一種基于傳輸矩陣模型確定薄膜光學(xué)常數(shù)的方法

張小翠

摘要：為了快速便捷的確定薄膜材料的光學(xué)常數(shù)，報(bào)道了一種基于傳輸矩陣模型確定薄膜光學(xué)常數(shù)的方法。通過(guò)軟件Mathematica編程，以 ITO（Sn：In2O3）薄膜為例，詳細(xì)給出了傳輸矩陣的工作原理，提取光學(xué)常數(shù)的過(guò)程和注意事項(xiàng)，驗(yàn)證了此方法和相應(yīng)程序的可行性和便捷性。 同時(shí)通過(guò)比較不同溫度條件下沉積的ITO薄膜的光學(xué)常數(shù)，證明了薄膜光學(xué)性能隨制備條件變化的可能性，體現(xiàn)了提取實(shí)際薄膜樣品光學(xué)參數(shù)的重要性。最后，還給出了傳輸矩陣法求解光學(xué)參數(shù)所適用的薄膜范圍。

關(guān)鍵詞：傳輸矩陣；光學(xué)常數(shù)；折射率；消光系數(shù)；多解

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）03-0216-03

在當(dāng)今社會(huì)，光學(xué)薄膜在人們?nèi)粘Ｉ钪衅鹬絹?lái)越重要和廣泛的作用，被應(yīng)用到了諸如減反層[1，2]，發(fā)光二極管[3，4]，光伏太陽(yáng)能電池[5，6]等等。由于光在薄膜中傳播的復(fù)雜性，理論模擬光傳播往往是必要的，因?yàn)槔碚撃M能幫助優(yōu)化薄膜器件結(jié)構(gòu)，對(duì)實(shí)驗(yàn)起到指導(dǎo)作用。薄膜的光學(xué)常數(shù)是決定其光學(xué)性能的基本參數(shù)，所以光學(xué)常數(shù)的準(zhǔn)確性決定了光傳播模擬的可靠程度以及進(jìn)一步對(duì)實(shí)驗(yàn)的指導(dǎo)作用。光學(xué)常數(shù)由兩部分組成，n為折射率，k為消光系數(shù)， 通常表達(dá)為（n， k）或者復(fù)數(shù)形式（N=n+ik）[7]。然而即使是同種材料，文獻(xiàn)報(bào)道的（n， k）值存在很大的差異，這就意味著文獻(xiàn)報(bào)道值可能不適用特定的樣品。造成這種現(xiàn)象的原因主要有兩個(gè)，其一就是各種光學(xué)常數(shù)確定方法所固有的實(shí)驗(yàn)誤差，但更為主要的是薄膜由于制備條件不同所引起其本身物理性能的不同。這就決定了對(duì)特定實(shí)驗(yàn)條件下制備的薄膜，其光學(xué)常數(shù)需要重新確定；其次，對(duì)一種新材料，文獻(xiàn)還沒(méi)有報(bào)道值，快速確定其光學(xué)常數(shù)來(lái)深化對(duì)材料的了解也是非常有意義且必要的。

光學(xué)常數(shù)不能夠被光學(xué)測(cè)試直接得出，必須依靠薄膜的光學(xué)性能來(lái)非直接的提取。依據(jù)確定光學(xué)常數(shù)基本原理的不同，可大致分為橢圓偏振法[8-10]和光度法[9，11，12]。偏振方法是通過(guò)物理模型去模擬光在薄膜中的傳播，來(lái)匹配入射光和反射光（或透射）的強(qiáng)度和相位以此來(lái)確定光學(xué)常數(shù)。這種方法一般要求入射光必須是傾斜入射的偏振光，對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備要求較高。除此之外，背后的物理模型包含很多物理參數(shù)，要求對(duì)調(diào)查的材料的性能比較理解，這就對(duì)確定復(fù)雜材料或者新材料的光學(xué)常數(shù)提出了挑戰(zhàn)。對(duì)于光度方法，它可以僅依賴于垂直入射下的透過(guò)率（T） 和反射率（R），而R/T可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)室常規(guī)的紫外-可見（UV-Vis）分光光度計(jì)測(cè)試得到。本工作中采取基于傳輸矩陣模型的光度方法來(lái)確定薄膜的光學(xué)常數(shù)。傳輸矩陣[13-15]是一種描述光在多層結(jié)構(gòu)傳播的一維模型。它能夠考慮到層界面的多重反射和光的相干和非相干傳播，被廣泛應(yīng)用于調(diào)查薄膜層結(jié)構(gòu)的R/T。但是，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試R/T，逆向確定薄膜的光學(xué)常數(shù)鮮有報(bào)道。所以，本工作中報(bào)道了基于傳輸矩陣確定薄膜光學(xué)常數(shù)的方法，全面介紹了此方法求取光學(xué)常數(shù)的過(guò)程，證明了其可行性和便捷性。

