涂覆石墨烯的非對稱并行電介質(zhì)納米線波導(dǎo)的模式特性分析?

彭艷玲 薛文瑞? 衛(wèi)壯志 李昌勇

1)(山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,太原 030006)

2)(山西大學(xué)激光光譜研究所,量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

1 引 言

石墨烯具有獨特的光電性質(zhì),如極高的電子遷移率[1]和超快的載流子運動[2]等.石墨烯的這些特性在變換光學(xué)[3]、飽和吸收器[4]、表面等離子體領(lǐng)域[5]、化學(xué)和生物傳感領(lǐng)域[6?8]等有著廣泛的應(yīng)用.

與傳統(tǒng)的貴金屬相比,石墨烯表面等離子體(graphene surface plasmons,GSPs)具有模式束縛性強、傳播損耗低、可調(diào)性強等特點[9].為了利用GSPs的這些特性,人們提出了多種多樣的基于石墨烯的波導(dǎo)結(jié)構(gòu),例如石墨烯納米帶波導(dǎo)[10]、石墨烯納米帶平行板波導(dǎo)[11]、介質(zhì)負載的石墨烯波導(dǎo)[12]、石墨烯楔形和槽形波導(dǎo)[13]、石墨烯錐形波導(dǎo)[14]、涂覆石墨烯的納米線波導(dǎo)[15]、附帶基底的石墨烯納米線波導(dǎo)[16]等.

目前,涂覆石墨烯的電介質(zhì)納米線波導(dǎo)結(jié)構(gòu)是一個研究熱點.2014年,Gao等[17]用解析法和數(shù)值模擬法研究了涂覆單層石墨烯的單根電介質(zhì)納米線,結(jié)果表明其模式具有方位角對稱性并且在電磁場分布中可用相位因子表征模式的階數(shù).2015年,Yang等[18]采用解析法和有限元法( finite element method,FEM)研究了涂覆雙層石墨烯的單根電介質(zhì)納米線,結(jié)果表明通過改變石墨烯的費米能、兩石墨烯片間的間距以及納米線的半徑可調(diào)節(jié)模式特性.2016年,Liu等[19]采用耦合模式微擾理論研究了涂覆單層石墨烯的雙納米線對稱結(jié)構(gòu),結(jié)果表明對稱耦合模式和反對稱耦合模式源自兩相同的單根波導(dǎo)的模式耦合.2017年,Jiang等[20]運用變換光學(xué)理論研究了兩個石墨烯包覆的電介質(zhì)納米線間的等離子體相互作用.迄今,對于涂覆石墨烯的非對稱并行電介質(zhì)納米線波導(dǎo)的模式特性的研究尚未見報道.

本文擬采用多級展開方法對涂覆石墨烯的非對稱并行電介質(zhì)納米線中低階的七種模式進行分析,對每種模式的有效折射率和傳播長度與工作頻率、幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)、石墨烯費米能之間的關(guān)系進行詳細的研究,并采用FEM對所得的結(jié)果進行驗證.

2 結(jié)構(gòu)模型

本文研究的非對稱波導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖1所示,它是由并行的涂覆了單層石墨烯的半徑不同的兩根電介質(zhì)納米線構(gòu)成的.左側(cè)的納米線標記為1號納米線,半徑為ρ1,右側(cè)的納米線標記為2號納米線,半徑為ρ2.兩根電介質(zhì)納米線的相對介電常數(shù)均為ε1,間距為d,整個波導(dǎo)結(jié)構(gòu)嵌入在相對介電常數(shù)為ε2的背景媒質(zhì)中.由Kubo公式可知,當(dāng)溫度T為300 K并且載流子散射率Γ為2×1012rad/s時,石墨烯的面電導(dǎo)率σg主要由工作頻率f和費米能EF決定[18].

圖1 涂覆石墨烯的非對稱并行電介質(zhì)納米線的橫截面示意圖Fig.1.Cross sectional sketch of graphene-coated asymmetric parallel dielectric nanowires.

