二維情況下兩組分帶電囊泡形變耦合相分離的理論模擬研究?

段華 李劍鋒 張紅東

(復(fù)旦大學(xué)高分子科學(xué)系,聚合物分子工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200433)

1 引 言

兩親性脂質(zhì)分子、表面活性劑以及嵌段共聚物等在溶液中易自發(fā)組裝成各種形態(tài),例如:片狀膜、膠束、囊泡等.囊泡乃兩親性雙分子層通過卷曲形成的一種內(nèi)部包含溶劑分子的封閉膜泡.雖然囊泡結(jié)構(gòu)極其簡單,但由于其物理上與生物體系中細(xì)胞結(jié)構(gòu)存在共性,故可結(jié)合經(jīng)典彈性膜理論[1]、用囊泡物理模型解釋一些生命現(xiàn)象,例如紅細(xì)胞的雙凹碟狀[1],紅細(xì)胞的SDE序列轉(zhuǎn)變[2,3]等.然而,真實(shí)的生物膜十分復(fù)雜,為多組分且通常帶一定電荷,故研究帶電多組分囊泡具有重要的生物學(xué)意義.此外,多年來人們感到不解,生物膜一般為多組分,通常多組分聚集體都容易出現(xiàn)同種組分團(tuán)聚現(xiàn)象,過分的團(tuán)聚行為必定影響其生理功能的實(shí)現(xiàn),那么生命體是如何克服這種團(tuán)聚現(xiàn)象的呢?人們猜測靜電相互作用或許可幫助增加不同生物分子間的相溶性,而具體機(jī)理人們并不非常清楚.因此有必要對帶電多組分囊泡的相分離現(xiàn)象進(jìn)行細(xì)致的理論模擬研究[4?11].

然而,目前的研究要么只針對多組分囊泡,要么只針對帶電囊泡,極少將兩者結(jié)合起來.

其中多組分囊泡相關(guān)的研究已經(jīng)比較多.例如,J?rgensen等[12,13]通過將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與蒙特卡羅模擬相結(jié)合的方法研究了兩組分的非平衡有序化過程對局部和整體側(cè)向膜結(jié)構(gòu)的影響,提出非平衡態(tài)效應(yīng)會影響微相區(qū)的形成;Suni-Kumar等[14]采用動態(tài)三角網(wǎng)格劃分的蒙特卡羅方法研究了兩組分囊泡相分離的形變動力學(xué),他將出芽的過程分為膜內(nèi)區(qū)域的形成和生長、形成許多小芽、小芽融合再長大三個階段,并給出了后期凸芽生長動力學(xué)隨時間的標(biāo)度關(guān)系;之前,我們采用球冠模型與耗散動力學(xué)方法系統(tǒng)研究了兩組分囊泡的相分離和出芽的過程,發(fā)現(xiàn)組分的自發(fā)曲率及相區(qū)界的界面能會影響出芽的數(shù)目以及出芽的方式,增加其中一個組分的自發(fā)曲率會增加出芽的數(shù)目,并給出了一個相對完整的相圖[5];此外,耗散粒子動力學(xué)模型[15,16]以及時間依賴的Ginzburg-Landau(TDGL)[17]動力學(xué)等方法也被用于研究多組分囊泡中的相分離微相區(qū)的生長.

單組分帶電囊泡的模擬研究則較少報(bào)道,主要存在數(shù)值計(jì)算困難,難以模擬大變形及靜電作用較強(qiáng)時的情形,導(dǎo)致大多研究不成系統(tǒng)性.Sinha和Thaokar[18]認(rèn)為我們之前的工作[19]是目前僅有關(guān)于單組分帶電囊泡的系統(tǒng)研究工作,在這篇報(bào)道中我們給出了不同帶電量不同約化體積條件下的三維帶電囊泡平衡態(tài)形狀.

