發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)微設(shè)計

【摘 要】深度學(xué)習(xí)是學(xué)生源于自身動機(jī)的對有價值的學(xué)習(xí)內(nèi)容展開的完整的、準(zhǔn)確的、豐富的、深刻的學(xué)習(xí)，是一種有意義、理解性、階梯式的學(xué)習(xí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂必須基于深度學(xué)習(xí)。促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)需要一種載體，課堂教學(xué)微設(shè)計是一種行之有效的方法，它讓核心素養(yǎng)發(fā)展在課堂上真正落地。

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；教學(xué)設(shè)計

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）83-0025-03

【作者簡介】陳柏良，浙江省紹興市第一中學(xué)（浙江紹興，312000）副校長，正高級教師，浙江省特級教師，浙江師范大學(xué)客座教授。

2018年1月16日，教育部召開新聞發(fā)布會，介紹修訂后的《普通高中課程方案和數(shù)學(xué)等學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》。其中，數(shù)學(xué)學(xué)科在這次修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)中新增了對學(xué)科核心素養(yǎng)的界定與論述，明確了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析6大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。那一線的數(shù)學(xué)教師如何在課堂中踐行新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)理念，讓發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)真正落地呢？筆者以為，在教學(xué)理念層面，一線教師應(yīng)當(dāng)以深度學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)；在具體操作層面，除了在常規(guī)教學(xué)中進(jìn)行滲透外，還可以從現(xiàn)行的普通高中數(shù)學(xué)教材中選取部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)微設(shè)計，以此來達(dá)到培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

一、相關(guān)概念

深度學(xué)習(xí)是學(xué)生源于自身內(nèi)部動機(jī)的對有價值的學(xué)習(xí)內(nèi)容展開的完整的、準(zhǔn)確的、豐富的、深刻的學(xué)習(xí)。從本質(zhì)上看，它是一種主動的、探究式的、理解性的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)習(xí)者掌握非結(jié)構(gòu)化的深層知識并進(jìn)行有批判性的高階思維、主動的知識建構(gòu)、有效的遷移應(yīng)用及真實(shí)問題的解決，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)元認(rèn)知能力、問題解決能力、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階能力的發(fā)展。深度學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生的學(xué)習(xí)不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的同化；深度學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí)，重在引導(dǎo)學(xué)生通過深切的體驗(yàn)和深入的思考，達(dá)成對學(xué)科本質(zhì)和知識意義的滲透理解；深度學(xué)習(xí)是階梯式的學(xué)習(xí)，是促進(jìn)式的、層次性的學(xué)習(xí)，這與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》闡述的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析這6大核心素養(yǎng)的3個水平層次相呼應(yīng)。發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)必須基于深度學(xué)習(xí)。

課堂教學(xué)微設(shè)計，指的是教師選取課堂教學(xué)內(nèi)容中的某一部分（如問題情境、概念教學(xué)、探究活動、例題練習(xí)、知識應(yīng)用等等）而進(jìn)行的設(shè)計，它是整個課堂教學(xué)設(shè)計的一部分，若干個微設(shè)計構(gòu)成整個課堂教學(xué)的設(shè)計。教師通過課堂教學(xué)微設(shè)計，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，從而達(dá)到學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。由此可見，課堂教學(xué)微設(shè)計是方法，深度學(xué)習(xí)是過程，發(fā)展核心素養(yǎng)是目標(biāo)，三者邏輯相關(guān)，有機(jī)統(tǒng)一。

下面以一則“平面向量的幾何應(yīng)用”案例加以論述。

二、案例分析

課堂教學(xué)微設(shè)計：

問題1：求證|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）。如何構(gòu)造一個圖形解釋這個公式的幾何意義？（蘇教版《高中數(shù)學(xué)》必修4“2.4向量的數(shù)量積”中的習(xí)題2.4第5題）

分析：|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2與|a-b|2=（a-b）2=a2-2ab+b2，兩式相加即得。

向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常常把向量定位為研究幾何問題的一種“工具”。教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想向量加法與減法的幾何模型，獲得該等式的幾何意義：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。

該問題求解后，可給出以下2道練習(xí)題加以鞏固。

練習(xí)1：如果M是三角形ABC中BC邊的中點(diǎn)，求證：|AB|2+|AC|2=2|AM|2+2|BM|2。（人教B版《高中數(shù)學(xué)》必修4“2.4向量的應(yīng)用”中的習(xí)題2.4B組第4題）

練習(xí)2：在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，求 的值。

問題2：在|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）的求證過程中，你還有什么新的發(fā)現(xiàn)？

深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂要呈現(xiàn)“關(guān)聯(lián)”，教師在課堂上的工作就在于建立新的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考，從客觀世界吸收營養(yǎng)來豐富、延伸這個網(wǎng)絡(luò)。因而，在問題1的基礎(chǔ)上，設(shè)計開放性問題2，給學(xué)生思維的自由度和廣闊度，有利于發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)。

事實(shí)上，在等式|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）的求證過程中，學(xué)生對|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2與|a-b|2=（a-b）2=a2-2ab+b2兩式作差，即可發(fā)現(xiàn)：4ab=（a+b）2-（a-b）2，也即a·b= [（a+b）2-（a-b）2]（極化恒等式）。

此式表明向量的數(shù)量積運(yùn)算可以由向量的線性運(yùn)算的模推導(dǎo)出，該式溝通了向量數(shù)量積運(yùn)算和線性運(yùn)算之間的關(guān)系。若a，b是實(shí)數(shù)，則該恒等式也可謂“廣義的平方差公式”。極化恒等式的幾何意義：向量數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的 ，如圖1，若記 =a， =b，即有a·b= （|AD|2-|BC|2）。在三角形中，也可以用三角形的中線來表示，即a·b=|AM|2- |BC|2。它揭示了三角形的中線與邊長的關(guān)系。

