錐柱面螺旋線(xiàn)短程線(xiàn)與網(wǎng)格纏繞成型技術(shù)

提亞峰 季寶鋒 黃 誠(chéng) 王世勛 李雄魁

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

纖維纏繞是制造格柵(geodesic)增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)(正交格柵和等邊三角形格柵結(jié)構(gòu)壁板)的理想方法，它可使結(jié)構(gòu)的質(zhì)量很輕，而強(qiáng)度剛度卻非常高[1]。

復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在國(guó)內(nèi)應(yīng)用于工程實(shí)踐時(shí)間尚短，但自動(dòng)化纏繞成型趨勢(shì)已十分明顯。自動(dòng)化纏繞成型可提高產(chǎn)品質(zhì)量、提高生產(chǎn)效率，便于批量生產(chǎn)。

圓柱段網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)，除縱筋沿母線(xiàn)、環(huán)筋沿圓環(huán)外，其余筋的中心線(xiàn)均為圓柱螺旋線(xiàn)。截圓錐段網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)，除縱筋沿母線(xiàn)、環(huán)筋為圓環(huán)外，其余筋的中心線(xiàn)均為圓錐螺旋線(xiàn)。蒙皮的纏繞除90°沿圓環(huán)外，其余纏繞角度均沿圓柱圓錐側(cè)面上的短程線(xiàn)纏繞。因此應(yīng)對(duì)圓柱圓錐側(cè)面上的螺旋線(xiàn)和短程線(xiàn)的幾何性質(zhì)進(jìn)行深入系統(tǒng)的研究，得出工程上可行的方法以應(yīng)用于圓柱段和截圓錐段網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)的幾何建模、結(jié)構(gòu)承力計(jì)算、自動(dòng)纏繞時(shí)纏繞編程，為復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)自動(dòng)化制造創(chuàng)造條件。本文主要介紹了錐柱面螺旋線(xiàn)短程線(xiàn)與網(wǎng)格纏繞成型技術(shù)。

1 圓柱錐側(cè)面上的螺旋線(xiàn)與復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的筋條纏繞成型

圓柱段復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，除縱筋和環(huán)筋外，其余筋的中心線(xiàn)均為圓柱螺旋線(xiàn)，其軌跡方程為：

(1)

式中，α為螺旋角。因螺旋角α為定值，當(dāng)θ=2π為時(shí)，z為定值，即圓柱螺旋線(xiàn)是等螺旋角等螺距螺旋線(xiàn)。

圓柱螺旋線(xiàn)方程(1)的切線(xiàn)方程為：

(2)

設(shè)圓柱螺旋線(xiàn)的切線(xiàn)與z軸的夾角為ω，則：

(3)

由于圓柱的母線(xiàn)與z軸平行，圓柱螺旋線(xiàn)的切線(xiàn)與z軸的夾角就是圓柱螺旋線(xiàn)的切線(xiàn)與圓柱母線(xiàn)的夾角。圓柱螺旋線(xiàn)的切線(xiàn)與母線(xiàn)的夾角ω與其螺旋角α相等且為定值。

截圓錐段網(wǎng)格加筋結(jié)構(gòu)，除縱筋和環(huán)筋外，其余筋的中心線(xiàn)均為圓錐螺旋線(xiàn)。

將螺旋角設(shè)為定值，得到等螺旋角圓錐螺旋線(xiàn)軌跡方程[2]：

(4)

式中，β為半錐角。ρ0為坐標(biāo)原點(diǎn)到截圓錐體小端端面的圓錐側(cè)面上的母線(xiàn)長(zhǎng)度。因方程中含有指數(shù)函數(shù)，等螺旋角的圓錐螺旋筋槽對(duì)加工設(shè)備要求較高。

將螺距設(shè)為定值，得到等螺距圓錐螺旋線(xiàn)軌跡方程[3]：

(5)

螺距h=2πacosβ

曲線(xiàn)切線(xiàn)與錐面母線(xiàn)之間夾角的余弦：

式中，aθ為坐標(biāo)原點(diǎn)到截面錐體小端端面的圓錐側(cè)面上的母線(xiàn)長(zhǎng)度。等螺距圓錐螺旋筋槽對(duì)加工設(shè)備要求較低。模具等速旋轉(zhuǎn)，刀具等速沿圓錐側(cè)面母線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，即可加工出等螺距圓錐螺旋線(xiàn)。

