基于長方體禁飛區(qū)的安全繞飛軌跡設(shè)計*

梁靜靜，解永春,2

0 引 言

交會對接技術(shù)可用于在軌組裝大型航天器、實現(xiàn)軌道平臺或空間站的補給、進行航天器在軌維修、人員更換等.一般包括以下幾個階段：遠(yuǎn)程導(dǎo)引段、尋的段、接近段(含繞飛段)、最后逼近段和對接段.神舟八號、神舟九號、神舟十號與天宮一號交會對接任務(wù)的圓滿完成意味著我國已經(jīng)初步掌握了空間交會對接技術(shù)，也標(biāo)志著我國載人航天三步走的戰(zhàn)略規(guī)劃已成功邁出了兩步.目前載人航天三期工程已經(jīng)啟動，未來空間站(目標(biāo)器)的對接口可能不僅僅局限于左、右兩方向上[1]，此時需要進行繞飛機動以捕獲對接軸.考慮到繞飛段兩航天器的距離只有幾百米，研究以保證安全性為前提的繞飛軌跡設(shè)計問題具有一定意義.

文獻(xiàn)[1]提出滿足轉(zhuǎn)移時間、速度增量、制導(dǎo)方法及導(dǎo)航設(shè)備等各方面要求的從切向方向至徑向方向或側(cè)向方向的幾種不同繞飛轉(zhuǎn)移方式.文獻(xiàn)[2-3]針對以捕獲對接軸為目的90°雙脈沖繞飛問題進行安全控制研究，給出了安全繞飛軌跡對應(yīng)的初始偏差范圍以及推力器偏差極限值，并確定了滿足多種約束條件的繞飛時間范圍，同時對不滿足被動安全性要求的軌跡設(shè)計了閉環(huán)PD控制，最后針對初始條件偏差情況設(shè)計了避撞機動.文獻(xiàn)[4-5]考慮繞飛起點位于目標(biāo)器后方一定距離范圍內(nèi)，基于球形禁飛區(qū)分別進行了保證安全性條件下的繞飛軌跡優(yōu)化研究以及一般性繞飛軌跡設(shè)計方法研究，但是在選擇球形禁飛區(qū)進行繞飛軌跡研究時，為滿足安全性條件存在求解困難而需要借助遍歷仿真的問題；只適用于繞飛起點位于目標(biāo)器后方一定距離范圍內(nèi)；文獻(xiàn)[6]基于長方體禁飛區(qū)分析了幾種典型接近軌跡上特征點的性質(zhì)，推導(dǎo)并給出了安全軌跡的設(shè)計方法，但缺乏針對繞飛段軌跡設(shè)計的具體研究.

為了彌補現(xiàn)有研究的不足，本文基于長方體禁飛區(qū)，給出了從目標(biāo)器正后方任意繞飛起點出發(fā)的軌道面內(nèi)全方位繞飛軌跡的一般性設(shè)計方法.

1 問題說明與分析

1.1 坐標(biāo)系及相對運動方程

研究兩個航天器的相對運動，選擇原點o在目標(biāo)器質(zhì)心的相對運動坐標(biāo)系oxyz：軸oz由目標(biāo)器質(zhì)心指向地心方向(+R-bar)；軸ox沿目標(biāo)器軌道運動的正方向(+V-bar)；軸oy垂直于軌道面，與ox軸和oz軸成右手坐標(biāo)系，軸oy即+H-bar軸[7].繞飛段離航天器相對距離較近，對于圓軌道上的交會對接，一般采用Hill方程作為相對運動方程就可以滿足任務(wù)精度要求.方程形式[7]如下：

(1)

其中：x、y、z分別表示追蹤器在相對運動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；ω表示目標(biāo)器軌道角速度；ax、ay、az分別表示機動加速度.令機動加速度為零，式(1)的一階解析解(C-W方程)為

(2)

對式(2)進行求導(dǎo)得

(3)

1.2 問題分析

(1)-V-bar至+V-bar繞飛

(2)-V-bar至+R-bar繞飛

(4)

1.3 安全約束條件的確定思路

在繞飛過程中，要保證安全就是要保證在整個繞飛期間追蹤器不進入目標(biāo)器禁飛區(qū).結(jié)合工程實際，空間站交會對接的禁飛區(qū)通常設(shè)為球形禁飛區(qū)，由于球形禁飛區(qū)存在為了滿足安全性條件求解困難甚至需要借助遍歷仿真的問題，為便于計算，本文采用外切于球形禁飛區(qū)的長、寬、高分別為2a,2b,2c的長方體禁飛區(qū)，繞飛過程中要保證安全則要保證追蹤器不進入長方體禁飛區(qū).

對于軌道面內(nèi)-V-bar至+V-bar、+R-bar及任意方向的繞飛，將長方體禁飛區(qū)和球形禁飛區(qū)均投影到軌道面內(nèi)，則外切于球形禁飛區(qū)的長方體禁飛區(qū)投影之后變?yōu)橥馇杏趫A形禁飛區(qū)的長、寬分別為2a、2b的長方形禁飛區(qū)，軌道面內(nèi)要保證安全繞飛則要保證繞飛軌跡不進入軌道面內(nèi)的長方形禁飛區(qū).

2 從-V-bar出發(fā)的軌道面內(nèi)全方位安全繞飛軌跡設(shè)計

2.1 與安全繞飛軌跡設(shè)計相關(guān)的定理

(5)

證明.對于式(5)描述的相對運動軌跡，設(shè)[8]

(6)

將式(6)代入式(5)對其進行代數(shù)變換，可將方程組改寫為[27]

(7)

(8)

(9)

將式(7)寫為如下形式：

x=a1+3a2ωt-2a3cos(ωt+φ)
=x0+2n+3a2(ωt+φ)-
3a2φ-2a3cos(ωt+φ)

(10)

分別將t1和t2時刻方程(10)的兩個x值記為x1、x2(x1

以下分別針對點(x1,b)和點(x2,b)進行分析.

