HPM教學(xué)課例形成過程及其啟示
—— 以“三角形中位線定理”為例

◎ 牟金保 沈中宇

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐和課例開發(fā)是HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）研究的重要方向之一。［1］ HPM教學(xué)課例（以下簡(jiǎn)稱“課例”）是指在課堂上發(fā)生的、將數(shù)學(xué)史上富有意義的典型事件融入數(shù)學(xué)教學(xué)，課例的開發(fā)過程就是對(duì)該事件發(fā)生過程的敘事性描述。近年來，在大量該領(lǐng)域課例研究的驅(qū)動(dòng)下，數(shù)學(xué)史在課堂教學(xué)中的運(yùn)用越來越成熟，課例開發(fā)已經(jīng)取得了豐碩的成果，成為基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)課堂轉(zhuǎn)型教學(xué)的重要推動(dòng)因素，產(chǎn)生了廣泛的影響。雖然課例開發(fā)已經(jīng)有了豐碩的成果，但是課例的開發(fā)過程，仍然是很多研究者以及教師感興趣的話題，對(duì)于課例開發(fā)過程進(jìn)一步的研究將有助于形成更加成熟的課例，這些課例對(duì)于一線教師的實(shí)踐有著一定的指導(dǎo)作用。但到目前為止，課例開發(fā)過程方面開展的研究還較少，為了讓更多對(duì)課例開發(fā)感興趣的研究者與中小學(xué)一線教師詳細(xì)了解課例開發(fā)過程，本文擬以“三角形中位線定理”為例，來呈現(xiàn)課例形成過程，同時(shí)提煉該過程對(duì)教學(xué)的啟示。

“三角形中位線定理”是滬教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)二十二章“四邊形”中第三節(jié)第三課時(shí)內(nèi)容，屬初中幾何知識(shí)中重要的知識(shí)點(diǎn)之一。關(guān)于該知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)史料豐富，如果合理融入課堂教學(xué)一定會(huì)彰顯知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效。本節(jié)課的課例現(xiàn)在已開發(fā)完成，屬于HPM研究團(tuán)隊(duì)（以下簡(jiǎn)稱“團(tuán)隊(duì)”）與中學(xué)一線教師聯(lián)合開發(fā)的課例之一，開發(fā)全程在上海進(jìn)行，經(jīng)歷了初次嘗試——再次實(shí)踐——模擬課堂——課例形成的過程。該課例具有一定的典型性，對(duì)其分析有助于開發(fā)更好的課例。

一、初次嘗試

（一）課題研討

課例的課題選定取決于團(tuán)隊(duì)和教師兩方面。對(duì)于團(tuán)隊(duì)來說，課題歷史脈絡(luò)清晰、史料豐富、教育價(jià)值明確，適合實(shí)施HPM視角下的課堂教學(xué)；對(duì)于教師來說，課題能夠幫助學(xué)生更好理解知識(shí)點(diǎn)，深刻揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)?！叭切沃形痪€定理”就是在滿足兩方面需求的情況之下產(chǎn)生的課例。選定課題后，研究團(tuán)隊(duì)與中學(xué)一線教師召開研討會(huì)，一線教師提出的問題大致有五點(diǎn)：①中位線概念產(chǎn)生得不夠自然，仿佛“從天而降”；②教材只是選取特殊情況進(jìn)行先割補(bǔ)再旋轉(zhuǎn)，沒有體現(xiàn)出特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法；③簡(jiǎn)單地割補(bǔ)和旋轉(zhuǎn)不能讓學(xué)生體會(huì)實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡過程，更不能培養(yǎng)學(xué)生演繹推理能力以及提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)；④大多數(shù)課堂教學(xué)不會(huì)讓學(xué)生探究三角形中位線與第三邊的關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)三角形中位線概念理解不透徹，達(dá)不到課程標(biāo)準(zhǔn)中“理解”層次的目標(biāo)；⑤在“立德樹人”的大背景下，在落實(shí)德育課程應(yīng)有的德育功能的同時(shí)，如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的德育功能，發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂教學(xué)在育人中的渠道作用。

