多參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程解的存在性

何世峰

(合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 巢湖 238000)

眾所周知如下隨機(jī)微分方程:

(1)

在飄逸系數(shù)b和擴(kuò)散系數(shù)σ滿足 Lipschitz 或局部 Lipschitz 條件以及線性增長(zhǎng)條件下，方程存在唯一強(qiáng)解。一些學(xué)者致力于降低b或σ所滿足的條件以得到 (1) 解的存在唯一性或存在性,這方面的工作可見(jiàn) Protter[7]與 Krylov[5]。特別地, Barlow[1]指出當(dāng)σ僅僅滿足連續(xù)性假設(shè)的條件下，(1) 不存在唯一解。因此，就有必要來(lái)降低對(duì)b的連續(xù)性的要求。基于此，Halidias和 Kloeden[4]利用上下解的方法給出了當(dāng)σ滿足Lipschitz條件，b滿足某種非連續(xù)性條件下方程 (1) 解的存在性結(jié)論。當(dāng)我們考慮一類開(kāi)關(guān)系統(tǒng)受到白噪聲影響時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)如下具有不連續(xù)飄逸系數(shù)的隨機(jī)微分方程：

dXt=H(Xt)dt+dWt,其中H:R→R為由下式定義的一個(gè)Heaviside函數(shù)：

H(X)：={0,x<0，1,x≥0。

此外，首先Cairoli[2, 3]給出如下由多參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程：

(2)

然而在[2,8,9,10]中，解的存在性都要求b具有連續(xù)性。本文主要討論當(dāng)d≥3時(shí)在b滿足某種單調(diào)非連續(xù)性條件以及滿足σ某種非Lipschitz 條件下給出 (2) 解的存在性。為此，利用截?cái)嗪土P則函數(shù)法給出了非 Lipschitz 條件下方程解的比較性定理。 最后利用 Lipschitz 函數(shù)逼近的方法給出了連續(xù)性飄逸系數(shù)滿足線性增長(zhǎng)條件下解的存在性定理。

1 記號(hào)和預(yù)備知識(shí)

zz′(或)z?z′當(dāng)且僅當(dāng)或

以λ(·)表示Lebesgue測(cè)度，WA,A∈β([0，1])d表示隨機(jī)實(shí)值Gaussian可加集值函數(shù)滿足:

EWA=0,EWAWB=λ(A∩B)。

對(duì)于任意的z,z′∈T,以 (z，z′] 表示矩形集{z″∈T:zz″?z′}而以(z,z′)表示矩形集 {z″∈T:zz″z′}。此外，稱具有連續(xù)軌道的過(guò)程Wz:=W(0,z]為多參數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)。對(duì)于任意的z∈T，以Fz表示{Wz′，z′?z}在P下的完備化。因此,在上述偏序意義下{Fz,z∈T}構(gòu)成為F的一個(gè)增子σ-代數(shù)。進(jìn)一步地，對(duì)于z″z′z，W(z′,z]與Fz″是獨(dú)立的。記并以S2表示Fz-適應(yīng)的滿足條件|X|S2=|X*|L2<∞的過(guò)程所構(gòu)成的集合,其中L2=L2(Ω,R)。由此可見(jiàn)，(S2,|·|S2)是一Banach空間。

為得到本文的主要結(jié)論，給出幾個(gè)假設(shè)條件。 對(duì)于x,y∈Rn有：

(H1) |b(x)-b(y)|2≤ρ1(|x-y|2);

(H2) |σ(x)-σ(y)|2≤ρ2(|x-y|2)

注1 (1)為說(shuō)明結(jié)論的一般性，給出具體的有關(guān)ρi(·),i=1,2的例子，設(shè)δ∈(0,1)為充分小的一個(gè)常數(shù)。

定義ρi(u)=Ku,u≥0,i=1,2,

(2)由于ρi(u)為凸的并且滿足ρi(0)=0，我們可以找到一對(duì)正常(ai,bi)滿足

ρi(u)≤ai+biu

(3)

對(duì)于i=1,2都成立。

引理2([10]) 在(H1)和(H2)下，(2)存在唯一Fz-適應(yīng)的連續(xù)解。

本文首先考慮方程(2)解的比較定理。為此,考慮如下兩個(gè)隨機(jī)微分方程：

(4)

(5)

假定對(duì)于任意的x∈Rn,x≤y以及b1(x)≤b2(x),我們有如下的比較定理：

證假設(shè)b2滿足(H1)。通過(guò)截?cái)嗪土P則函數(shù)法定義如下函數(shù)：

則易知|p(x,y)-p(x,y)|≤|y-z|以及r(·)滿足Lipschitz條件。考慮如下隨機(jī)微分方程：

(6)

則其系數(shù)滿足條件(H1)和(H2)。引理2表明(6)存在唯一解不妨記為Yt。

以此，如果b1滿足條件(H1)，則定理結(jié)論同樣成立，只需在證明過(guò)程中略微地變化即可。

2 不連續(xù)飄逸系數(shù)下解的存在性

(7)

則易知Xn為單增序列，往證Xn在S2范數(shù)下為有界的。

(8)

由注1(2)以及b的線性增長(zhǎng)性，可知

其中a,b為兩個(gè)正常數(shù)，由此,

定理5設(shè)b為單調(diào)增加、左連續(xù)滿足線性增長(zhǎng)條件而σ滿足條件(H2)，則(2)至少存在一個(gè)解。

證由定理3可知(Xn)為單增序列，引理4表明(Xn)在S2中是有界的，由控制收斂定理可知Xn在S2中為收斂的。記X為(Xn)的極限過(guò)程。由此，對(duì)幾乎所有的ω，有

(9)

(10)

從而對(duì)幾乎所有的ω以及對(duì)于z,

(11)

由σ以及隨機(jī)積分的連續(xù)性，有

(12)

再者由于Xn為單增的，故上述收斂在p-a.s.意義下也是成立的。易證Xn→X的收斂性。故在(7)的兩端取極限，可知(2)解的存在性。

3 連續(xù)飄逸系數(shù)下解的存在性

本段則采用Lipschitz函數(shù)逼近的方法給出b滿足連續(xù)和線性增長(zhǎng)條件下(2)解的存在性結(jié)論。對(duì)于滿足連續(xù)線性增長(zhǎng)條件的函數(shù)，有如下的逼近性結(jié)論:

引理6([6]) 設(shè)b為滿足連續(xù)線性增長(zhǎng)條件的函數(shù)。 定義bn(t,y)=inf{b(t,q)+n|y-q|:q∈Q，則對(duì)于n>C,bn有：

1、線性增長(zhǎng)性：|bn(x)|≤C(1+|x|);

2、單調(diào)性：bn(x)↑b(x);

3、Lipschitz條件：|bn(x)-bn(y)|≤K|x-y|；

4、強(qiáng)收斂性：如果xn→x,則有bn(xn)→b(x)。

(13)

由比較定理可知Xn為單增序列。往證Xn收斂到(2)的解X。

(14)

其證明的主要思路同引理4。故在此略去。本文第二個(gè)結(jié)論為：

定理8在b滿足線性增長(zhǎng)以及σ滿足條件(H2)條件下，(2)存在解。

其證明思路同定理5。

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