3 理論模型

以兩根電介質(zhì)納米線的軸心為原點,分別建立極坐標系(r1,?1)和(r2,?2),如圖1中所示. 假設(shè)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中的模式在z方向上傳播,則GSPs模式的電磁場分量均可表示為F(r,?)exp[i(βz?ωt)],其中F代表電場或者磁場在橫截面上的分布,β為模式的縱向傳播常數(shù),ω為工作圓頻率.在每根電介質(zhì)納米線中,縱向電磁場分量都滿足Helmholtz方程.假設(shè)在各個區(qū)域中,縱向電磁場表示為(1)—(4)式:

在r1＜ρ1區(qū)域

在r2＜ρ2區(qū)域

在r2＞ρ2區(qū)域

這里,In和Kn為修正貝塞爾函數(shù);An,Bn,Cn,Dn,En,Fn,Gn,Hn為待定系數(shù),

以sin模為例,對推導(dǎo)過程進行詳細闡述.

根據(jù)Bessel函數(shù)的加法定理[21,22],可將電介質(zhì)納米線外的電磁場在兩個坐標系中變換,表示為

其中,fmn=Kn+m(λ2a)+Kn?m(λ2a),gmn=Kn+m(λ2a)? Kn?m(λ2a),a=d+ ρ1+ ρ2. 依據(jù)Maxwell方程組,就可由縱向電磁場分量得到電磁場的其他場分量.在實際的計算中,需要將(1)—(8)式中的無限項求和截斷為M項求和.

將石墨烯看作厚度可以忽略的導(dǎo)體邊界,利用電磁場在這一邊界處的切向邊界條件,

其中i=1,2,分別代表1號納米線和2號納米線,可以建立一個齊次線性代數(shù)方程組:

其中[A]為系數(shù)矩陣,[x]為(1)—(4)式中的待定系數(shù)組成的一個列矢量.假設(shè)M為(5)—(8)式及其他場分量中n和m的上限值,也就是說,把無窮項求和截斷為M項求和,則[A]為一個方陣,且這個方陣由8×8個子方陣a(i,j)組成.每個子方陣a(i,j)中包含M×M個矩陣元am,n(i,j),它們的表達式見附錄A.根據(jù)線性代數(shù)理論,齊次線性代數(shù)方程組(10)有解的充分必要條件是該方陣的行列式Δ=0,即

通過求解方程(11),就可以得到模式的色散關(guān)系,并通過方程(10)得到對應(yīng)的模式的場分布.

4 結(jié)果與討論

涂覆石墨烯的非對稱并行電介質(zhì)納米線波導(dǎo)中的GSPs模式非常豐富,本文對低階的七種GSPs模式進行研究,依次命名為mode 0,mode 1,···,mode 6.

圖2 在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV條件下,七種GSPs模式的場分布(左列為縱向電場分布圖,右列為電場強度分布圖)Fig.2.The field distributions of seven GSPs modes with ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz and EF=0.5 eV.The left column is the longitudinal electric field distribution,and the right column is the electric field intensity distribution.

在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的條件下,圖2描繪了低階的七種GSPs模式的縱向電場分布和電場強度分布.觀察圖2可知,電磁場主要集中于兩根納米線之間的縫隙區(qū)域或者半徑較大的納米線表面.根據(jù)(1)—(4)式中的因子cos(n?)和sin(n?),可把這七種模式分為兩類.一類是cos型,即兩根納米線上縱向電場的最值位于水平方向,如圖2中的mode 0,mode 2,mode 4,mode 6;另外一類為sin型,即兩根納米線上縱向電場的零值位于水平方向,如圖2中的mode 1,mode 3和mode 5.與涂覆石墨烯的單根電介質(zhì)納米線[17]比較可以發(fā)現(xiàn),這里的mode 0是前者的零階模之間相互吸引形成的cos型模式.這里的mode 1和mode 2分別是前者的一階模之間相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.這里的mode 3和mode 4分別是前者的一階模與二階模相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.這里的mode 5和mode 6分別是前者的一階模和三階模相互吸引形成的sin型模式和cos型模式.可以發(fā)現(xiàn),在這七種模式中,與文獻[23]中的模式不同的是電磁場分布在半徑較大的納米線表面所占的比例有較大幅度的增加.如果以文獻[17]中的模式分類方法來觀察,小半徑納米線上的模式的階數(shù)小于大半徑納米線上的模式的階數(shù).