（二）備課研討

根據(jù)課題研討中教師提出的問題，團(tuán)隊(duì)對(duì)該課題的數(shù)學(xué)史進(jìn)行深入研究與探討，按照趣味性（數(shù)學(xué)史料涉及數(shù)學(xué)背后的故事，讓學(xué)生覺得有趣）、科學(xué)性（數(shù)學(xué)史料符合史實(shí)，而不是胡編亂造的，也不能有知識(shí)性的錯(cuò)誤）、有效性（數(shù)學(xué)史料必須滿足教學(xué)目標(biāo)的要求，不能為了數(shù)學(xué)史而數(shù)學(xué)史）、可學(xué)性（數(shù)學(xué)史料的難易程度要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，易于學(xué)生接受）和新穎性（數(shù)學(xué)史料要有新意，有特色，而非老調(diào)重彈，人云亦云）的五項(xiàng)原則選取適切的史料提供給教師，并就相關(guān)問題通過電話和網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行交流。［2］對(duì)于“三角形中位線定理”來講，主要有以下相關(guān)數(shù)學(xué)史料：①公元前 1800—1600 年期間古巴比倫數(shù)學(xué)泥版所記載的“六兄弟分割三角形土地的問題”［3］；②《九章算術(shù)》注釋中關(guān)于劉徽利用割補(bǔ)法推導(dǎo)三角形面積公式［4］；③三角形中位線定理有多種證明方法，比如在近代西方早期教科書中出現(xiàn)了一些證明方法，18世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre）在《幾何基礎(chǔ)》中給出的反證法［5］、蘇格蘭數(shù)學(xué)家萊斯利（J.Leslie）在《幾何和平面三角學(xué)基礎(chǔ)》中給出歐氏面積法［6］、菲利普斯（Phillips）在《幾何基礎(chǔ)》［7］和紐科姆（Newcomb）在《幾何基礎(chǔ)》［8］中給出同一法和麥金（Macine）在《平面和立體幾何基礎(chǔ)》［9］給出平行四邊形法。鑒于不同的教師對(duì)于史料的運(yùn)用和組合方式不盡相同，呈現(xiàn)出的效果也截然不同。團(tuán)隊(duì)向教師提供數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的四種方式：附加式（展示有關(guān)數(shù)學(xué)家圖片、講述有關(guān)數(shù)學(xué)故事等）、復(fù)制式（直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題、思想方法等）、順應(yīng)式（根據(jù)歷史材料編制數(shù)學(xué)問題）和重構(gòu)式（追溯思想的歷史起源，通過借鑒，重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史）。［10］這四種方式供研討后自然融入課堂教學(xué)。團(tuán)隊(duì)研討教學(xué)設(shè)計(jì)是備課研討中重要環(huán)節(jié)之一，“三角形中位線定理”也不例外。教學(xué)設(shè)計(jì)研討形式以教師說課、然后以集體討論的次序進(jìn)行，最終通過團(tuán)隊(duì)與教師共同反復(fù)打磨來確定教學(xué)目標(biāo)。

（三）課堂實(shí)踐

初次嘗試階段，教學(xué)流程按照問題引入—性質(zhì)探究—定理證明—課堂小結(jié)四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)施。問題引入環(huán)節(jié)通過“土地分割問題” 改編成的一道數(shù)學(xué)問題引入新課。［11］ 性質(zhì)探究環(huán)節(jié)主要采用學(xué)生觀察和自主探究。定理證明主要利用面積法和割補(bǔ)法。課堂小結(jié)環(huán)節(jié)教師先回顧并梳理三角形中位線定理的發(fā)展脈絡(luò)，鼓勵(lì)學(xué)生們?cè)谝院髮W(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并發(fā)散思維，多嘗試用不同的方法去解決問題。

由于初次嘗試，課堂實(shí)踐沒有達(dá)到相應(yīng)的效果，其中較為突出的問題是引入部分不自然，中位線定理沒有自然地引出，同時(shí)也沒有很好地與后面的證明活動(dòng)銜接起來，教師的引導(dǎo)性過強(qiáng)，文化與德育元素并不突出。六條教育價(jià)值中，知識(shí)之諧，探究之樂，文化之魅與德育之效沒有很好地體現(xiàn)。

二、再次實(shí)踐

由于初次嘗試階段的課堂實(shí)踐并不完美，因此在課后研討修正的基礎(chǔ)上再次進(jìn)行實(shí)踐。教學(xué)流程按照復(fù)習(xí)舊知—探究新知—定理證明—課堂小結(jié)四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)施。復(fù)習(xí)舊知環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生快速回答有關(guān)三角形的知識(shí)；探究新知環(huán)節(jié)主要加入了剪紙活動(dòng)，教師給每組學(xué)生一個(gè)三角形，讓學(xué)生自主探討將一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，隨后讓學(xué)生剪出四個(gè)面積兩兩相等的三角形，目的是通過剪紙活動(dòng)引出中位線的概念；最終讓學(xué)生猜想中位線和底邊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系從而得出中位線定理的概念。定理證明環(huán)節(jié)教師給出了歐幾里得的面積法和劉徽的割補(bǔ)法，并利用微視頻介紹了另外三種證明方法。課堂小結(jié)環(huán)節(jié)教師讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的關(guān)鍵詞。