關(guān)于帶電多組分囊泡的系統(tǒng)性研究則更少,目前只有分子動力學(xué)相關(guān)的粒子模擬[20].主要是因?yàn)槭紫葞щ娔遗莸挠绊懸蛩剌^多,很難進(jìn)行系統(tǒng)性研究,其次理論和模擬中處理多組分和處理靜電相互作用都存在一定的困難,現(xiàn)在兩個困難疊加,使得模擬計(jì)算極不穩(wěn)定.本文希望離散空間變分法[21]與耗散動力學(xué)方法[17]結(jié)合可用于克服這些困難,為簡單起見,只考察二維兩組分帶電囊泡的形變耦合相分離行為,希望二維的初步研究可給出較為系統(tǒng)的研究結(jié)果,并重點(diǎn)考察靜電相互作用對不同組分的相溶性的影響.

2 模型與方法

2.1 理論模型

本文的模型為二維兩組分帶電囊泡.假設(shè)其周長L固定,且局部近似不可壓縮,故線元亦假設(shè)固定不變.該囊泡由兩種不同磷脂組成,組分A帶負(fù)電,組分B電中性.由于這兩種組分在囊泡上可以自由遷移,故若相容性不佳時則會產(chǎn)生相分離,導(dǎo)致組分的分布變化及囊泡形變,如圖1所示.

圖1 兩組分帶電囊泡的形變耦合相分離示意圖(a)相分離之前組分分布均勻;(b)相分離之后分成若干相區(qū);其中紅色部分為帶負(fù)電荷的組分A,藍(lán)色部分為電中性的組分BFig.1.Schematic diagram of the phase separation of the twocomponent charged vesicle:(a)The components are evenly distributed before the phase separation;(b)the phases are separated and divided into several phase regions.The red part is composed of the negatively charged component A while the blue denotes the electrically neutral component B.

2.2 模擬方法

本文主要結(jié)合離散空間變分方法[21]和耗散動力學(xué)方法[17]研究兩組分帶電囊泡.求解一個物理模型的動力學(xué)過程時,離散空間變分方法首先對這個模型的物理空間坐標(biāo)進(jìn)行離散,然后得到在離散空間坐標(biāo)下的自由能泛函,再對離散的自由能做變分,直接得到已經(jīng)離散好的差分方程,最后再利用這些差分方程去模擬具體的物理模型[21?23].Li等[24]將此方法引入生物膜的理論研究,并將其應(yīng)用于二維囊泡的相關(guān)模擬,得到了與其他參考文獻(xiàn)報(bào)道相同的結(jié)果.此外,離散空間變分法與耗散動力學(xué)結(jié)合還可用于模擬三維囊泡[25].該方法的優(yōu)點(diǎn)主要有:1)數(shù)值穩(wěn)定性強(qiáng)、計(jì)算速度快,且得到的囊泡形狀光滑;2)不需要提前假設(shè)囊泡對稱性,因此可得到非軸對稱的中間演化態(tài)以及較大的形變等.

據(jù)上述模型,該體系的自由能主要由兩部分組成(F=F1+F2),其中第一部分為

F1表示除去靜電能以外囊泡自身的能量,右端第一項(xiàng)為Helfrich彎曲自由能[26],第二項(xiàng)為Ginzburg-Landau自由能[17],第三項(xiàng)中的拉格朗日乘因子λ(s)用于保證二維囊泡線元不可壓縮.這里κ0為膜的彎曲剛性;H(s)代表膜上離散點(diǎn)s處的平均曲率;?=?A(s)? ?B(s)為組分序參量,?A(s)和?B(s)分別為組分A和組分B在離散點(diǎn)s處的體積分?jǐn)?shù);和a4為大于0的唯象系數(shù),其中a2與溫度相關(guān),而a4本文中通常設(shè)置為0.2;b1/2正比于相界面寬度.

自由能的第二部分為靜電相互作用,依據(jù)Debye-Huckel近似[18],靜電排斥能F2為

式中R為囊泡的初始半徑,K0為0階第二類修正Bessel函數(shù);屏蔽長度λD可表示為λD=,其中ε為介電常數(shù),e為單位電荷,n是溶液中電解質(zhì)的濃度;ρA為帶電組分A的電荷密度,囊泡所帶的總電量Q=ρA〈?A〉L.

