基于區(qū)域平均燃料消耗的推力器配置問題

王 敏，王思野

0 引 言

以推力器為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的反作用控制系統(tǒng)，由于其對各種飛行任務(wù)較強(qiáng)的適應(yīng)性，成為了航天器系統(tǒng)構(gòu)成中及其重要的分系統(tǒng)，其性能的好壞直接影響到整個控制器的使命[1].由于推力器相對飛行器是固定安裝的，其產(chǎn)生的推力矢量和控制力矩矢量僅取決于推力器安裝的位置和傾角，所以單個推力器產(chǎn)生的控制量在本體系中的方向是固定的.一般航天器會安裝多個推力器，通過其作用的組合來實(shí)現(xiàn)任意的合控制力和力矩，這種組合就是推力器的控制指令分配問題.

推力器的配置一般是指飛行器上配備的所有推力器的數(shù)量、推力大小、安裝位置和指向等[1].將每個推力器在本體系三軸方向產(chǎn)生的力和力矩分量作為一個列向量，由配置中所有推力器列向量組成的矩陣，就稱為推力器的配置矩陣.它包含了配置中推力器的安裝位置和指向等信息.推力器的配置一旦確定，其性能的好壞將直接影響控制算法的精度、燃耗等性能指標(biāo)，從而影響到控制任務(wù)的順利執(zhí)行.故推力器配置的性能分析對于控制任務(wù)設(shè)計階段不同配置的性能比較和選擇以及配置的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計來說都具有重要意義.

以往對推力器配置的性能分析主要集中在配置的控制能力分析[2-4]，以及配置對于推力器故障情況的冗余度分析等方面[4-6].配置的控制能力分析是配置能否完成任務(wù)的基本保障，而對冗余度的分析則反映了配置在推力器故障情況下的可靠性.對于一個給定的任務(wù)，不同的推力器配置采用相同的指令分配算法，其得到的燃料消耗也是不同的.文獻(xiàn)[7]提出一個性能指標(biāo)，用來衡量同樣任務(wù)同樣指令分配方法情況下，不同推力器配置造成的燃料消耗差異，即推力器配置燃料消耗的相對大小，但是在控制矢量的分布函數(shù)選擇方面有待改進(jìn)，并且對于六維控制任務(wù)采用拆分為力和力矩單獨(dú)評價的方式.本文提出區(qū)域平均燃料消耗指標(biāo)，對于三維和六維的控制任務(wù)，都能通過積分給出控制任務(wù)總體平均燃料消耗的度量方法，從而知道推力器配置的優(yōu)化設(shè)計.

1 問題描述

以燃料消耗為代價函數(shù)的控制指令分配問題如下：

ming=cΤt，s.t.At=u，t≥0

(1)

其中c=[c1c2，…，cN]T，cN為第N臺推力器單位工作時間消耗的推進(jìn)劑量；t=[t1t2，…，tN]T，tN代表第n臺推力器的開機(jī)工作時長.tN為待求解變量，非負(fù)約束(N個)表征推力器只能產(chǎn)生單向推力.

在實(shí)際控制任務(wù)中，推力器配置已定，軌道和姿態(tài)閉環(huán)控制過程中，不同的控制律產(chǎn)生的不同控制指令序列和不同的控制指令分配算法會導(dǎo)致不同的推進(jìn)劑消耗.而在方案設(shè)計論證階段，根據(jù)任務(wù)需求，在控制指令相對確定的情況下，不同的推力器配置則會產(chǎn)生不同的推進(jìn)劑消耗.通過提出一個指標(biāo)，來反映不同推力器配置陣針對控制指令區(qū)域合集的燃料消耗水平，則是本文的研究目的所在.

若要反映控制指令的空間分布在不同推力器配置下的性能，首先需要獲得反映控制指令分布的傾向，在空間中可用概率密度函數(shù)來進(jìn)行度量.但是實(shí)際的控制指令根據(jù)閉環(huán)的測算、反饋進(jìn)行調(diào)整的，因此很難獲得這種針對不同任務(wù)的控制指令分布函數(shù).但是，假設(shè)在一定的控制區(qū)域內(nèi)，控制指令不可預(yù)見，即完全隨機(jī).對于同一個推力器配置陣，應(yīng)用控制區(qū)域內(nèi)隨機(jī)的控制指令，經(jīng)控制指令分配后即可求解區(qū)域內(nèi)的平均燃料消耗水平.

2 區(qū)域平均燃料消耗指標(biāo)

為了保證歸一化的控制指令的隨機(jī)性，球面矢量選擇應(yīng)服從均勻分布，以單位球面上一點(diǎn)對應(yīng)的控制指令u=[uxuyuz]T為例，在球體坐標(biāo)系中有[ux=cosθsinφ,uy=sinθsinφ,uz=cosφ]，其中φ∈[-π/2,π/2]，θ∈[-π,π]為矢量u的俯仰角和方位角.由于球面微元面積為A=sinφdφdθ，可以看出球面上的矢量點(diǎn)與俯仰角非線性關(guān)系，是sinφ的函數(shù)，所以從均勻分布的俯仰角φ和方位角θ選取得到的矢量u并不服從均勻分布，矢量分布會集中在球面的兩極，從而無法表征出隨機(jī)控制指令分布.因此我們令γ=cosφ，得到dγ=sinφdφ，并改寫控制指令矢量u為

(2)

其中θ∈[-π,π]，γ∈[-1,1].若θ和γ服從均勻分布，則控制指令u服從均勻分布.由此得到區(qū)域平均燃料消耗指標(biāo)定義如下：

(2)

實(shí)際上，一組控制指令u對應(yīng)多個可行解里的其中一組基矩陣B，不同的u對應(yīng)不同的B.因此，可看成一種映射B=[b1(θ,γ)b2(θ,γ)b3(θ,γ)]T.這時燃料消耗g可表示為：

由于控制指令u的隨機(jī)性，很難獲得上述基矩陣B關(guān)于θ和γ的解析表達(dá)式.因此，采取分段積分的方式來逼近求得平均燃料消耗的積分值，即離散化積分區(qū)間進(jìn)行概率平均求和，由于積分變量θ和γ獨(dú)立，因此分割區(qū)間的選取可以分別進(jìn)行，假設(shè)將方位角θ和γ按h等分，等分的份數(shù)決定積分的準(zhǔn)確性，同時會影響積分的運(yùn)算復(fù)雜度.