深度學(xué)習(xí)是內(nèi)源性的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)通過深切的體驗(yàn)和深入的思考，達(dá)成對學(xué)科本質(zhì)和知識意義的滲透理解，在問題2的基礎(chǔ)上，可轉(zhuǎn)換角度，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生主動探究。

問題3：如圖2，已知點(diǎn)M在三角形ABC的邊BC上， =λ +μ ，求λ+μ的值；若D為線段AM（或延長線）上的一點(diǎn)， =x +y ，則x+y為定值嗎？如何解釋這個值的幾何意義？

探究：根據(jù)M，B，C三點(diǎn)共線，易知λ+μ=1，這一結(jié)論顯現(xiàn)了平面幾何中的“三點(diǎn)共線”可以用向量線性表示。若D為線段AM（或延長線）上的一點(diǎn)，則必存在一個常數(shù)m∈R，使得 =m ，則 =m =m（λ +μ ）。又 =x +y ，所以x+y=mλ+mμ=m。當(dāng)點(diǎn)M，D確定后，x+y的值便也確定，即m= 。

如圖3，若過點(diǎn)D作直線EF∥BC，交AC和AB延長線分別于點(diǎn)E和F，則由三角形ACB與三角形AEF相似，m= = = 。

（圖3）

綜上所述，可得以下結(jié)論（俗稱“等和線定理”）：

已知 、 為平面內(nèi)兩個不共線的向量，若直線l∥BC，點(diǎn)D為直線l上任一點(diǎn)，且 =x +y ，則x+y=m為定值，我們把直線BC以及與直線BC平行的直線l稱為等和線。特別地，如圖3所示，A∈l時，m= = = 。

易知，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A位于直線BC異側(cè)時，有x+y>1，且點(diǎn)D到直線BC的距離越大，則x+y越大；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A位于直線BC同側(cè)時，有x+y<1，且點(diǎn)D到直線BC的距離越大，則x+y越小。

本設(shè)計從問題1入手，得到平行四邊形兩條對角線與邊長的長度關(guān)系式后，緊接著引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，得到“極化恒等式”和“等和線定理”，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)的思維是什么？就是邏輯推理。通俗地講，就是由已經(jīng)總結(jié)出來的規(guī)律推出新的規(guī)律。這是數(shù)學(xué)生長和發(fā)展的主要途徑。有人曾打過比方，說數(shù)學(xué)抽象相當(dāng)于“女媧造人”，從無到有產(chǎn)生數(shù)學(xué)；邏輯推理相當(dāng)于“人生人”，從少到多發(fā)展數(shù)學(xué)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的發(fā)展依賴的是邏輯推理，就是從一些前提或者事實(shí)出發(fā)，依據(jù)一定的規(guī)則得到或者驗(yàn)證命題的思維過程，這里所說的規(guī)則是指推理過程具有傳遞性。[1]

推理過程具有傳遞性，推理更多的需要依賴深度學(xué)習(xí)。如上，可進(jìn)一步改變視角，提出問題，發(fā)展學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“人生人”：

問題4：如圖4，試用四邊形ABCD的四條邊長表示對角線向量 · 的數(shù)量積。

（圖4）

引導(dǎo)學(xué)生探究：

在△ABC中，由余弦定理的向量式得 · = ；在△ADC中，同理可得 · = ，因此在四邊形ABCD中， · = ·（ - ）= 。

即 · = （對角線向量定理）。

上式表明：四邊形的兩條對角線對應(yīng)向量的數(shù)量積可用4條邊的長度表示。該定理的兩個推論是顯而易見的。

推論1：當(dāng) ⊥ 時， 2+ 2= 2+ 2。

此式表明：當(dāng)對角線互相垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等。

推論2：cos< ， >= 。

此式可以求平面或空間的角度問題，包括線線角、線面角和二面角。需要說明的是，對角線向量定理和推論既適用于平面向量也適用于空間向量（圖5）。

（圖5）

如果說，數(shù)學(xué)抽象是從無到有產(chǎn)生數(shù)學(xué)；那么，邏輯推理就是從少到多發(fā)展數(shù)學(xué)，產(chǎn)生和發(fā)展的過程其實(shí)也是數(shù)學(xué)建模。如上微設(shè)計，“問題3”中得到的“等和線定理”和“問題4”中得到的“對角線向量定理”實(shí)際上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想。以上的微設(shè)計案例，問題1讓學(xué)生在尋找代數(shù)式的幾何意義中發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)；問題2至問題4在拓展引申中發(fā)展學(xué)生邏輯推理，經(jīng)歷數(shù)學(xué)運(yùn)算，建立數(shù)學(xué)模型，較好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

綜上，我們看到以深度學(xué)習(xí)理論為指導(dǎo)，以發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)的課堂教學(xué)微設(shè)計正是基于問題的設(shè)計，在問題的驅(qū)動下，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，交流表達(dá)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。更重要的是，在課堂教學(xué)微設(shè)計中，通過對問題的階梯式、促進(jìn)式、層次性設(shè)計，讓學(xué)生在發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力；樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神；不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識；認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值。這才是數(shù)學(xué)學(xué)科教育落實(shí)“立德樹人”要求，體現(xiàn)學(xué)科育人的價值所在，數(shù)學(xué)教育工作者當(dāng)以此為重任。

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中.試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（4）：1-16.