當(dāng)靜電屏蔽長度λD比較大(λD≥100 a,a為相鄰兩個離散點(diǎn)距離)時,靜電能可簡化為

為簡單起見和減少計(jì)算量,只考慮靜電屏蔽長度λD較大的情況.

體系中的總自由能為F=F1+F2,囊泡形變和A/B兩組分的相分離可分別由下面的耗散動力學(xué)方程和TDGL方程描述[5,17]:

模擬過程中,上述兩個動力學(xué)系數(shù)Lr和L?皆設(shè)成1.0,時間步長通常為0.01.囊泡周長L=200 a離散成200個離散點(diǎn),相鄰兩個離散點(diǎn)相距為a.初始形狀皆為圓形,膜局部的A/B組分比等于平均組分比.

與前人的分子動力學(xué)的粒子模擬[20]相比較,上述方法具有以下優(yōu)勢和劣勢:首先,相比之粒子模擬其計(jì)算量更小,容易得到系統(tǒng)性的模擬結(jié)果;其次,之前的分子動力學(xué)模擬一般主要用于考察形變動力學(xué)過程,而本文方法主要用于考察其平衡態(tài)形態(tài);最后,上述方法存在其目前仍是一個二維模型的不足.

3 結(jié)果與討論

3.1 典型動力學(xué)演化過程

圖2給出了兩組分帶電囊泡一個典型的動力學(xué)演化過程,它分別展示了不同時刻囊泡形狀以及A組分濃度分布.囊泡形態(tài)圖中的紅色代表帶電組分(A)富集區(qū),藍(lán)色代表B富集區(qū).具體參數(shù)設(shè)置見圖例.

從圖2可見,t=0時,帶電組分A和組分B大致均勻分布于囊泡(各個離散點(diǎn)處?A=?B=0.5),故帶電組分含量分布線呈現(xiàn)一條直線,此時囊泡呈圓形.由于此時初始組分濃度處于相圖spinodal線之內(nèi),若不帶電將發(fā)生spinodal decomposition相分離,從圖2(b)—(d)發(fā)現(xiàn),在此電量條件下,靜電相互作用并沒有完全改變相分離動力學(xué)的類型,動力學(xué)仍然沿spinodal decomposition進(jìn)行.往后逐漸發(fā)生相區(qū)融合增長,最終囊泡形成了(6+6)個相區(qū)(圖2(i)),即6個A組分富集區(qū)和6個B組分富集區(qū),注意這些相區(qū)將不再繼續(xù)融合,故由于靜電的長程相互作用,使得兩組分帶電囊泡相分離呈現(xiàn)微觀相分離.易發(fā)現(xiàn),帶電的組分A主要集中在彎曲的部分,而不帶電的B組分膜顯得平直.組分A集中在彎曲部分并不是因?yàn)閹щ妼?dǎo)致A組分膜剛性變小了,相反因?yàn)殪o電排斥作用其表觀剛性變大了;它彎曲是相對于組分B變得平直而言,而B組分變平直主要是因?yàn)椴煌瑤щ夾相區(qū)間的靜電排斥作用所致,只有B組分變平直才可能使不同的帶電A相區(qū)相互遠(yuǎn)離對方,以降低體系的自由能.

3.2 溫度影響與相圖

在Ginzburg-Landau自由能里,唯象系數(shù)a2與體系溫度T有關(guān)(比如a2=c(T?Tc)),一般溫度越高a2越小.我們通過改變a2研究溫度對相行為的影響.

