“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

郝變花

（深圳中學(xué)，廣東 深圳）

一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析

1.教學(xué)內(nèi)容：

（1）拋物線的概念；

（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.內(nèi)容解析：

解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法思想.

拋物線是圓錐曲線的一種，是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容.這一內(nèi)容不僅要求學(xué)生掌握拋物線的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程，更重要的是使學(xué)生明確曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握求曲線方程的一般過程，體會(huì)用方程研究曲線的坐標(biāo)法思想.

二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.教學(xué)目標(biāo)：

（1）從具體問題情境中抽象出研究模型，形成拋物線的概念.

（2）通過建立坐標(biāo)系，求出拋物線的方程.

（3）體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想.

2.目標(biāo)解析：

拋物線的概念及其方程是本節(jié)課應(yīng)使學(xué)生掌握的基本知識(shí)，但是依附在這些知識(shí)上的坐標(biāo)法思想?yún)s是更為重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容.因此，我們?cè)O(shè)計(jì)具體的問題情景，不僅又一次讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)研究過程中模型提煉的過程，而且更突出了曲線方程在研究曲線及其性質(zhì)中的重要作用，并使拋物線的概念引出變得自然.

在求拋物線方程的過程中，我們沒有先設(shè)定如何建立直角坐標(biāo)系，而是讓學(xué)生根據(jù)自己的理解去完成建立坐標(biāo)系并求出方程的過程.這樣做的目的，不僅是為了獲得拋物線的四種不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，而且可以通過比較不同的建立直角坐標(biāo)系的方式，使學(xué)生體會(huì)到利用曲線的對(duì)稱性建立直角坐標(biāo)系會(huì)使曲線方程最簡(jiǎn)單，并由此得出建立直角坐標(biāo)系的一般性原則.

三、教學(xué)問題診斷分析

1.人們?yōu)槭裁囱芯繏佄锞€？如何激起學(xué)生的研究興趣與熱情？這是教學(xué)中應(yīng)該考慮的問題.教科書是通過設(shè)置“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目，讓學(xué)生由此體會(huì)拋物線的生成過程，并由此引出拋物線的概念.盡管這樣做會(huì)使教學(xué)過程通暢，但不容易讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲.為解決這一教學(xué)問題，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)具體的問題情境，不僅可以由此激發(fā)學(xué)生的興趣，而且又一次使學(xué)生經(jīng)歷了抽象概括數(shù)學(xué)研究問題（探求“平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于到一條定直線的距離的點(diǎn)的軌跡”）的過程.

2.如何在平面內(nèi)作出滿足條件“到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于到一條定直線的距離”的點(diǎn)是教學(xué)中可能遇上的第二個(gè)教學(xué)問題.教學(xué)中，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生點(diǎn)到直線的距離實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，而平面幾何中涉及一個(gè)點(diǎn)到另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等的現(xiàn)象有等腰三角形的兩腰、已知線段的垂直平分線，等等.在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，可引導(dǎo)學(xué)生從滿足條件的點(diǎn)的幾何特征尋求作圖過程.

3.學(xué)生可能會(huì)根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)或預(yù)習(xí)得知滿足條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線，但如何使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這種做法不可靠，不符合數(shù)學(xué)研究的基本要求，這是教學(xué)中須重視的第三個(gè)問題.教學(xué)中要對(duì)學(xué)生的想法進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，使他們回歸到用方程進(jìn)行軌跡判定的思維軌道上來，這也是教學(xué)的重點(diǎn).

4.如何建立直角坐標(biāo)系？這是第四個(gè)教學(xué)問題，也是教學(xué)的難點(diǎn).教學(xué)中要讓學(xué)生獨(dú)立尋求方程，通過比較不同坐標(biāo)系下所得方程的簡(jiǎn)單程度，得出建立直角坐標(biāo)系的一般原則.

四、教學(xué)支持條件

1.從方法上講，橢圓、雙曲線的研究過程是研究拋物線的基礎(chǔ)，是學(xué)生認(rèn)知與思考的重要支持條件.

2.為了解學(xué)生的思考狀態(tài)，比較并評(píng)價(jià)學(xué)生所獲得的結(jié)果，需要準(zhǔn)備實(shí)物投影儀、投影機(jī)；為動(dòng)態(tài)演示拋物線的形成過程，需要用到幾何畫板軟件；為便于比較學(xué)生所作的圖形，需要印制統(tǒng)一的作圖紙；為方便紀(jì)錄學(xué)生的不同答案，需準(zhǔn)備移動(dòng)白板、白板書寫筆.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

［情境］ 邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形ABCD內(nèi)，到中心O的距離小于到邊的距離的點(diǎn)所組成的圖形記為S，正方形內(nèi)除S以外的點(diǎn)所組成的圖形記為T，你認(rèn)為S與T哪個(gè)面積大？

意圖：激發(fā)學(xué)生的研究興趣，提煉拋物線的研究模型.

師生活動(dòng)：教師給出問題后讓學(xué)生思考，使學(xué)生明確S與T的邊界是解決問題的關(guān)鍵.可讓學(xué)生猜想邊界的形狀，并進(jìn)一步明確S與T的邊界上的點(diǎn)應(yīng)滿足幾何條件：到中心O的距離等于到相應(yīng)邊的距離.

