev.Lett.98 213904

[7]Rose H A,Mounaix P 2011Phys.Plasmas18 042109

[8]Liu L Q,Zhang Y,Geng Y C,Wang W Y,Zhu Q H,Jing F,Wei X F,Huang W Q 2014Acta Phys.Sin.63 164201(in Chinese)[劉蘭琴,張穎,耿遠(yuǎn)超,王文義,朱啟華,景峰,魏曉峰,黃晚晴2014物理學(xué)報(bào)63 164201]

[9]Qi X Y,Cao Z,Bai J T 2013Acta Phys.Sin.62 064217(in Chinese)[齊新元,曹政,白晉濤 2013物理學(xué)報(bào) 62 064217]

[10]Zhang L S,Yang L J,Li X L,Han L,Li X W,Guo Q L,Fu G S 2007Acta Opt.Sin.27 1305(in Chinese)[張連水,楊麗君,李曉莉,韓理,李曉葦,郭慶林,傅廣生2007光學(xué)學(xué)報(bào)27 1305]

[11]Li X L,Zhang L S,Yang B Z,Yang L J 2010Acta Phys.Sin.59 7008(in Chinese)[李曉莉,張連水,楊寶柱,楊麗君2010物理學(xué)報(bào)59 7008]

[12]Wang L,Hu X M 2004Acta Phys.Sin.53 2551(in Chinese)[王麗,胡響明 2004物理學(xué)報(bào) 53 2551]

[13]Li X L,Shang Y X,Sun J 2013Acta Phys.Sin.62 064202(in Chinese)[李曉莉,尚雅軒,孫江2013物理學(xué)報(bào)62 064202]

[14]Tang H,Wang D L,Zhang W X,Ding J W,Xiao S G 2017Acta Phys.Sin.66 034202(in Chinese)[唐宏, 王登龍,張蔚曦,丁建文,肖思國2017物理學(xué)報(bào)66 034202]

[15]Zhu K Z,Jia W G,Zhang K,Yu Y,Zhang J P 2016Acta Phys.Sin.65 074204(in Chinese)[朱坤占,賈維國,張魁,于宇,張俊萍2016物理學(xué)報(bào)65 074204]

[16]Xi T T,Zhang J,Lu X,Hao Z Q,Yang H,Dong Q L,Wu H C 2006Chin.Phys.15 2025

[17]Ponomarenko S A,Agrawal G P 2006Phys.Rev.Lett.97 013901

[18]Gao X H,Zhang C Y,Tang D,Zheng H,Lu D Q,Hu W 2013Acta Phys.Sin.62 044214(in Chinese)[高星輝,張承云,唐冬,鄭暉,陸大全,胡巍2013物理學(xué)報(bào)62 044214]

[19]Du Y J,Xie X T,Yang Z Y,Bai J T 2015Acta Phys.Sin.64 064202(in Chinese)[杜英杰,謝小濤,楊戰(zhàn)營,白晉濤2015物理學(xué)報(bào)64 064202]

[20]Zhong W P,Huang H 1995Acta Opt.Sin.15 202(in Chinese)[鐘衛(wèi)平,黃輝 1995光學(xué)學(xué)報(bào) 15 202]

[21]Jiang J H,Li Z P 2004Acta Phys.Sin.53 2991(in Chinese)[江金環(huán),李子平 2004物理學(xué)報(bào) 53 2991]

[22]Goldstein H 1950Classical Mechanics(Cambridge,MA:Addison-Wesley)pp68–96

[23]Wang Z X,Guo D R 2000Introduction to Special Function(Beijing:Peking University Press)pp334–415(in Chinese)[王竹溪,郭敦仁 2000特殊函數(shù)概論 (北京:北京大學(xué)出版社)第337—415頁]