圖3中藍(lán)色曲線為電中性兩組分囊泡上兩組分序參數(shù)?與唯象系數(shù)a2所組成的有序-無序相邊界線,可由混合自由能密度對?求極小得到.中間的U型區(qū)域?yàn)橄喾蛛x形成的有序相區(qū)域,在此相區(qū)域囊泡通過宏觀相分離分成兩相;兩邊類似三角的區(qū)域?yàn)椴话l(fā)生相分離的無序相區(qū)域.觀察藍(lán)色的曲線可以得出如下結(jié)論:當(dāng)a2較小時或溫度較高時,兩組分互溶性較好,無相分離發(fā)生;a2較大時或溫度較低時發(fā)生分相.

圖3中紅色曲線為帶電兩組分囊泡模型中的有序-無序相分離邊界線.由于電荷的引入,囊泡自身的靜電排斥作用使囊泡上的電荷難以聚集,因此不利于相分離現(xiàn)象的發(fā)生,所以帶電囊泡的有序相區(qū)域變窄了;相反地,靜電相互作用增加兩種組分間的互溶性.例如當(dāng)a2=0.3時,對于非帶電兩組分囊泡而言,兩組分的序參量(?=?A(s)??B(s))處于[?0.86,0.86]之間可以發(fā)生分相,而對于帶電兩組分囊泡而言,兩組分的序參量處于[?0.67,0.67]之間才能分相.注意,與中性兩組分相圖不同,紅色曲線左右并不完全對稱(見3.3節(jié)討論).

圖2 帶電兩組分囊泡相分離隨時間的演化過程(參數(shù)設(shè)置為L=200 a,a2=a4=0.2,κ=0.1kBT,ρA=?1.0 e/a2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q= ?100 e/a)Fig.2.The dynamical evolution of phase separation of a two-component charged vesicle.Parameter setting:L=200 a,a2=a4=0.2,κ =0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q= ?100 e/a.

圖3 非帶電兩組分囊泡與帶電兩組分囊泡的相圖(參數(shù)設(shè)置:a4=0.2,L=200 a,κ=0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2)Fig.3.The phase diagram of two-component electricalneutral vesicle and charged vesicle.Parameter setting:a4=0.2,L=200 a,κ=0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2.

圖4給出了帶電組分含量〈?A〉=0.5(即序參量?=0),a2分別為0.2,0.4,0.6,0.8和1.0時囊泡的相分離情況.囊泡上相區(qū)的數(shù)目隨著a2的增加而增加.當(dāng)a2為0.2時囊泡上分為(6+6)個相區(qū);當(dāng)a2為0.4時囊泡上分為(14+14)個相區(qū);當(dāng)a2為0.6時囊泡上分為(18+18)個相區(qū);當(dāng)a2為0.8時囊泡上分為(21+21)個相區(qū);當(dāng)a2為1.0時囊泡上分為(23+23)個相區(qū).囊泡形狀下方為囊泡所對應(yīng)的帶電組分的分布情況.當(dāng)a2較小時,囊泡上的相區(qū)數(shù)目較少;隨著a2的增加,囊泡上相區(qū)數(shù)目逐漸增多,相區(qū)尺寸變小.即溫度的降低,使得相分離越來越呈現(xiàn)微相分離的趨勢.

圖4 不同唯象系數(shù)a2或溫度對帶電兩組分囊泡相分離的影響(參數(shù)設(shè)置:a4=0.2,L=200 a,κ=0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q= ?100 e/a)(a)–(e)a2 分別為0.2,0.4,0.6,0.8和1.0Fig.4.In fluences of phenomenological coeffcient a2or temperature on the final con figurations of the two-component charged vesicle.Parameter setting:a4=0.2,L=200 a,κ =0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q=?100 e/a.a2from(a)to(e)is set to 0.2,0.4,0.6,0.8 and 1.0,respectively.

圖5 不同帶電組分含量〈?A〉對兩組分帶電囊泡相分離的影響(參數(shù)設(shè)置:L=200 a,κ=0.1kBT,ρA= ?1.0 e/a2,a2=a4=0.2,Q= ?100 e/a)(a)–(j)〈?A〉分別為0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9和1.0Fig.5.In fluence of the charged concentration 〈?A〉on the phase separation.Parameter setting:L=200 a,κ=0.1kBT,ρA=?1.0 e/a2,a2=a4=0.2,Q=?100 e/a,〈?A〉from(a)to(j)is set to 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9 and 1.0,respectively.