前文的分析是基于球體的三維坐標(biāo)系，平均燃料消耗可以直接映射到三維位置或姿態(tài)控制任務(wù)的情況，這時控制矢量u為三維推力矢量或者三維力矩矢量.在需要進(jìn)行六維軌道和姿態(tài)同時控制的情況下，控制矢量u=[uF(θF,γF)uM(θM,γM)]T.其中，uF為三軸推力矢量，uM為三維力矩矢量.由于控制指令的隨機(jī)性，可以認(rèn)為控制力矢量和控制力矩矢量是完全獨(dú)立的，可以通過球面坐標(biāo)的四重積分獲得六維控制指令區(qū)域平均燃料消耗指標(biāo)計算公式如下：

其中ΩF和ΩM為相應(yīng)力和力矩控制矢量分布區(qū)域，軌道和姿態(tài)同時控制所產(chǎn)生的單次推進(jìn)最小燃料消耗g(θF,θM,γF,γM)是如下線性規(guī)劃問題的解：

(3)

其中A6d代表六維推力器配置陣.

3 算例分析和優(yōu)化思路

3.1 算例分析

以三維姿態(tài)控制為例進(jìn)行分析，六維控制可以照此進(jìn)行計算和分析，僅計算過程會相對復(fù)雜，這里不再贅述.現(xiàn)有6個推理器配置陣A1，A2，A3，A4，A5和A6如表1～6所示，推力器和力矩為歸一化后的值.可以看出，推力器配置通過A+B的發(fā)動機(jī)配對使用消除力的作用，產(chǎn)生純力矩進(jìn)行三維姿態(tài)控制.不同的安裝位置使得配置陣的力矩的矢量方向有所不同，如圖1～6所示,驗(yàn)證比較在同一個控制指令區(qū)域的燃料消耗.

表1 推力器配置A1Tab.1 Thruster configuration A1

表2 推力器配置A2Tab.2 Thruster configuration table A2

表3 推力器配置A3Tab.3 Thruster configuration table A3

表4 推力器配置A4Tab.4 Thruster configuration table A4

根據(jù)基于最優(yōu)基的最優(yōu)查表法[8]，可以得到其最優(yōu)推力器組合表.

表5 推力器配置A5Tab.5 Thruster configuration table A5

表6 推力器配置A6Tab.6 Thruster configuration table A6

圖1 A1力矩矢量分布Fig.1 Moment distribution of A1

圖2 A2力矩矢量分布Fig.2 Moment distribution of A2

圖3 A3力矩矢量分布Fig.3 Moment distribution of A3

圖4 A4力矩矢量分布Fig.4 Moment distribution of A4

圖5 A5力矩矢量分布Fig.5 Moment distribution of A5

根據(jù)上述初始條件及仿真方法，計算得到不同推力器配置在該指令區(qū)域均勻分布情況下的平均燃料消耗指標(biāo)如表8所示.可以看到不同的推力器配置陣，區(qū)域平均的燃料消耗差異巨大，平均燃料消耗最大的A1燃料消耗最小A5的結(jié)果相差近27倍.

表7 最優(yōu)推力器組合表Tab.7 Optimal Thruster combination table

圖7 控制指令空間分布Fig.7 Distribution of command vectors

推力器配置陣A1A2A3A4A5A6平均燃耗CΩ31.21.354.094.181.164.89

3.2 優(yōu)化思路

針對某一特定控制任務(wù)，通過進(jìn)行細(xì)致的分析和仿真，從時間和空間上對控制指令的分布進(jìn)行劃分.由于我們求解的是均勻分布的平均燃料消耗，不需要精確的分布函數(shù)，只需要對任務(wù)進(jìn)行方向區(qū)域的大致統(tǒng)計和劃分，獲得力和力矩六維控制指令積分變量θF,γF,θM,γM的區(qū)域范圍.推力器配置陣可以根據(jù)已有的推力器安裝位置、額定推力大小和約束等等信息，并根據(jù)需要的指令幅值方向和大小進(jìn)行初步的設(shè)計，也可采用并參考現(xiàn)有推力器布局方式形成原始推力器配置陣，然后通過如下多目標(biāo)規(guī)劃對推力器配置陣的取值進(jìn)行遍歷和優(yōu)化，最終選定一組具有最小平均燃料消耗的推力器配置陣.假設(shè)任務(wù)總時長為T，分段任務(wù)時間為Tl，配置優(yōu)化總模型可寫為如下形式：

4 結(jié) 論

本文提出了區(qū)域平均燃料消耗指標(biāo)，從時間和空間上對控制控制任務(wù)進(jìn)行劃分，把控制力和力矩矢量映射到單位球面上，針對三維和六維控制任務(wù)，分別給出了平均燃料消耗的計算方法.所提出的指標(biāo)和優(yōu)化思路可廣泛適用于各種已有推力器配置的性能分析，對不同推力器配置的性能比較，推力器配置方案的選擇以及推力器配置的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計都具有指導(dǎo)意義和參考價值.

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