分析高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧

王安寧

（山西省沁水中學(xué)校，山西 沁水）

一、高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧

（一）平行、垂直位置關(guān)系的論證的策略

1.從已知概念的性質(zhì)出發(fā)，有問(wèn)題去想判定的方法，即分析方法和綜合方法，找到解題的方法。

2.解決問(wèn)題的常用方法之一是利用問(wèn)題設(shè)置條件的性質(zhì)適當(dāng)?shù)卦黾虞o助線（或表面）。

3.高考中最常用的三垂線定理及其逆定理，在證明直線垂直時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮。

（二）空間角的計(jì)算方法與技巧

1.由兩條不同直線形成的角度：①水平法；②補(bǔ)體法；③向量法。

2.由直線和平面形成的角度。直線和平面之間的角度的關(guān)鍵是作垂直線，在同一三角形中找到投影計(jì)算，或者使用向量計(jì)算以及用公式計(jì)算。

3.二面角：（1）平面角的作法：①定義方法；②三垂線定理及其逆定理；③垂直法。（2）平面角計(jì)算方法：①求平面角，然后計(jì)算（求解三角形）或使用向量計(jì)算；②投影面積法；③向量角公式。

（三）空間距離的計(jì)算方法與技巧

1.求點(diǎn)到直線的距離：三垂線定理通常用于從一點(diǎn)到一條直線形成一條垂直線，然后求解相關(guān)三角形，同時(shí)也可以用面積相等求出點(diǎn)到直線的距離。

2.求兩條異面直線間距離：一般先找到公垂線，然后求公垂線的長(zhǎng)度。如果不能直接作出公垂線的情況（在這種情況下，不需要納入大學(xué)入學(xué)考試），則可以將其轉(zhuǎn)換成線面距離求解。

3.求點(diǎn)到平面的距離：一般找出（或作出）一個(gè)垂直于已知平面的平面，利用面面的垂直性質(zhì)使平面垂直，然后計(jì)算；也可以使用“三棱錐體積法”直接求距離。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來(lái)求解，從而解決了這個(gè)問(wèn)題。

（四）立體幾何讀題

1.找出圖形幾何是什么，規(guī)則的、不規(guī)則的、組合的等。

2.理解幾何學(xué)的結(jié)構(gòu)特征。表面、線條和線條之間的關(guān)系（平行、垂直和相等）是什么？

3.重點(diǎn)留意有哪些面面垂直、線面垂直，線線平行、線面平行等。

（五）解題程序劃分為四個(gè)過(guò)程

1.看看發(fā)生了什么事。所謂的“求證題”的已知是什么？條件是什么？什么是未知的？結(jié)論是什么？這就是我們經(jīng)常談?wù)摰脑掝}。

2.制訂一個(gè)計(jì)劃。找出與未知的直接或間接聯(lián)系。在闡明問(wèn)題的意義的基礎(chǔ)上，我們可以捕捉有用的信息，提取相關(guān)信息并及時(shí)記憶其中的有關(guān)信息，然后對(duì)兩組信息資源進(jìn)行邏輯組合，以構(gòu)思一個(gè)成功的計(jì)劃，這就是我們所說(shuō)的思考。

3.計(jì)劃的實(shí)現(xiàn)。為了表達(dá)解決簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確、有序的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)問(wèn)題的思想，驗(yàn)證了該解的合理性，這就是我們想討論的問(wèn)題。

4.復(fù)習(xí)。對(duì)結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證，總結(jié)了解決問(wèn)題的方法。

二、高中數(shù)學(xué)立體幾何的例題解題技巧分析

例.如圖1，設(shè)ABC-A1B1C1是直三棱柱，F(xiàn)是A1B1的中點(diǎn)，且AB=2AA1=2a，AC=BC=

圖1

圖2

（1）求證：AF⊥A1C；

（2）求二面角C-AF-B的大小。

分析：先來(lái)看第（1）問(wèn)，我們“倒過(guò)來(lái)”分析。如果已經(jīng)證得AF⊥A1C，則注意到因?yàn)锳B=2AA1=2a，ABC-A1B1C1是直三棱柱，若設(shè)E是AB的中點(diǎn)，就有A1E⊥AF，即AF⊥平面A1CE。那么，如果我們能夠先證明AF⊥平面A1CE，就可以證得AF⊥A1C，而這可由CE⊥平面AA1B1B立得。

再來(lái)看第（2）問(wèn)。為計(jì)算二面角C-AF-B的大小，我們需要找到二面角C-AF-B的平面角。由前面的分析知，CE⊥平面AA1B1B，而A1E⊥AF，所以，若設(shè)G是AF與A1E的中點(diǎn)，則∠CGE即為二面角C-AF-B的平面角，再計(jì)算△CGE各邊的長(zhǎng)度，即可求出所求二面角的大小。

解：（1）如圖 2，設(shè) E 是 AB 的中點(diǎn)，連接 CE，EA1。由 ABCA1B1C1是直三棱柱，知AA1⊥平面ABC，而CE在平面ABC上，所以 CE⊥AA1。

∵AB=2AA1=2a，∴AA1=a，AA1⊥AE，知 AA1FE 是正方形，從而AF⊥A1E。而A1E是A1C在平面AA1FE上的射影，故AF⊥A1E。

（2）設(shè)G是AF與A1E的中點(diǎn)，連接CG。因?yàn)镃G⊥平面AA1B1B，AF⊥A1E，由三垂線定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角 C-AF-B 的平面角.∵AA1FE 是正方形