基于LMI的不確定大系統(tǒng)的BIBO鎮(zhèn)定

李 萍

(西南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610041)

1 引言

近十多年來，大系統(tǒng)(Large-Scale Systems)在電力、城市交通、社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、數(shù)字通訊等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，形成了世界性的熱潮.一般地，把模型規(guī)模龐大復(fù)雜、有多個(gè)互聯(lián)的子系統(tǒng)和多個(gè)狀態(tài)變量的系統(tǒng)稱為大系統(tǒng).穩(wěn)定性是控制理論研究的基本問題[1-4].因此大系統(tǒng)的穩(wěn)定性也一直受到眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[9-11].同時(shí)，不確定大系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定性也因?yàn)槟Ｐ秃蜏y(cè)量誤差地存在、非線性系統(tǒng)的線性化近似逐漸成為該領(lǐng)域的一個(gè)焦點(diǎn)[5-8].

通常，人們關(guān)注的穩(wěn)定性為L(zhǎng)yapunov意義下的穩(wěn)定性.為了追蹤參考輸入信號(hào)，有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性也成為控制領(lǐng)域研究的核心問題之一.如果系統(tǒng)每個(gè)有界的輸入都導(dǎo)致輸出有界，那么系統(tǒng)就稱為是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的.但是到現(xiàn)在為止，有關(guān)大系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性和魯棒BIBO穩(wěn)定性的結(jié)果還較少[12-15].文獻(xiàn)[12-13]討論了如下的時(shí)滯大系統(tǒng):

反饋控制律分別為u(t)＝其中Fi為反饋增益矩陣.文獻(xiàn)[12-13]建立了閉環(huán)系統(tǒng)與時(shí)滯無關(guān)的漸近穩(wěn)定和BIBO穩(wěn)定的充分條件.文獻(xiàn)[14-15]對(duì)于每一個(gè)子系統(tǒng)，應(yīng)用了穩(wěn)定的局部狀態(tài)反饋，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，利用Bihari型不等式，基于Riccati方程的正定解和矩陣范數(shù)不等式推導(dǎo)出了多變量反饋控制大系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分條件.

本文將采用多Lyapunov函數(shù)方法及常數(shù)變易法，討論了閉環(huán)大系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的性質(zhì)與魯棒BIBO穩(wěn)定的性質(zhì).系統(tǒng)的擾動(dòng)向量相比文獻(xiàn)[14-16]更具一般性，并且BIBO穩(wěn)定性判據(jù)和狀態(tài)反饋矩陣可以用MATLAB工具箱進(jìn)行可行性求解，從不同于文獻(xiàn)[12-16]的角度建立了閉環(huán)大系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定的條件.

2 問題的陳述

考慮如下的有N個(gè)子系統(tǒng)的不確定連續(xù)大系統(tǒng):

其中，v(t)為任意可積函數(shù)，那么不等式

成立.

引理2.3[18]E，H，F(xiàn)(t)是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，不確定時(shí)變矩陣F(t)滿足FT(t)F(t)≤I，則對(duì)任意的常數(shù)ε>0，不等式

成立.

3 閉環(huán)大系統(tǒng)的分散BIBO穩(wěn)定分析

首先，討論大系統(tǒng)(1)無擾動(dòng)參數(shù)的情況，即

將(3)式代入(4)式得到

當(dāng)i，j＝1，2時(shí)，閉環(huán)大系統(tǒng)(5)的結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 i，j＝ 1，2 時(shí)，大系統(tǒng)(5)的反饋控制圖Fig.1 The feedback control of(5)when i，j＝ 1，2

定理3.1如果存在常數(shù)α>0，β>0，ε>0，存在矩陣Xi>0，矩陣具有適當(dāng)?shù)木S數(shù)(i＝1，2，…，N)，使得LMI

成立，其中

4 閉環(huán)大系統(tǒng)的魯棒分散BIBO穩(wěn)定分析

將(2)、(3)式帶入(1)式得到的閉環(huán)大系統(tǒng)如下:參考定理3.1的證明可知，(9)式滿足時(shí)，定理4.1成立.

注4.1 當(dāng)參考輸入信號(hào)恒為零，定理3.1和定理4.1下，大系統(tǒng)分別是漸近穩(wěn)定和魯棒漸近穩(wěn)定的.第五部分的仿真圖形可以看到當(dāng)ri(t)＝0時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)收斂于零.

注4.2 文獻(xiàn)[14-16]的反饋增益矩陣是某個(gè)Riccati方程的正定解.而本文是通過常數(shù)變易法和矩陣分析技巧，得到基于LMI的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法.LMI判據(jù)通過引入自由矩陣可以降低條件的保守性，因此具有一定的優(yōu)越性.

注4.3 參考文獻(xiàn)[19]給出了系統(tǒng)參數(shù)α>0，β>0的最小化問題，可以表示為:

設(shè)計(jì)過程及求解參考文獻(xiàn)[19]定理1.

5 算例仿真

而θ1＝0.6179，θ2＝1.1291｜｜x(0)｜｜.圖2(a)、3(a)、4(a)分別表示參考輸入信號(hào)r(t)＝0時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和控制輸出；圖2(b)、3(b)、4(b)分別表示參考輸入信號(hào)r(t)＝1時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和控制輸出.

圖2 (a) r(t)＝0時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.2(a) The state of e.g.5.1 when r(t)＝0

圖2 (b) r(t)＝1時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.2 (b) The state of e.g.5.1 when r(t)＝1

圖3 (a) r(t)＝0時(shí)的控制輸入Fig.3 (a) The input of e.g.5.1 when r(t)＝0

圖3 (b) r(t)＝1時(shí)的控制輸入Fig.3 (b) The input of e.g.5.1 when r(t)＝1

圖4 (a) r(t)＝0時(shí)的控制輸出Fig.4 (a) The output of e.g.5.1 when r(t)＝0

圖4 (b) r(t)＝1時(shí)的控制輸出Fig.4 (b) The output of e.g.5.1 when r(t)＝1

那么相應(yīng)的增益矩陣為

而θ1＝1.5970，θ2＝16.6694｜｜x(0)｜｜.圖5(a)、6(a)、7(a)分別表示參考輸入信號(hào)r(t)＝0時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入和控制輸出；圖5(b)、6(b)、7(b)分別表示參考輸入信號(hào)r(t)＝sint時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入、控制輸出.

圖5 (a) r(t)＝0時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.5 (a) The state of e.g.5.2 when r(t)＝0

圖5 (b) r(t)＝sint時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.5 (b) The state of e.g.5.2 when r(t)＝sint

圖6 (a) r(t)＝0時(shí)的控制輸入Fig.6 (a) The input of e.g.5.2 when r(t)

圖6 (b) r(t)＝sint時(shí)的控制輸入Fig.6 (b) The input of e.g.5.2 when r(t)＝sint

圖7 (a) r(t)＝0時(shí)的控制輸出Fig.7 (a) The output of e.g.5.2 when r(t)＝0

圖7 (b) r(t)＝sint時(shí)的控制輸出Fig.7 (b) The output of e.g.5.2 when r(t)＝sint

6 結(jié)束語

本文討論了一類連續(xù)時(shí)間閉環(huán)大系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定性和魯棒BIBO穩(wěn)定性問題，并給出了反饋控制器的設(shè)計(jì)方法.將本文的技巧與算法推廣到時(shí)滯大系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性理論是作者下一步的工作.

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