式(10)兩邊對n進行求導(dǎo)得：

(11)

(12)

式(8)兩邊分別對n進行求導(dǎo)得：

(13)

(14)

由(13)～(14)得出：

(15)

同理式(9)兩邊分別對n進行求導(dǎo)得：

(16)

將(12)、(15)、(16)代入(11)得：

(17)

令

(18)

ωt+φ=α

(19)

將(18)～(19)代入(17)并對其進行化簡

(20)

對于點(x1,b)：由于ωt1+φ在第一象限，故cos(ωt1+φ)=cosα1>0.又因為cosφ>0，a3>0，對式(20)兩邊同時除cosφ并乘a3得

(21)

因為

m=-2a2

(22)

因此對式(21)等式右端兩項的分子進行比較可得

(23)

b>4a2>0

(24)

因此對(21)中等式右端兩項的分母進行比較可得

(25)

又因為cosφ>0，a3>0，由此可知式(21)小于零，即x1隨n的增大而減小.

對于點(x2,b)：由于對應(yīng)的ωt2+φ在第二象限，故cosα2=cos(ωt2+φ)<0，則

(26)

化簡后得：

(27)

易知式(27)大于零恒成立，即x2隨n的增大而增大.

2.2 安全繞飛軌跡的設(shè)計方法

2.2.1 安全約束條件的確定

設(shè)β(其中0<β<π)表示繞飛終點相對于目標(biāo)器對接口的方向矢量與+V-bar方向的夾角，以下根據(jù)β的范圍分3種情況給出設(shè)計安全繞飛軌跡需要滿足的約束條件.

安全約束條件：

1)當(dāng)0<β

z=b，x1≤-a

(28)

z=b，x2≥a

(29)

zf=0，xf≥a

(30)

2)當(dāng)arctan(b/a)<β<π-arctan(b/a)時，需要滿足的安全約束條件為式(28)、(31)：

zf≥b，tanβ=zf/xf

(31)

3)當(dāng)π-arctan(b/a)<β<π時，需要滿足的安全約束條件為式(32)：

xf≤-a，tanβ=zf/xf

(32)

2.2.2 安全繞飛軌跡的一般性設(shè)計方法

從-V-bar出發(fā)的軌道面內(nèi)全方位安全繞飛軌跡的設(shè)計方法歸納如下：

3 仿真與分析

根據(jù)工程實際假設(shè)空間站的球形禁飛區(qū)半徑為Rsafe=200 m，則a=b=c=200 m.取目標(biāo)軌道為400 km 的圓軌道，軌道周期T=2π/w,w=0.001 13 rad/s.

3.1 從-V-bar到+V-bar的繞飛仿真與分析

從-V-bar到+V-bar繞飛對應(yīng)β=0°的情況.分別以-V-bar軸上x0=-400 m、x0=-1 000 m處的初始穩(wěn)定保持點為繞飛起點進行安全繞飛軌跡設(shè)計與仿真驗證.

按照安全繞飛軌跡的設(shè)計方法：

仿真結(jié)果如圖1所示：

圖1 x0=-400 m時目標(biāo)器后方繞飛至前方的軌跡Fig.1 -V-bar to +V-bar fly-around at x0=-400 m

同理，若從x0=-1 000 m處開始繞飛，按照安全繞飛軌跡的設(shè)計方法可得：

仿真結(jié)果如圖2所示：

圖2 x0=-1 000 m時目標(biāo)器后方繞飛至前方的軌跡Fig.2 -V-bar to +V-bar fly-around at x0=-1 000 m

3.2 從-V-bar到任意方位的繞飛仿真與分析

仿真算例1：從-V-bar軸滿足x0=-400 m的初始穩(wěn)定保持點繞飛至軌道面內(nèi)β=60°方位的點.

按照安全繞飛軌跡的設(shè)計方法：

仿真結(jié)果如圖3所示.

圖3 x0=-400 m時目標(biāo)器后方繞飛至β=60°的軌跡Fig.3 -V-bar to β=60° fly-around at x0=-400 m

4 結(jié) 論

本文針對長方體禁飛區(qū)，給出了一種繞飛起點在目標(biāo)器正后方(即-V-bar軸上)任意穩(wěn)定保持點時的安全繞飛軌跡一般性設(shè)計方法.通過對動力學(xué)模型進行代數(shù)變換以及對變量間的關(guān)系進行推導(dǎo)證明，給出了部分變量在特定區(qū)間范圍內(nèi)具有單調(diào)性的定理.在此定理的基礎(chǔ)上，結(jié)合繞飛軌跡的安全約束條件給出了軌道面內(nèi)兩種典型的安全繞飛軌跡設(shè)計方法以及全方位安全繞飛軌跡的一般性設(shè)計方法.該設(shè)計方法解決了選用球形禁飛區(qū)時為滿足安全約束條件而存在的求解困難問題，而且適用于繞飛起點為目標(biāo)器后方任意穩(wěn)定保持點的情況，最后通過具體的仿真證明了該方法的有效性.

由于繞飛起點在目標(biāo)器正前方(即+V-bar軸上)任意穩(wěn)定保持點時的繞飛軌跡與繞飛起點在目標(biāo)器正后方(即-V-bar軸上)任意穩(wěn)定保持點時的繞飛軌跡相對稱，故本文的研究方法也適用于繞飛起點位于目標(biāo)器正前方的情況.

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