基于客戶(hù)到來(lái)的負(fù)二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的大偏差

孫 歆， 段 譽(yù)

(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院，貴州 畢節(jié) 551700)

1 模型建立

文獻(xiàn)[1]和[2]討論了廣義復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了該風(fēng)險(xiǎn)模型的索賠盈余的大偏差以及有限時(shí)間破產(chǎn)概率的Lundberg極限結(jié)果，其所討論的風(fēng)險(xiǎn)模型如下：

(1)

(1)u>0為初始資金，c>0表示保險(xiǎn)公司的保費(fèi)額；

(2) {M(n);n=0,1,2,…}表示保險(xiǎn)公司在[0,n]時(shí)間段內(nèi)保費(fèi)到達(dá)過(guò)程，是強(qiáng)度為λ>0的poisson過(guò)程，且M(n)=0；

(3) {N(n);n=0,1,2,…}表示保險(xiǎn)公司在[0,n]時(shí)間段內(nèi)理賠到達(dá)過(guò)程，是參數(shù)為(n,p)的二項(xiàng)隨機(jī)序列，0

文獻(xiàn)[3]將模型(1)中的索賠過(guò)程推廣為負(fù)二項(xiàng)過(guò)程，同樣得到了其索賠盈余的大偏差以及有限時(shí)間破產(chǎn)概率的Lundberg極限結(jié)果，但模型(1)討論的是來(lái)自人群中同一類(lèi)群的所有客戶(hù)， 即該類(lèi)客戶(hù)從潛在索賠而言是不可辨別的，文獻(xiàn)[4]討論了基于客戶(hù)到來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)模型，是基于客戶(hù)到來(lái)的個(gè)數(shù)，得到了其索賠盈余的大偏差，文獻(xiàn)[5]將索賠過(guò)程推廣為復(fù)合二項(xiàng)過(guò)程，得到了其索賠盈余的大偏差以及有限時(shí)間破產(chǎn)概率的Lundberg極限結(jié)果。文獻(xiàn)[6]研究了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的基于客戶(hù)到來(lái)風(fēng)險(xiǎn)模型，在一定假設(shè)下得到了其索賠盈余的大偏差以及有限時(shí)間破產(chǎn)概率的Lundberg極限結(jié)果。為了使模型更加符合保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營(yíng)，近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者將隨機(jī)變量的相依性引進(jìn)了風(fēng)險(xiǎn)模型中， 見(jiàn)文獻(xiàn)[7-11]等。 受上述文獻(xiàn)的啟示，我們討論如下的風(fēng)險(xiǎn)模型：

(2)

其中假設(shè)：(1)u>0為初始資金；

(2) {N(n);n=0,1,2，…}表示保險(xiǎn)公司在[0,n]時(shí)間段內(nèi)的理賠到達(dá)過(guò)程，是參數(shù)為(n,p)的負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)序列，0

(3)在時(shí)刻σk，第k個(gè)客戶(hù)購(gòu)買(mǎi)了保單，保險(xiǎn)公司因此在一定時(shí)期內(nèi)擔(dān)負(fù)了來(lái)自該保單的風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)來(lái)自第k個(gè)客戶(hù)的潛在索賠額為Bk，對(duì)每一個(gè)k≥1，Bernonlli隨機(jī)變量Ik表示第k份保單是否真正發(fā)生索賠(Ik=0表示沒(méi)有發(fā)生索賠，Ik=1表示發(fā)生索賠)；

(4) {Bk;k≥1}是一列非負(fù)同分布的延拓負(fù)相依隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)為F(x)，期望為μ<∞，{Ik;k≥1}是一列非負(fù)同分布的延拓負(fù)相依Bernonlli隨機(jī)變量序列，且P(Ik=1)=θ,P(Ik=0)=1-θ；

(5)假設(shè){N(n);n=0,1,2,…}，{Bk;k≥1}和{Ik;k≥1}相互獨(dú)立。每份保單的保費(fèi)假設(shè)是(1+ρ)μ，常數(shù)ρ可解釋為安全負(fù)載系數(shù)。因此保險(xiǎn)公司來(lái)自第k份保單的凈索賠額為

BkIk-(1+ρ)μ，

從而保險(xiǎn)公司的潛在總損失額為

(3)

潛在總索賠額為

(4)

定義T(u)=inf{n;R(n)<0}=inf{n;S(n)>u}為模型(2)的破產(chǎn)時(shí)刻，設(shè)T>0，定義初始資金為u的有限時(shí)間破產(chǎn)概率為

ψ(u,T)=P(T(u)≤T)。

下面是經(jīng)常用到的幾個(gè)重尾分布族。

定義2[8]若存在常數(shù)M>0，對(duì)于任意的n=1,2,…及任意的n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，使得

同時(shí)成立，則稱(chēng)隨機(jī)變量序列{Xk,k≥1}是延拓負(fù)相依的。特別的當(dāng)M=1時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量序列{Xk,k≥1}是負(fù)相依的。

2 主要結(jié)論

關(guān)于x≥γn一致成立。

(i)對(duì)任意的x>0，y>0，β滿(mǎn)足引理2，則有

其中max{x,y}表示實(shí)數(shù)x,y兩者中的最大者。

(ii)對(duì)任意的00，則有

注：若P(Ik=1)=θ=1，且滿(mǎn)足模型(1)中給出的條件(5)，則定理1就為[3]中的引理1的結(jié)論。

3 相關(guān)引理和定理證明

證明：對(duì)任意的n≥2，任意的xk≥0，ak=1或0，k=1,2,…n。我們有

P(B1I1≤x1,B2I2≤x2,…,BnIn≤xn)

=P(B1a1≤x1,B2a2≤x2，…,Bnan≤xn)P(I1=a1,I2=a2,…,In=an)

其中M1>0，M2>0，M=M1M2>0，類(lèi)似可證：

P(B1I1>x1,B2I2>x2,…,BnIn>xn)≤MP(BiIi>xi)。

關(guān)于x≥γn一致成立，即

關(guān)于x≥γn一致成立。

定理2的證明：

(i) 對(duì)任意的x>0,y>0，由定理1，對(duì)任意的0<δ<1，當(dāng)u→∞時(shí)，一致有

P(T(u)≤yux)≥P(S([yux])>u)=P(S([yux])-ES([yux])>u-ES([yux]))

～P(S([yux])-ES([yux])>u+(1+ρ-θ)μp[yux])

≥P(S([yux])-ES([yux])>u+(1+ρ)μp[yux])

其中[y]表示實(shí)數(shù)y的取整函數(shù)，因此，對(duì)1<β<∞，由引理2得，

≥x-βmax{1,x}。

所以(i)得證。

(ii) 設(shè)00，由定理1，對(duì)任意的0<δ<1，當(dāng)u→∞時(shí)，一致的有

由引理2得，

所以定理2得證。

4 結(jié)論

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