在此次實(shí)踐中，引入環(huán)節(jié)首次采用了將一個(gè)三角形分成四個(gè)兩兩相等的三角形，期望自然的引出中位線這一概念，實(shí)踐證明效果很好，基本達(dá)到了知識(shí)之諧這一目標(biāo)。但由于后面的活動(dòng)教師引導(dǎo)性過強(qiáng)，沒有基于學(xué)生的自主探究活動(dòng)自然過渡到中位線定理的產(chǎn)生與證明。因此，在探究之樂上還有所欠缺，同時(shí)證明方式給出過多，講解過快，學(xué)生沒有很好的消化，探究之樂、文化之魅與德育之效沒有很好的呈現(xiàn)。

三、模擬課堂

雖然兩次課堂課例教學(xué)各有所長(zhǎng)，但都不是很完美，沒有達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。為了達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，形成更完美的課例，團(tuán)隊(duì)在某高校2016級(jí)專碩“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與課例分析”課進(jìn)行模擬教學(xué)。模擬課堂使用的史料與前兩次課堂實(shí)踐基本相同，教學(xué)流程按照新課引入—概念形成—性質(zhì)探究—課堂小結(jié)四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行，具體以問題串的形式呈現(xiàn)。其中新課引入環(huán)節(jié)設(shè)置兩個(gè)問題：①如何將三角形分割成四個(gè)面積相等的三角形？②你是如何操作的？概念形成環(huán)節(jié)設(shè)置兩個(gè)問題：①什么是中位線？②中位線和中線有何區(qū)別？性質(zhì)探究環(huán)節(jié)設(shè)置三個(gè)問題：①為什么你所得到的四個(gè)三角形是兩兩全等的？②你能猜想出中位線的性質(zhì)嗎？③如何證明三角形的中位線？課堂小結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)置一個(gè)問題：這節(jié)課你收獲了什么？通過問題串的模擬課堂教學(xué)，使這節(jié)課的教學(xué)思路更加清晰，教學(xué)目標(biāo)更加明確。整個(gè)課堂貫穿于一個(gè)歷史情境“土地分割問題”當(dāng)中，自然完成引出中位線概念（創(chuàng)設(shè)歷史情境）—探究中位線定理（特殊到一般）—回歸問題解決（發(fā)現(xiàn)問題到解決問題）的過程。

模擬課堂的流程設(shè)計(jì)基于前面兩次教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)之上，關(guān)鍵在于解決從引出中位線自然過渡到中位線定理及其證明的問題，因此在模擬課堂上開始采用問題串的形式，在分三角形面積問題之后進(jìn)一步給出如何證明三角形中位線定理這一問題，實(shí)踐證明，此問題很好地解決了從中位線概念到中位線定理及其證明的過渡問題，同時(shí)問題串的設(shè)置讓整節(jié)課成為了一個(gè)整體。模擬課堂達(dá)到了知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效六方面的價(jià)值，整個(gè)課例趨于成熟。

四、課例形成

通過初次嘗試—再次實(shí)踐—模擬課堂三個(gè)環(huán)節(jié)，相對(duì)完美的課例設(shè)計(jì)框架已經(jīng)形成。在課例形成環(huán)節(jié)，團(tuán)隊(duì)與教師進(jìn)一步研討發(fā)現(xiàn)，中位線定理的證明方式可以在劉徽的證明基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善，如圖1所示，可以不拘泥于劉徽的方法，從一邊的端點(diǎn)，到垂點(diǎn)，再到中點(diǎn)，最后到一般的點(diǎn)，從而體現(xiàn)特殊到一般的思想，給學(xué)生更大的發(fā)揮空間。

圖1

課例形成并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐后，主要從教師引導(dǎo)探究效果、中位線定理證明的數(shù)學(xué)思想方法、是否喜歡數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)以及中位線定理理解方面進(jìn)行了反饋測(cè)評(píng)，反饋表明教學(xué)效果很好。本課例教學(xué)和大多數(shù)傳統(tǒng)課堂教學(xué)進(jìn)行比較得出：本課例順應(yīng)式利用數(shù)學(xué)史打破課本上單一的證明方法，從特殊到一般的相互轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的精華，真正達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的要求；三角形中位線定理的微視頻，激發(fā)了學(xué)生熱愛科學(xué)、敢于創(chuàng)新的精神，感嘆證明方法多樣之余將自己的證明方法與古人的方法對(duì)比，引起學(xué)生的古今共鳴，自信心和自豪感油然而生。從反饋中可以看出，本節(jié)課解決了課題研討時(shí)教師提出的問題，達(dá)到了備課研討時(shí)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)。