3.3 帶電組分含量〈?A〉的影響

影響囊泡相分離的因素較多,例如:體系的溫度、囊泡兩組分含量之比、兩相界面之間的線張力、自發(fā)曲率等.在圖3相圖中發(fā)現(xiàn)序參量?絕對值越大(兩組分的含量差越大)越難發(fā)生相分離.為進(jìn)一步細(xì)致探究該因素影響,圖5(a)—(j)分別考察囊泡中兩組分含量之比分別為1:9,2:8,3:7,4:6,5:5,6:4,7:3,8:2,9:1和10:0的情形.

帶電組分含量較低時(圖5(a)和圖5(b)),囊泡不發(fā)生相分離,所有的組分依然均勻地混合在一起;當(dāng)兩組分的比例為3:7時(圖5(c)),囊泡開始發(fā)生相分離,此時生成(3+3)個相區(qū)域;當(dāng)帶電組分含量繼續(xù)增加時,囊泡所形成的相區(qū)也越來越多,當(dāng)帶電組分含量與非帶電組分含量相等(圖5(e))時囊泡分為了(6+6)個相區(qū);隨著囊泡帶電組分含量的繼續(xù)增加,囊泡所形成的相區(qū)又相應(yīng)地減少(圖5(f)和圖5(g));當(dāng)帶電組分的含量大于等于0.8時,囊泡便不再發(fā)生相分離行為.

注意到分相行為并不完全關(guān)于〈?A〉=0.5或組分比例(5:5)對稱,比如當(dāng)組分比例為4:6時呈現(xiàn)(6+6)相區(qū),而在其對稱組分比6:4則只有(4+4)相區(qū).

3.4 帶電組分電荷密度的影響

帶電組分的電荷密度ρA也是影響兩組分帶電囊泡相分離的一個重要因素.相同帶電組分含量的情況下,帶電組分的電荷密度越大,囊泡上所帶的總電量也就越大.表1列出了不同電荷密度下囊泡上的相區(qū)數(shù)目,表1中的編號(a)—(e)對應(yīng)于圖6(a)—(e).

表1 不同電荷密度ρA時囊泡的相分離情況Table 1.In fluence of charge densities.

圖6 不同電荷密度下囊泡相分離的情況(參數(shù)設(shè)置為:L=200 a,κ=0.1kBT,a2=a4=0.2,〈?A〉= 〈?B〉=0.5,Q=?100 e/a)(a)–(e)ρA分別為?1.0 e/a2,?1.5 e/a2,?2.0 e/a2,?2.5 e/a2和?3.0 e/a2Fig.6.Phase separation of vesicles with different charge densities.Parameter settings:L=200 a, κ =0.1kBT,a2=a4=0.2,〈?A〉=〈?B〉=0.5,Q= ?100 e/a,ρAfrom(a)to(e)is set to?1.0,?1.5,?2.0,?2.5 and?3.0 e/a2,respectively.

如圖6所示,隨著囊泡上帶電組分電荷密度的增加,囊泡相分離形成的相區(qū)數(shù)目越多.但是在上述條件下,每個相區(qū)的帶電組分含量(圖6(f)—(j))有所降低.這是因?yàn)樵谙嗤瑤щ娊M分含量時,隨著電荷密度的增加,囊泡自身所帶的電量越大,囊泡上自身的靜電排斥作用也就越強(qiáng),因此更傾向于形成更多的相區(qū)來減小自身的靜電排斥作用.由于囊泡整體的帶電組分含量不變,因此每個區(qū)域的帶電組分含量也有所減小,所以帶電組分含量的分布峰的高度隨著電荷密度的增加(相區(qū)的增多)而有所降低.