1 傳輸矩陣原理

圖1展示了垂直入射條件下薄膜層結(jié)構(gòu)的電場(chǎng)分布。在每個(gè)界面，入射光一部分會(huì)透射到相鄰的另外一層薄膜，同時(shí)另一部分光會(huì)被反射回去。在符號(hào)中，上標(biāo)+（-）分別代表正向和負(fù)向電場(chǎng)方向，m代表第m層薄膜，1（2）指示電場(chǎng)靠近左（右）界面。根據(jù)傳輸矩陣模型，在每個(gè)界面兩邊的電場(chǎng)可以通過(guò)等式（1）連接起來(lái)：

其中，分別是在m層和m+1層之間的菲涅耳透射和反射系數(shù)，它們都是薄膜光學(xué)常數(shù)N=n+ik的函數(shù)，見等式（2）和（3）。

當(dāng)光在一個(gè)薄膜層中從左邊傳輸?shù)接疫叄ㄒ妶D1），電場(chǎng)強(qiáng)度的變化可以用等式（4）連接起來(lái)：

是光在第m層傳播的相位變化，是光學(xué)常數(shù)（）， 薄膜厚度（）和波長(zhǎng)（）的函數(shù)：

由此可見，通過(guò)等式（1）和（4），光從入射介質(zhì)和透射介質(zhì)的電場(chǎng)關(guān)系可以通過(guò)一個(gè)傳輸矩陣建立起來(lái)：

光強(qiáng)度正比于電場(chǎng)的二次方，這樣通過(guò)平方電場(chǎng)，反射（）和透射 （）光基于入射光強(qiáng)度（）的關(guān)系就不難得出了，最后得出光強(qiáng)度矩陣關(guān)系：

這樣R和T的表達(dá)式就建立起來(lái)了

從整個(gè)等式的推導(dǎo)不難看出，最后R/T是每層薄膜的光學(xué)常數(shù)和厚度的函數(shù)，這就為確定薄膜的光學(xué)常數(shù)提供了可能：如果一個(gè)薄膜層結(jié)構(gòu)只有被調(diào)查的一層薄膜的光學(xué)常數(shù)未知，其他參數(shù)已知或可以被直接測(cè)試，那么依據(jù)等式，被調(diào)查薄膜的光學(xué)常數(shù)是可以求解出來(lái)的。

2 實(shí)驗(yàn)樣品模型

為了簡(jiǎn)單起見，如圖2所示， 實(shí)驗(yàn)樣品只有兩層結(jié)構(gòu)ITO（Sn：In2O3）/玻璃襯底， ITO是一種最為常見的透明導(dǎo)電薄膜，此雙層結(jié)構(gòu)（ITO/玻璃襯底）經(jīng)常應(yīng)用于各種半導(dǎo)體器件的電極。玻璃襯底的光學(xué)常數(shù)已知為（1.5， 0），厚度為2 mm。ITO薄膜由磁控濺射所制備，厚度為200 nm。由等式（8）和（9）可以得出此結(jié)構(gòu)的R/T解析表達(dá)式（記為）。因?yàn)槠渌麉?shù)都已知，所以只是ITO薄膜光學(xué)常數(shù)（）的函數(shù)。而此結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)R/T能夠通過(guò)UV-Vis分光光度計(jì)測(cè)試得到（波段范圍λ，330-2000 nm），在這里記為。通過(guò)比較和，能得出兩個(gè)等式：

