n取(n-k+1)系統(tǒng)條件平均剩余壽命的一些性質(zhì)

溫九紅， 張正成， 強(qiáng)玉霞

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

所謂n取(n-k+1)系統(tǒng)是指有n個(gè)元件構(gòu)成的系統(tǒng)中，系統(tǒng)要正常工作當(dāng)且僅當(dāng)至少有n-k+1個(gè)元件正常工作。設(shè)X1,X2,…,Xn為n個(gè)獨(dú)立同分布的元件壽命,其構(gòu)成的系統(tǒng)的壽命記為T(mén),X1:n,X2:n,…,Xnn為X1,X2,…,Xn對(duì)應(yīng)的由小到大排列的順序統(tǒng)計(jì)量，則Xkn恰好為n取(n-k+1)系統(tǒng)的壽命。在可靠性理論和生存理論中，系統(tǒng)的剩余壽命問(wèn)題是一類(lèi)特別重要的問(wèn)題，在過(guò)去的幾十年中，已經(jīng)有許多學(xué)者對(duì)其做了大量研究，例如Asadi[5]研究了由n個(gè)獨(dú)立同分布元件構(gòu)成的n取n-k+1系統(tǒng)在時(shí)刻t沒(méi)有元件失效的平均剩余壽命，即E(Xk:n-t|X1:n>t)；Li[7]等研究了n中取(n-k+1)系統(tǒng)在時(shí)刻t失效的元件不大于l(1≤lt)?？紤]在時(shí)刻t至少j有個(gè)元件失效的條件下n中取(n-k+1)系統(tǒng)仍在工作時(shí)的剩余壽命，即(Xk:n-t|Xj:n

1 相關(guān)概念和定義

(X-t|X>t)。

對(duì)任意的x>0，其可靠性函數(shù)為

那么，平均剩余壽命為

定義1X稱(chēng)之為IFR(失效率遞增)，如果其失效率

關(guān)于t≥0遞增。

2 主要結(jié)論

R(x|t)=P(Xk:n-t>x|Xj:n

(1)

(2)

例1 令X1,X2,…，Xn相互獨(dú)立且同分布于一般Pareto分布，其可靠函數(shù)為

圖1 例1中的平均剩余壽命函數(shù)

因此根據(jù)(1)式有

定理1假設(shè)n中取(n-k+1)系統(tǒng)中的元件都有絕對(duì)連續(xù)的分布函數(shù)F且分布函數(shù)F在(0,∞)嚴(yán)格遞增，則分布函數(shù)F可以表示為

證明對(duì)(1)式的兩邊分別對(duì)t求導(dǎo)則有

(3)

其中pl(t)在定理1中已給出。根據(jù)Goliforushani和Balakrishnan(2012)[8]有

根據(jù)Asadi 和Bayramoglu(2006)[3]可知

1003 大動(dòng)脈粥樣硬化與心源性栓塞大腦中動(dòng)脈 M1 段閉塞急性缺血性腦卒中血管內(nèi)治療單中心回顧性分析 常曉贊，張 磊，李子付，許 奕，黃清海，劉建民，楊鵬飛，洪 波

另一方面

把A和B帶入(3)式中得到

其中φ-1(t)lpl(t)-(n-l+1)pl-1(t)=0，因此

這也蘊(yùn)含著

經(jīng)過(guò)一些計(jì)算后得到

等價(jià)于

(4)

其中(4)式中的第一部分等于0，現(xiàn)只需證明(4)式中第二部分小于等于0即可。

根據(jù)Asadi 和Bayramoglu(2006)[3]可知E(Xk:n-t|X1:n>t)>E(Xk-1:n-1-t|X1:n-1>t),因此當(dāng)j≤l時(shí)有E(Xk-l:n-l-t|X1:n-l>t)≥E(Xk-j:n-j-t|X1:n-j>t)。故(4)式中的第二部分為負(fù)，得證。

證明根據(jù)(1)式有

圖2 例2中的平均剩余壽命函數(shù)

(5)

(6)

例2 令n中取n-k+1系統(tǒng)中的元件服從韋伯爾分布，其可靠函數(shù)為

當(dāng)α=2,β=1時(shí)r(t)=2t，顯然r(t)關(guān)于t單調(diào)遞增。根據(jù)(1)式有

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