4 結(jié) 論

本文用離散空間變分法結(jié)合耗散動力學(xué)對二維兩組分帶電囊泡相分離進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.主要考察了靜電相互作用對兩種組分表觀相溶性的協(xié)調(diào)機(jī)制.發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩種組分原本略微不相溶、但仍會發(fā)生同組分團(tuán)聚或相分離現(xiàn)象時,靜電相互作用可完全抑制相分離,避免同種組分的團(tuán)聚;而當(dāng)兩種組分原本就較不相溶或溫度較低時,靜電相互作用會顯著增加相區(qū)數(shù)目,使其呈微觀相分離,從而避免了同種組分大范圍的團(tuán)聚.此研究結(jié)論定性地適用于三維兩組分帶電囊泡,并對理解一些生命現(xiàn)象有重要啟發(fā).

[1]Ouyang Z C,Helfrich W 1987 Phys.Rev.Lett.59 2486

[2]Lim H W G,Wortis M,Mukhopadhyay R 2002 Proc.Natl.Acad.Sci.USA 99 16766

[3]Mukhopadhyay R,Gerald L H W,Wortis M 2002 Biophys.J.82 1756

[4]Yang F Y,Halidan J M H,Jiang Z Y 2014 J.Atom.Mol.Phys.31 677(in Chinese)[楊方源,哈麗旦·居馬汗,蔣中英2014原子與分子物理學(xué)報(bào)31 677]

[5]Li J F,Zhang H D,Qiu F 2013 J.Phys.Chem.B 117 843

[6]Liang X Y,Li L,Qiu F,Yang Y L 2010 Physica A 389 3965

[7]Li L,Liang X Y,Lin M Y,Qiu F,Yang Y L 2005 J.Am.Chem.Soc.127 17996

[8]Lipowsky R 1992 J.de Physique II 2 1825

[9]Jülicher F,Lipowsky R 1993 Phys.Rev.Lett.70 2964

[10]Leibler S 1986 J.Phys.47 507

[11]Seifert U 1993 Phys.Rev.Lett.70 1335

[12]J?rgensen K,Klinger A,Raiman M,Biltonen R L 1996 J.Phys.Chem.100 2766

[13]J?rgensen K,Mouritsen O G 1999 Thermochim.Acta 328 81

[14]Sunil-Kumar P B,Gompper G,Lipowsky R 2001 Phys.Rev.Lett.86 3911

[15]Yamamoto S,Hyodo S 2003 J.Chem.Phys.118 7937

[16]Laradji M,Sunil Kumar P B 2004 Phys.Rev.Lett.93 198105

[17]Taniguchi T 1996 Phys.Rev.Lett.76 4444

[18]Sinha K P,Thaokar R M 2016 Eur.Phys.J.E 39 73

[19]Li J F,Zhang H D,Qiu F,Yang Y L,Chen J Z Y 2015 Soft Matter 11 1788

[20]Ito H,Higuchi Y J 2016 Phys.Rev.E 94 042611

[21]Li J F,Zhang H D,Qiu F,Yang Y L 2005 Acta Phys.Sin.54 4000(in Chinese)[李劍鋒,張紅東,邱楓,楊玉良2005物理學(xué)報(bào)54 4000]

[22]Li J F,Zhang H D,Qiu F,Shi A C 2013 Phys.Rev.E 88 012719

[23]Guo K K 2005 Ph.D.Dissertation(Shanghai:Fudan University)(in Chinese)[郭坤琨 2005博士學(xué)位論文 (上海:復(fù)旦大學(xué))]

[24]Li J F,Zhang H D,Tang P,Qiu F,Yang Y L 2006 Macromol.Theory Simul.15 432

[25]Xia B K,Li J F,Li W H,Zhang H D,Qiu F 2013 Acta Phys.Sin.62 248701(in Chinese)[夏彬凱,李劍鋒,李衛(wèi)華,張紅東,邱楓2013物理學(xué)報(bào)62 248701]

[26]Helfrich W 1973 Z.Naturforsch.C 28 693