五、啟示

本課例的形成經(jīng)歷了初次嘗試—再次實(shí)踐—模擬課堂—課例形成四個(gè)環(huán)節(jié)。其中，初次嘗試階段發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)引入不自然，銜接性不夠，教師引導(dǎo)過強(qiáng)，再次實(shí)踐階段采用分割三角形面積問題解決引入不自然，模擬課堂采用問題串形式，從特殊到一般的方法，改造數(shù)學(xué)史上劉徽的方法，解決全部問題。這種從發(fā)現(xiàn)問題到解決問題的過程，使得課例的知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅、德育之效等多層教育價(jià)值凸顯。

同時(shí)，本課例得到如下啟示：首先，要考慮一個(gè)概念或定理的自然形成，即知識(shí)的和諧產(chǎn)生，對(duì)于引入問題的選取非常關(guān)鍵，往往恰當(dāng)?shù)囊氪蠖嘈枰梃b歷史上此概念或定理的產(chǎn)生背景，讓學(xué)生自然而然地得到該概念或定理。其次，課堂中要注重各個(gè)環(huán)節(jié)之間的銜接，其中問題串的設(shè)置尤為關(guān)鍵，在教學(xué)中使用好問題串可以使得課堂教學(xué)更具有整體性。最后，定理的證明或問題的解決不能原樣照搬歷史上的方法，而更要注重與學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)以及邏輯基礎(chǔ)相結(jié)合，對(duì)歷史上的解法按照課標(biāo)要求做出相應(yīng)的改造加工，從而讓學(xué)生自然地探究出與古人相一致的解法，在此之后還可以滲透文化之魅與德育之效。在六項(xiàng)教育價(jià)值與四種應(yīng)用方式的基礎(chǔ)上，如何將一個(gè)課例打磨成一個(gè)經(jīng)典課例，還需要在更多課例開發(fā)中不斷探索。隨著課例的不斷開發(fā)，在借鑒國(guó)際上課例研究經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)具有我國(guó)特點(diǎn)的課例研究理論將是未來研究的熱點(diǎn)問題之一。課例研究的成果在改良課堂教學(xué)的基礎(chǔ)上，勢(shì)必會(huì)融入到教師的教育體系中，進(jìn)一步促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展。課例形成的過程，就像和氏璧需要能工巧匠不斷地打磨才能聞名于世，寶劍需要經(jīng)過不斷地錘煉才可以削鐵如泥一樣，一節(jié)好的課例同樣也需要不斷地打磨才可以更好的發(fā)揮其教育價(jià)值。同時(shí)這個(gè)過程中一面成就課例，一面磨煉教師，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展。課堂實(shí)踐也證明，好的課例可以優(yōu)化課堂教學(xué)、提升教師專業(yè)水平和教學(xué)素養(yǎng)。好的課例也能突出主題、注重探究，強(qiáng)調(diào)針對(duì)性、體現(xiàn)整體性、堅(jiān)持互動(dòng)性、保持連貫性，彰顯教師個(gè)性、關(guān)注學(xué)生差異、追求真實(shí)有效、發(fā)揮團(tuán)體智慧。

［1］汪曉勤，張小明. HPM研究的內(nèi)容與方法［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（1）：16-18.

［2］汪曉勤. HPM視角下的“角平分線”教學(xué)［J］. 教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2014（5）：29-32.

［3］李霞，汪曉勤. 三角形中位線定理的歷史［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（9）：58-60.

［4］郭書春. 匯校九章算術(shù)［M］. 沈陽∶ 遼寧教育出版社, 1998.

［5］Legendre A M. Elements of Geometry［M］.Cambridge：Hilliard&Metcalf, 1825：49-61.

［6］Leslie J. Elements of Geometry［M］. Edinburgh：James Ballantyne&Co., 1817：35-36.

［7］Phillips WHH. Elements of Geometry［M］. New York：Sheldon&Co., 1878：31-32.

［8］Newcomb S. Elements of Geometry［M］. New York：H. Holt, 1899：59.

［9］Venable Charles S. Elements of Geometry［M］. New York：University Publishing Co., 1875：67.

［10］汪曉勤. HPM的若干研究與展望［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（2）：1-5.

［11］張奠宙,宋乃慶. 數(shù)學(xué)教育概論［M］. 2版. 北京：高等教育出版社，2009 .