有限時間收斂的阻力加速度跟蹤進入制導律*

嚴 晗，何英姿

0 引 言

對于飛行器進入大氣層的過程而言，飛行精度雖然隨著導航設備及算法的不斷發(fā)展而提高，但制導算法還必須可應對大氣密度不確定性、氣動系數(shù)不確定性及擾動等因素，特別是對于火星大氣進入過程而言，由于我們對火星的大氣信息掌握較少，所使用的制導律應具備更強的魯棒性[1].預測-矯正制導方法可實時根據(jù)環(huán)境信息更新飛行軌跡，從而提高制導精度.但該方法對計算機性能的要求較高，并且依賴于準確的大氣密度模型[1-2].相對于預測-矯正制導方法而言，標稱軌跡制導方法具有易于實現(xiàn)，并對模型不確定性具有魯棒性的特點[2]，因此許多現(xiàn)代先進控制方法被應用于這類制導律的設計中，如反饋線性化法[3-7]、預測控制法[8-10]、萊讓得維普法[11]和神經(jīng)網(wǎng)絡法[12]等.跟蹤阻力加速度的制導方法是一種典型的標稱軌跡制導法，并已成功應用于阿波羅計劃和航天飛機的再入過程中[13].大多數(shù)阻力加速度跟蹤制導律均需要阻力加速度的導數(shù)作為反饋信息[1,3,8-10,14]，但由于阻力加速度的導數(shù)難以準確測量，在航天飛機的制導律中以高度變化率代替了阻力加速度的導數(shù)作為反饋信息，然而這種做法將帶來一定的誤差[13].為了解決阻力加速度的導數(shù)不可測量的問題，滑模狀態(tài)擾動觀測器被用于阻力加速度導數(shù)的估計中[7]，但是該項工作中缺乏對不確定性的充分分析，或將造成估計不準.自抗擾控制方法也被用于阻力加速度跟蹤制導律的設計中[1]，但這種做法需要精確已知所有變量從而計算阻力加速度的導數(shù).文獻[2]中引入了高增益觀測器[15-16]，從而獲得了只基于可測量信息的制導律，穩(wěn)定性分析和數(shù)學仿真表明當觀測器的增益足夠高時，帶有高增益觀測器的制導律可重現(xiàn)狀態(tài)反饋制導律的性能.然而，該工作只能保證閉環(huán)制導系統(tǒng)具有輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性(ISS)，即阻力加速度跟蹤誤差只能收斂到零點的小臨域內.

顯見，文獻[2]中的阻力加速度動力學與[17]中研究的非線性系統(tǒng)具有類似結構，但不同于[17]的是阻力加速度動力學中的不確定性還與狀態(tài)有關，因此[17]所得結論和控制律設計方法不能直接應用于阻力加速度跟蹤制導律的設計中.

本文提出了一種具有有限時間收斂特性的阻力加速度跟蹤制導律.首先，將再入動力學方程抽象為一類帶有不確定性及擾動的非線性系統(tǒng)，并針對該類系統(tǒng)提出了一種基于滑?？刂频挠邢迺r間魯棒控制律.相比于[17]的結論，本文所研究的系統(tǒng)更具有普適性.之后，將所提出的控制律設計方法應用于阻力加速度跟蹤的制導律設計中，為了獲得跟蹤誤差的有限時間收斂特性，設計過程中需要獲得不確定性的上界，可根據(jù)大氣密度偏差及氣動特性偏差預先估計.蒙特卡洛方法驗證了所設計制導律的有限性和先進性.

1 基于滑模方法的有限時間控制律設計

本小節(jié)將針對一類帶有不確定性和擾動的非線性系統(tǒng)給出一種基于滑?？刂品椒ǖ聂敯粲邢迺r間控制律設計方法.

首先給出如下引理：

考慮如下二階系統(tǒng)

(1)

其中x=[x1,x2]T為系統(tǒng)的狀態(tài)，u為控制輸入，g(x,t)≠0，h(x,t)=[h1(x,t),…,hn(x,t)]，Δ=[Δ1,…,Δn]T為不確定性和擾動.假設存在正常數(shù)Mi使得|Δi|≤Mi(i=1,2,…,n).

選取滑模面為

(2)

(3)

(4)

則有如下定理成立：

定理2.考慮由系統(tǒng)(1)及控制律(3)組成的閉環(huán)系統(tǒng). 系統(tǒng)狀態(tài)可在時間

(5)

證明.s沿系統(tǒng)(1)軌線的導數(shù)為

(6)

當x1≠0時，將(1)和(3)代入(6)可得

(7)

=-ksp2/q2+1

(8)

(9)

內收斂到零，其中t0為初始時刻.當s=0時，有

(10)

(11)

(12)

內收斂到零.因此，顯見x1和x2亦可在有限時間tr內收斂到零.