基于上面的傳輸矩陣方法，應(yīng)用軟件Mathematica寫了一個(gè)程序，來(lái)求解出等式（10）和（11）。

3 結(jié)果與討論

圖3是基于傳輸矩陣法求解ITO折射率（n）的解析解。在Mathematica程序里面求解隱函數(shù)等式（10）和（11）的原理是通過(guò)在一定（n， k）范圍內(nèi)以一定的步進(jìn)計(jì)算，如果與對(duì)應(yīng)相比，如果絕對(duì)誤差小于0.0001，所對(duì)應(yīng)的（n， k）就為等式（10）和（11）的解析解。通過(guò)圖3，可以觀察到存在多解情況，這主要由于隱函數(shù)等式（10）和（11）的復(fù)雜性所決定的，這也是傳輸矩陣法的一個(gè)主要缺點(diǎn)。因?yàn)檎凵渎剩╪）多解性比消光系數(shù)（k）復(fù)雜，所以只有n的解呈現(xiàn)在圖3。在圖3中還可以觀察到另外一個(gè)現(xiàn)象，由于多解性的緣故，構(gòu)成了解枝。理想情況下，這些解枝應(yīng)該在某個(gè)數(shù)值區(qū)間內(nèi)相互相切合，形成一條連續(xù)的色散曲線，這條線就是對(duì)應(yīng)著有物理意義的折射率值。通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)在n值區(qū)間[0， 2]范圍內(nèi)（見圖3紅色曲線），有一條通過(guò)解枝形成的近似連續(xù)曲線。這條曲線中存在相鄰的解枝沒(méi)能很好相切導(dǎo)致曲線中斷的現(xiàn)象，稱之為解溝。解溝產(chǎn)生的原因很多，比如粗糙界面，薄膜在空氣中表面生成一層幾個(gè)納米的氧化物，UV-Vis儀器測(cè)試誤差等因素，都會(huì)引起實(shí)驗(yàn)樣品偏離傳輸矩陣模型從而導(dǎo)致解溝的出現(xiàn)[11，12]。解溝處波長(zhǎng)是沒(méi)有物理意義的解析解，為了解決這個(gè)問(wèn)題，這里采用的方法就是根據(jù)已知的有物理意義的解 （紅色曲線對(duì)應(yīng)）形成一個(gè)spline函數(shù)，再根據(jù)這個(gè)spline函數(shù)插值出解溝處的數(shù)值。采取這個(gè)方法背后的物理基礎(chǔ)就是光學(xué)常數(shù)都是隨波長(zhǎng)變化的連續(xù)色散曲線，不可能出現(xiàn)急劇不連續(xù)變化。

在求解過(guò)程中，（n，k）值是成對(duì)出現(xiàn)的，所以當(dāng)折射率（n）確定的同時(shí)，消光系數(shù)（k）也就確定下來(lái)了。圖4 中顯示了基于圖3提取的有物理意義的ITO薄膜光學(xué)常數(shù)（實(shí)線），此樣品是在基板溫度400°C條件下制備的，為了證明在概述部分提到的薄膜的光學(xué)性能可能會(huì)隨制備條件變化而變化，25°C常溫條件下制備的ITO樣品的光學(xué)常數(shù)也展示在圖4（虛線）。我可以看到兩種溫度條件下ITO的（n，k）值有著巨大的差異，在所調(diào)查的波段范圍內(nèi)高溫下樣品折射率（n）減低，但消光系數(shù)（k）大幅度增加，這很可能是由于高溫下ITO薄膜的有效電子濃度增加造成的。

接下來(lái)討論一下傳輸矩陣確定光學(xué)參數(shù)所適用薄膜的范圍。首先根據(jù)上面推導(dǎo)的等式，整個(gè)樣品的T > 0。從材料角度來(lái)講，對(duì)介質(zhì)和半導(dǎo)體材料比較適用，不適用不透明的金屬薄膜； 其次從波段角度來(lái)看，對(duì)不透明的波段不適用。這是因?yàn)楫?dāng)T = 0時(shí)，傳輸矩陣會(huì)假設(shè)光剛好在透過(guò)整個(gè)薄膜的時(shí)候透射光強(qiáng)度為0，而實(shí)際情況可能是光在薄膜中（沒(méi)有穿透薄膜）傳播時(shí)強(qiáng)度已經(jīng)為0，這樣會(huì)引起計(jì)算的誤差。第二點(diǎn)就是薄膜必須是緊湊致密的，不能有孔洞和雜志，同時(shí)界面不能有很大的粗糙度，否則光的散射會(huì)增強(qiáng)，造成傳輸矩陣模型不適用。

4 總結(jié)

在此工作中，報(bào)道了一種基于傳輸矩陣模型確定薄膜光學(xué)常數(shù)（n，k）的便捷方法，通過(guò)軟件Mathematica開發(fā)出了計(jì)算提取薄膜光學(xué)常數(shù)的程序。以ITO薄膜為例，詳細(xì)給出了提取（n，k）的過(guò)程和注意事項(xiàng)，驗(yàn)證了此方法和相應(yīng)程序的可行性和便捷性。同時(shí)通過(guò)比較不同條件下沉積的ITO薄膜的（n，k），再次證明了薄膜光學(xué)性能隨制備條件變化的可能性，體現(xiàn)了提取實(shí)際樣品光學(xué)參數(shù)的重要性。最后，本文還給出了輸矩陣法求解光學(xué)參數(shù)所適用的薄膜范圍。

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