圖3 在ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV條件下,當(dāng)ρ2的取值依次為120,150,200 nm時,(a)–(c)mode 1和(d)–(f)mode 3的Ez場分布演化Fig.3.Ez field distribution evolution diagrams of(a)–(c)mode 1 and(d)–(f)mode 3 when the values of ρ2are 120,150 and 200 nm,respectively. ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,and EF=0.5 eV.

在ρ1=100 nm,d=10 nm, ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的條件下,當(dāng)ρ2分別取120,150和200 nm時,圖3給出了在非對稱結(jié)構(gòu)中,mode 1和mode 3的Ez場分布.觀察圖3可以看出,隨著2號納米線半徑的不斷增大,mode 1的縱向電場分布相似,場的變化很小,僅場的分布范圍發(fā)生了變化.mode 3的Ez場分布則變化劇烈.當(dāng)2號納米線的半徑為120 nm時,這時的場分布顯示,在縫隙區(qū)域出現(xiàn)了一對強度非常微弱的節(jié)點[17],如圖3(d).這個GSPs模式是由文獻[17]中一階模和二階模相互吸引形成的sin型模式,即本文中的mode 3.當(dāng)2號納米線的半徑進一步增大為150 nm時,在縫隙區(qū)域附近的電場增強,新增節(jié)點增加明顯.當(dāng)半徑增大為200 nm時,由于新增節(jié)點處的場繼續(xù)增強,使得兩納米線上電場間的相互吸引作用增強,導(dǎo)致1號納米線上的場向縫隙區(qū)域靠攏,如圖3(f)所示.在計算中還發(fā)現(xiàn),對于這種非對稱結(jié)構(gòu),低階模式的構(gòu)成是隨兩根納米線的尺寸而變化的,并不是文獻[23]中兩種零階模之間和四種一階模之間的簡單耦合.

圖4(a)給出了該結(jié)構(gòu)支持的GSPs模式的有效折射率Re(neff)和傳播長度Lprop隨頻率的變化關(guān)系.這里有效折射率定義為Re(neff)= Re(β)c/(2πf),傳播長度定義為Lprop=c/(4πfIm(neff)),其中c為真空中的光速,f為工作頻率.從圖4可以看出,在f從10 THz增大到50 THz的過程中,除了mode 0以外,其他模式都出現(xiàn)了截止頻率.并且sin型模式(mode 1,3和5)在截止頻率處的有效折射率趨于零.這表明隨著頻率的增大,有更多的模式出現(xiàn),且所有模式的有效折射率單調(diào)增大.圖4(b)所示為各個模式的傳播長度隨頻率的變化.當(dāng)頻率較大時,各模式的束縛性較強.這就使得吸收損耗較大,導(dǎo)致傳播長度變小.sin型模式的傳播長度在截止頻率附近迅速減小,并且隨著頻率的增大呈現(xiàn)出先迅速增大,達到峰值后緩慢減小的趨勢;而cos型模式的傳播長度則隨著頻率的增大單調(diào)減小.從圖4可以看出,若頻率繼續(xù)減小,很有可能實現(xiàn)單模傳輸,并且mode 0的傳播長度隨著頻率的減小而進一步增大.此外,在相同的參數(shù)設(shè)置下,利用FEM對以上研究結(jié)果進行了驗證.圖4中的點是FEM的數(shù)值結(jié)果,它們與多極方法計算的結(jié)果非常符合.

兩根納米線間的間距d對GSPs模式特性有一定的影響.圖5展示了在d從5 nm增大到40 nm的過程中,各個模式的有效折射率和傳播長度的變化情況.mode 0的模式特性變化最劇烈.隨著間距的增大,mode 0的有效折射率單調(diào)減小,這就意味著模式的束縛性下降,傳播損耗減小,從而傳播長度不斷增大.這是因為當(dāng)間距為5 nm時,與納米線的直徑相比,耦合距離非常小,兩納米線上電磁場間的相互吸引作用非常強,從而導(dǎo)致表面等離子模式的束縛性非常強,傳播損耗較大,傳播長度很小;當(dāng)間距變大時,兩納米線上電磁場間的相互吸引作用相對減小,因而束縛性也相對變?nèi)?傳播長度增大.mode 1的有效折射率變化較小,而傳播長度變化較大.對于其他模式而言,不論是有效折射率還是傳播長度,它們的變化都非常微弱.當(dāng)d＞25 nm時,mode 0的傳播長度是七種模式中最大的.