等螺旋角和等螺距螺旋線(xiàn)在圓錐側(cè)面上是兩種曲線(xiàn)，在圓柱側(cè)面上是同一種圓柱螺旋線(xiàn)。

為便于圓柱段和圓錐段復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)硬模成型裝置的設(shè)計(jì)生產(chǎn)和纖維纏繞，需要求出圓柱和錐段螺旋線(xiàn)的弧長(zhǎng)和曲率。

圓柱螺旋線(xiàn)的弧長(zhǎng)為：

(6)

等螺旋角圓錐螺旋線(xiàn)的弧長(zhǎng)為：

(7)

(8)

等螺距圓錐螺旋線(xiàn)的弧長(zhǎng)為：

(9)

(10)

arsh(θ2sinβ)-arsh(θ1sinβ))

(11)

圓柱螺旋線(xiàn):

(12)

曲率[2]：

(13)

即圓柱螺旋線(xiàn)曲率僅與螺旋角和圓柱半徑有關(guān)，α=0°時(shí)為母線(xiàn)，曲率為0，對(duì)應(yīng)復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)縱筋；α=90°時(shí)曲率最大，對(duì)應(yīng)環(huán)筋。

等螺旋角圓錐螺旋線(xiàn)

(14)

(15)

等螺距圓錐螺旋線(xiàn)

(16)

其曲率為：

(17)

2 圓柱圓錐側(cè)面上的短程線(xiàn)與復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的蒙皮纏繞成型

筋條的纏繞，由于模具上加工了筋槽，纖維絲束可在存在張力的情況下，纏繞到筋槽內(nèi)，從而成型各種螺旋角的螺旋筋條。在表面上纏繞纖維最穩(wěn)妥的方法是沿著兩點(diǎn)之間的最短路線(xiàn)進(jìn)行纏繞[1]，即蒙皮的纏繞，纖維絲束在張力作用下應(yīng)沿短程線(xiàn)纏繞。

2.1 圓柱側(cè)面上的短程線(xiàn)

圓柱段蒙皮，除0°和90°外，纖維沿圓柱側(cè)面上的短程線(xiàn)進(jìn)行纏繞，如圖1所示。

圖1 圓柱面上的短程線(xiàn)

設(shè)圓柱面方程為：x2+z2=1,(x>0)。并設(shè)在圓柱面上連接A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1)兩點(diǎn)的曲線(xiàn)方程為：

(18)

(19)

其歐拉方程組：

(20)

由于H不顯含y，歐拉方程組化為：

(21)

求其首次積分，并用弧長(zhǎng)s作參數(shù)，得：

(22)

歐拉方程組化為：

(23)

較之青壯年而言,中老年群體生理、心理均處于特殊階段,情緒波動(dòng)容易受外界刺激、勞累、疾病等因素影響,因此腦卒中后極易發(fā)生抑郁癥狀。調(diào)查顯示,抑郁不僅會(huì)導(dǎo)致患者產(chǎn)生“焦慮、悲觀”等消極情緒,加強(qiáng)身體負(fù)性應(yīng)激及影響治療配合度,另外還會(huì)進(jìn)一步加重疾病癥狀及異常體征,致使患者出現(xiàn)更為顯著的神經(jīng)及心理功能異常[3]。由此可見(jiàn),上述兩者可相互促進(jìn)、互為因果,因此臨床治療中單純使用藥物治療很難消除負(fù)性情緒對(duì)疾病治療的影響,因此臨床多輔助針對(duì)性護(hù)理工作。

(24)

根據(jù)ds的定義有：

(ds)2=(dx)2+(dy)2+(dz)2

(25)

(26)

(27)

(28)

于是：

(29)

再對(duì)歐拉方程組第一式積分得：

y=C1s+C3

(30)

綜合式(28)、(29)、(30)：

(31)

由式(1)，圓柱側(cè)面上的短程線(xiàn)是其上的螺旋線(xiàn)。

由式(22)，用弧長(zhǎng)s作參數(shù)，弧長(zhǎng)s與圖1所示xOz面的極坐標(biāo)θ及r間的關(guān)系為s=cscα·r·θ，為推導(dǎo)方便，已設(shè)x2+z2=1,(x>0)，即r=1，因此s=cscα·θ,y=cotα·θ。由式(23)第一式，積分常數(shù)c1=cosα。由式(28)，特定的取積分常數(shù)c2為0，事實(shí)上當(dāng)圓柱螺旋線(xiàn)的起點(diǎn)是z軸時(shí)，c2=0。