［問題1］ 在平面內(nèi)利用尺規(guī)作圖，你能作出多少個(gè)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)？

圖1

圖2

意圖：使學(xué)生通過畫一些具體的點(diǎn)，體會(huì)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，并為猜測(cè)、驗(yàn)證點(diǎn)的軌跡類型提供基礎(chǔ).更重要的是使學(xué)生通過“找出一些具體的點(diǎn)，獲得作點(diǎn)的一般方法，并由此作出更多的點(diǎn)，從而得出點(diǎn)的軌跡”，體會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般過程.

師生活動(dòng)：讓學(xué)生作出一些符合條件的點(diǎn)，然后展示學(xué)生的作圖情況，讓學(xué)生交流獲得點(diǎn)的方法.教師在點(diǎn)評(píng)學(xué)生作圖基礎(chǔ)上，總結(jié)出一般的作圖方法：在直線l上找一個(gè)點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線l的垂線，再作線段FB的中垂線，這兩條直線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P滿足到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離相等.教師提出問題：采用這樣的方法，我們可以得到多少個(gè)符合條件的點(diǎn)？教師用幾何畫板演示作圖過程，得出軌跡的圖示.

教師在這里還要提醒學(xué)生研究點(diǎn)在直線上的情形（此時(shí)動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡是過點(diǎn)且垂直于直線的直線），為后面給出拋物線的定義作準(zhǔn)備.

圖3

圖4

［問題2］ 問題1中的軌跡是什么曲線？你能說說理由嗎？

意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì).

師生活動(dòng)：讓學(xué)生回答他們的判斷.第一種可能的回答是拋物線.

第二種可能的回答是橢圓的一部分，或雙曲線的一部分.

無論哪一種回答，教師都要追問他們?yōu)槭裁?，如果學(xué)生不能想到用方程來判斷軌跡的類型，教師可以給出一些方程讓學(xué)生想想是什么圖形.最后要讓學(xué)生明確：通過求軌跡的方程，可以判斷曲線的類型.

［問題3］ 你會(huì)怎樣建立直角坐標(biāo)系，求出問題1中的軌跡的方程呢？

意圖：讓學(xué)生獨(dú)立獲取軌跡的方程，體會(huì)建立直角坐標(biāo)系的方法，并由得到的方程認(rèn)識(shí)軌跡.

師生互動(dòng)：（1）讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)建立坐標(biāo)系，并求出相應(yīng)的方程.

（2）教師展示幾個(gè)有代表性的建系方法及所求出的方程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察分析，發(fā)現(xiàn)方程是不同于橢圓或雙曲線的方程的，所以問題1中的曲線既不是橢圓的一部分，也不是雙曲線的一支，它是另外一種曲線.

［問題4］ 你會(huì)怎樣給上面的軌跡下定義？它的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？

意圖：獲得拋物線的定義，形成拋物線的概念.

師生互動(dòng)：（1）請(qǐng)學(xué)生表述拋物線的定義，教師在學(xué)生的表達(dá)基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納總結(jié).

（2）分析學(xué)生在問題3中得出的方程，找出最簡(jiǎn)單的方程，分析其特點(diǎn)，并由此得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（3）同學(xué)交流合作，將四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程寫出來.讓學(xué)生同桌互相檢查，得出正確的結(jié)果.

（4）讓學(xué)生觀察拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，獲取它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn).

（5）提問學(xué)生：你能說明二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象為什么是拋物線嗎？請(qǐng)指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.

［問題5］ 請(qǐng)完成下列問題：

（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

意圖：使學(xué)生體會(huì)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.

［問題6］ 你能由上面的研究過程總結(jié)一下我們是如何研究點(diǎn)的軌跡的嗎？

意圖：進(jìn)行本節(jié)課的小結(jié)，提出進(jìn)一步研究的問題.師生活動(dòng)：

（1）教師讓學(xué)生思考，可以視情況讓學(xué)生適當(dāng)?shù)乇硎鲎约旱南敕ā?/p>

（2）教師提出：本節(jié)課我們是如何驗(yàn)證自己的猜想的？

幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到：本節(jié)課不僅學(xué)習(xí)了拋物線的知識(shí)，更重要的是又一次體會(huì)了利用方程研究曲線的坐標(biāo)法思想.

（3）讓學(xué)生回顧自己獲取拋物線方程的過程，體會(huì)不同坐標(biāo)系下方程形式的不同，并由此認(rèn)識(shí)并掌握建立直角坐標(biāo)系的一般原則.

（4）回到最初的情境：邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形ABCD內(nèi)，到中心O的距離小于到邊的距離的點(diǎn)所組成的圖形記為S，S的邊界是什么曲線？有興趣的同學(xué)回去可以研究一下圖形S的面積，對(duì)于這樣一類新的圖形面積是否需要探求新的求解方法.

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

（1）73頁，A組第1題、第4題.

意圖：鞏固落實(shí)今天的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握拋物線的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）74頁，B組第3題.

意圖：使學(xué)生體會(huì)“坐標(biāo)法”的應(yīng)用.

（3）姚明有一次投籃時(shí)，測(cè)得投籃的軌跡是拋物線，已知拋物線最高點(diǎn)離地面距離為4米，籃筐高為3米，籃筐中心距離最高點(diǎn)的水平距離為2米.請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).要想計(jì)算出姚明與籃筐中心的水平距離，你還需要知道什么條件？