圖6描述了各個模式的有效折射率和傳播長度隨納米線半徑ρ2變化的關(guān)系.從圖6可知,在ρ2從100 nm增大到300 nm的過程中,該結(jié)構(gòu)支持的GSPs模式在逐漸增多,而各個模式對應(yīng)的有效折射率和傳播長度的變化并不大.這說明,其中一根電介質(zhì)納米線的半徑增大時,對該結(jié)構(gòu)支持的GSPs模式數(shù)有較大的影響,對于各個模式的有效折射率和傳播長度的影響比較小.隨著半徑的增大,除mode 0和mode 1外,大部分模式的有效折射率和傳播長度緩慢地增大.這就表明本文提出的這種非對稱的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)可在一定程度上有效地減小因?qū)嶋H制作造成的誤差對模式特性的影響.當(dāng)2號納米線的半徑較大時,對于mode 0和mode 1,與FEM結(jié)果相比,有效折射率和傳播長度的計算結(jié)果存在一定的誤差.

圖5 在ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz以及EF=0.5 eV的條件下,(a)有效折射率、(b)傳播長度與間距d之間的關(guān)系Fig.5.The dependence of(a)the effective refractive index and(b)the propagation length on the spacing d when ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz and EF=0.5 eV.

圖6(a)有效折射率、(b)傳播長度與半徑ρ2之間的關(guān)系(ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,EF=0.5 eV)Fig.6.(a)The effective refractive index and(b)the propagation length versus the radius ρ2when ρ1=100 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz,EF=0.5 eV.

圖7 當(dāng)ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz時,(a)有效折射率、(b)傳播長度與費米能EF之間的關(guān)系Fig.7.The values of(a)effective refractive index and(b)the propagation length as functions of Fermi energy EFwith ρ1=100 nm,ρ2=300 nm,d=10 nm,ε1=3.0,ε2=1.0,f=30 THz.

利用石墨烯獨特的物理性質(zhì),能夠?qū)SPs模式的特性實現(xiàn)動態(tài)調(diào)整.圖7給出了石墨烯費米能對模式的有效折射率和傳播長度的影響.從圖7可以看出:在費米能從0.3 eV增大為0.7 eV的過程中,各個模式的有效折射率和傳播長度變化劇烈;并且各模式的有效折射率單調(diào)減小,傳播長度單調(diào)增大.這就表明,可通過改變施加在石墨烯上的偏置電壓,達到控制費米能的目的,從而便捷、有效地實現(xiàn)對該波導(dǎo)中模式特性的大范圍調(diào)控.

5 結(jié) 論

本文采用多級展開法對一種涂覆石墨烯的非對稱并行電介質(zhì)納米線波導(dǎo)的模式特性進行了分析研究.通過對低階的七種GSPs模式的有效折射率和傳播長度的研究,可得到如下結(jié)論:1)當(dāng)工作頻率從10 THz增大為50 THz時,該結(jié)構(gòu)中GSPs模式種類增多,且各模式的有效折射率單調(diào)增大;并且隨著頻率的增大,cos型模式的傳播長度單調(diào)減小,sin型模式的傳播長度均表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢;2)隨著兩根電介質(zhì)納米線間的距離不斷增大,mode 0模式和mode 1模式的模式特性變化劇烈,而其他模式的有效折射率和傳播長度的變化非常小;當(dāng)間距大于25 nm時,mode 0的傳播長度最長;3)隨著其中一根電介質(zhì)納米線半徑逐漸增大,在所計算的范圍內(nèi),模式數(shù)目會不斷增多,而各個模式的有效折射率和傳播長度受到的影響均較小;4)在石墨烯的費米能從0.3 eV增大為0.7 eV的過程中,各模式的有效折射率和傳播長度的變化均很大;并且各模式的有效折射率單調(diào)減小,而傳播長度在不斷增大.所得結(jié)果均得到了FEM數(shù)值結(jié)果的驗證.本文工作可以為涂覆石墨烯的非對稱并行電介質(zhì)納米線的設(shè)計、制作和應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).

附錄A 矩陣元am,n(i,j)的表達式

方程(11)中的每個子方陣a(i,j)中包含M×M個矩陣元am,n(i,j),其中不全為零的矩陣元如下:

其中,In和Kn為修正貝塞爾函數(shù),

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