與式(1)相比，這是圓柱半徑r=1，以xOz面為圓柱底面向y軸延伸的圓柱螺旋線(xiàn)，而式(1)是圓柱半徑為r以xOy面為圓柱底面向z軸延伸的圓柱螺旋線(xiàn)。即式(1)是式(31)的起點(diǎn)在坐標(biāo)軸的特例。

2.2 圓錐側(cè)面上的短程線(xiàn)及螺旋線(xiàn)的展開(kāi)

圓錐段蒙皮，除0°和90°外，纖維沿圓錐側(cè)面上的短程線(xiàn)進(jìn)行纏繞,如圖2所示。設(shè)圓錐面方程為：x2+z2=y2tan2θ,(x>0)，并設(shè)在圓錐面上連接A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1)兩點(diǎn)的曲線(xiàn)方程為：

圖2 圓錐面上的短程線(xiàn)

作輔助函數(shù)：

(32)

(33)

其歐拉方程組：

(34)

其歐拉方程組化為：

(35)

不易分離變量，難以求出短程線(xiàn)方程的解析解。

設(shè)有直角三角形紙片的一個(gè)銳角為α，將此紙片卷在一圓柱側(cè)面上，使角α的直角邊與圓柱的母線(xiàn)重合，角α的斜邊則在圓柱面上盤(pán)旋上升，這樣在圓柱面上就形成一條空間曲線(xiàn)，這條空間曲線(xiàn)就是圓柱螺旋線(xiàn)。上述過(guò)程的逆過(guò)程，就是將圓柱螺旋線(xiàn)展開(kāi)，如圖3所示。圓柱面展開(kāi)其上的圓柱螺旋線(xiàn)是一條直線(xiàn)。能展開(kāi)的平面，可利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短來(lái)求解。還可以此驗(yàn)證等螺旋角及等螺距圓錐螺旋線(xiàn)是否是圓錐面上的短程線(xiàn)。

圖3 圓柱螺旋線(xiàn)的展開(kāi)

另外三角網(wǎng)格的稱(chēng)謂對(duì)于圓柱結(jié)構(gòu)是指展開(kāi)后環(huán)筋、縱筋和螺旋筋構(gòu)成三角形，實(shí)際結(jié)構(gòu)三個(gè)節(jié)點(diǎn)間不會(huì)象平面三角形一樣穩(wěn)定。筋條中心線(xiàn)與受力方向夾角越大、曲率越大，越不利于承受對(duì)應(yīng)載荷，即縱筋軸壓承載效率高，環(huán)筋外壓承載效率高，單獨(dú)軸向直筋承載效率高于螺旋筋。

圓錐側(cè)面展開(kāi)圖如圖4所示。

圖4 圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

假設(shè)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為：

r=r(Θ)

(36)

利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系；x=rcosΘ，

y=rsinΘ則方程組：x=r(Θ)·cosΘ及y=r(Θ)·sinΘ是曲線(xiàn)的參數(shù)方程，其中參數(shù)為極角Θ，曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率是:

(37)

根據(jù)幾何關(guān)系可得出公式：

α=γ-Θ

(38)

(39)

將y′的表達(dá)式(37)代入(39)：

(40)

(41)

取y=0為初始點(diǎn)(圖中B點(diǎn))，此時(shí)Θ=0，代入式(41)則：

c=-lnx0

(42)

將式(42)代入式(41)得：

(43)

因此該曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程為：r(Θ)=x0ecotα·Θ，是形如r=aekθ的對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)。

等螺距圓錐螺旋線(xiàn)在展開(kāi)平面上的曲線(xiàn)方程為：r=x0Θ[2]，是形如r=aθ的阿基米德螺線(xiàn)。

阿基米德螺線(xiàn)上A1,A2,A3,A4間的距離相等，如圖5所示。

圖5 阿基米德螺線(xiàn)

等螺旋角及等螺距圓錐螺旋線(xiàn)不是圓錐面上的短程線(xiàn)，因?yàn)閳A錐側(cè)面展開(kāi)之后這兩條曲線(xiàn)分別是對(duì)數(shù)螺線(xiàn)和阿基米德螺線(xiàn)，不是直線(xiàn)。

由于圓錐側(cè)面可展開(kāi)為扇形，等螺旋角及等螺距圓錐螺旋線(xiàn)在圓錐側(cè)面展開(kāi)之后分別是對(duì)數(shù)螺線(xiàn)和阿基米德螺線(xiàn)，對(duì)于脫模困難而網(wǎng)格尺寸精度要求不高的雙錐等結(jié)構(gòu)，可將錐段陽(yáng)模展開(kāi)成平面，平面澆注后，再貼合到芯模上形成錐面螺旋筋槽，應(yīng)注意阿基米德螺線(xiàn)的加工易于對(duì)數(shù)螺線(xiàn)。