注1.文獻[17]中考慮的非線性系統(tǒng)可視為本文所考慮的系統(tǒng)(1)的特殊形式，亦即當h(x,t)=1,Δ∈R1時由(1)組成非線性系統(tǒng)將變?yōu)槲墨I[17]中的形式. 下節(jié)中我們將見到阻力加速度制導動力學模型恰恰為系統(tǒng)(1)的形式，因此定理1的結論可直接應用于阻力加速度跟蹤制導律的設計中.

2 動力學模型

忽略地球自轉角速度及地球扁率等影響，無動力再/進入飛行器運動學方程為[7,11,13-14,17-18]

(13)

其中，r為地心距，φ為經(jīng)度，θ為緯度，v為速度，γ為航跡傾角，χ為方向角，L為升力加速度，D為阻力加速度，g為重力加速度.根據(jù)式可計算航程

(14)

其中r0為參考半徑(如地球半徑).L和D可由以下兩式計算得出：

(15)

(16)

(17)

其中h=r-r0為海拔，ρ0為海平面大氣密度，Δρ為大氣不確定性，hs為特征常數(shù).假設重力加速度滿足

(18)

μ為重力加速度常數(shù).

由式(16)可有

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中

u=cosσ

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

3 基于滑?？刂频挠邢迺r間收斂制導律設計

本小節(jié)將把第1節(jié)給出的有限時間控制律設計方法用于阻力加速度跟蹤制導律的設計中.

(31)

(32)

由定理1的結論知，由(30)和(31)組成的閉環(huán)系統(tǒng)具有有限時間收斂性，收斂時間為

(33)

注2.由于符號函數(shù)將造成抖振現(xiàn)象，這在控制系統(tǒng)中是不利的，因此我們利用飽和函數(shù)sat(x)代替制導律(31)符號函數(shù)sgn(x)從而消除抖振現(xiàn)象.取sat(x)函數(shù)為

(34)

(35)

4 仿真算例

為驗證所提出方法的有效性，本節(jié)將針對火星進入過程給出仿真算例.

本文使用文獻[14]中的相關數(shù)據(jù)進行仿真.火星進入飛行器最大橫截面積為16 m2，升阻比為0.18，彈道系數(shù)為115 kg/m2.初始及終點狀態(tài)見表1.通過再入點和開傘點處的經(jīng)緯度可計算得出理想的總航程為723.32 km.仿真中，制導指令設定滿足0°≤σ≤180°.

首先，選取制導參數(shù)為a=1.982、b=3、ε0=5，仿真結果如圖1～6所示.可見，在所設計制導律的作用下，飛行器的阻力加速度可較好的跟蹤參考剖面.在進入大氣層初期，由于大氣較稀薄，使得g0(D,t)較小，因此需要較大的控制能量使飛行器跟蹤參考剖面，因此仿真初期控制量出現(xiàn)飽和.

表1 狀態(tài)參數(shù)Tab.1 State variables

圖1 阻力加速度曲線Fig.1 Drag acceleration

為驗證所設計制導律的魯棒性，考慮表3中所示偏差進行了1 000次蒙特卡洛仿真，選取參數(shù)為a=1.982、b=3、l1=2l2=2、ε0=3、ε=0.432.仿真結果如圖7～8所示. 可見，航程誤差可控制在-1～20 km，高度誤差在-0.1～2.5 km.為對比，表3統(tǒng)計了本文制導律蒙特卡洛仿真結果和文獻[14]中的蒙特卡洛仿真結果(表3給出的是高度誤差及航程誤差絕對值的統(tǒng)計結果，而文獻[14]在統(tǒng)計時并未取絕對值，因此表3所列數(shù)據(jù)與文獻[14]中的數(shù)據(jù)有所不同.)，可見由于本文所設計制導律使閉環(huán)系統(tǒng)具有有限時間收斂特性，本文制導律在高度控制和航程控制方面均具有一定的優(yōu)勢.

圖2 速度曲線Fig.2 Velocity

圖3 航程誤差曲線Fig.3 Downrange error

圖5 傾側角曲線Fig.5 Bank angle

圖6 航跡角曲線Fig.6 Flight path angle

圖7 高度誤差散布Fig.7 Altitude error distribution

圖8 航程誤差散布Fig.8 Downrange error distribution

參數(shù)散布情況3σ/[Δ-,Δ+]質量偏差均勻[-5%,5%]大氣密度偏差均勻[-30%,30%]升力系數(shù)CL偏差均勻[-30%,30%]阻力系數(shù)CD偏差均勻[-30%,30%]

表3 蒙特卡洛仿真航程和高度偏差數(shù)據(jù)統(tǒng)計Tab.3 Statistical results of Monte Carlo study

5 結 論

本文針對地球或火星的大氣層進入過程提出了一種具有有限時間收斂性質的阻力加速度跟蹤魯棒制導律.首先，受已有工作的啟發(fā)，針對一種具有不確定性和擾動的非線性系統(tǒng)提出了一種具有有限時間收斂特性的滑?？刂坡稍O計方法.之后，將這種設計方法應用于阻力加速度跟蹤制導律的設計中.理論分析和數(shù)學仿真表明，本文所設計的制導律可有效地應用于大氣層進入過程的制導中.

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