為便于錐段復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)陽(yáng)模成型裝置的設(shè)計(jì)生產(chǎn)和纖維纏繞，需要求出對(duì)數(shù)螺線(xiàn)和阿基米德螺線(xiàn)的弧長(zhǎng)和曲率。

對(duì)數(shù)螺線(xiàn)r(Θ)=x0ecotα·Θ(-∞<Θ<+∞)從矢徑Θ=Θ1到矢徑Θ=Θ2的弧長(zhǎng)。

(44)

阿基米德螺線(xiàn)r=x0Θ(-∞<Θ<+∞)從矢徑Θ=Θ1到矢徑Θ=Θ2的弧長(zhǎng)。

(45)

對(duì)比展開(kāi)前和展開(kāi)后可知，Θ=sinβ·θ，

(46)

對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的曲率:

(47)

(48)

(49)

曲率[4]:

(50)

(51)

阿基米德螺線(xiàn)的曲率:

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短來(lái)求解圓錐側(cè)面上的短程線(xiàn)，如圖6所示。設(shè)圓錐高為h，圓錐面方程：

x2+y2=(z-h)2tan2β，r=htanβ，A(r,0,0)，B(x0,0,z0)，0

圖6 圓錐面短程線(xiàn)的展開(kāi)

(57)

(58)

(59)

從而在xOz上線(xiàn)段AB的方程為：

(60)

在線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)N′(x′,z′)，則當(dāng)展開(kāi)面重又繞回到錐面上時(shí)，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)設(shè)為(x,y,z)，求N點(diǎn)坐標(biāo)，如圖7所示。

|MN|=|MN′|，∠AMN′=φ=θ·sinβ

[與前述(46)式Θ=sinβ·θ結(jié)論相同]

圖7 圓錐面短程線(xiàn)

(61)

-cos(φ+β))

(62)

(63)

∵N′在AB上，

(64)

(65)

(66)

再將式(58) 、(59)中xB，zB帶入，即得到最終解。方程非常煩瑣，不適合用于筋條的纏繞。但蒙皮的纏繞，纖維絲束在張力作用下是沿此方程纏繞的，即圓錐面蒙皮的纏繞其纏繞角度只能是近似按設(shè)計(jì)規(guī)定進(jìn)行。在半錐角較小的情況下，此偏差影響不大[5]。纏繞時(shí)要注意對(duì)纖維束起點(diǎn)位置的調(diào)整。

另外，錐面短程螺旋線(xiàn)對(duì)于平面澆注軟模成型的復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)極具應(yīng)用價(jià)值。在澆注陽(yáng)模的模具上按圖4所示加工與扇形徑向線(xiàn)夾角為α的直線(xiàn)筋槽即可。這將大大降低加工難度，提高加工效率，降低成本。為此計(jì)算直線(xiàn)與對(duì)數(shù)螺線(xiàn)的曲率差，由公式(43)r(Θ)=x0ecotα·Θ，結(jié)合工程應(yīng)用中的小直徑錐段，取α=30°，x0=1244.7。根據(jù)公式(50)，θ=0°時(shí)，k得最大值為0.0004017，即曲率很小，可用直線(xiàn)代替對(duì)數(shù)螺線(xiàn)，不影響結(jié)構(gòu)承載。對(duì)于大直徑錐段，曲率更小，更接近直線(xiàn)。

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)圓柱、圓錐側(cè)面上的螺旋線(xiàn)和短程線(xiàn)的探討，解決了圓柱、圓錐段復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)筋條及蒙皮的纏繞問(wèn)題；得出了圓柱和錐段螺旋線(xiàn)的弧長(zhǎng)和曲率計(jì)算方法，用于圓柱段和圓錐段復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)成型裝置的設(shè)計(jì)生產(chǎn)和纖維纏繞；得出了對(duì)數(shù)螺線(xiàn)和阿基米德螺線(xiàn)的弧長(zhǎng)和曲率計(jì)算方法，用于錐段復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)軟模成型裝置的設(shè)計(jì)生產(chǎn)和纖維纏繞。為復(fù)合材料網(wǎng)格結(jié)構(gòu)自動(dòng)化纏繞生產(chǎn)制造創(chuàng)造了條件。同時(shí)針對(duì)工程需要，對(duì)不同的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)選擇不同的加工成型方式，可大大降低加工難度，實(shí)現(xiàn)低成本快速批量生產(chǎn)。

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