兩片變剛度全嚙合鋼板彈簧粒子群優(yōu)化設(shè)計(jì)

游雄杰，干年妃，程 超

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

1 引言

少片鋼板彈簧作為汽車懸架的彈性元件在重量上有很大的優(yōu)勢(shì)，能夠有效的降低整車自重。同時(shí)它的材料利用率高，能夠節(jié)約原材料，降低成本。而少片變剛度鋼板彈簧不僅能夠?qū)崿F(xiàn)輕量化，還能顯著提高整車的舒適性能。少片變剛度鋼板彈簧己經(jīng)成為重型載貨汽車的發(fā)展趨勢(shì)[1]。

目前，少片變剛度鋼板彈簧廣泛應(yīng)用于輕、微型汽車的懸架系統(tǒng)。主副簧接觸型式主要是拋物線型或漸開線型，對(duì)于少片變剛度鋼板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)與計(jì)算中的應(yīng)力計(jì)算一般采用經(jīng)驗(yàn)公式修正[2]，對(duì)整個(gè)接觸過程的板簧應(yīng)力變化研究較少。主要是使用優(yōu)化工具箱或其它優(yōu)化算法，對(duì)板簧進(jìn)行單目標(biāo)輕量化的優(yōu)化設(shè)計(jì)[3]。單目標(biāo)輕量化的優(yōu)化算法雖然對(duì)應(yīng)力和剛度有約束，但仍具有很大的盲目性和隨機(jī)性，有時(shí)甚至?xí)?yōu)化不出結(jié)果，得不到滿意的結(jié)論，導(dǎo)致做到輕量化的同時(shí)，懸架的可靠性能和平順性能又難以達(dá)到要求。

在原有設(shè)計(jì)理論的基礎(chǔ)上[4-6]，采用全嚙合曲線型的接觸型式，提出一種新的少片變剛度板簧的設(shè)計(jì)計(jì)算方法。以某重卡牽引車少片變剛度全嚙合鋼板彈簧為例，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，建立三個(gè)目標(biāo)之間的二次多項(xiàng)式函數(shù)近似模型，將多目標(biāo)優(yōu)化算法引入到板簧優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，找到幾個(gè)目標(biāo)和變量之間的變化關(guān)系，從而得到一個(gè)非劣解集，根據(jù)設(shè)計(jì)需求從解集中選取期望的設(shè)計(jì)參數(shù)，以克服單個(gè)目標(biāo)優(yōu)化的盲目性。最終對(duì)少片變剛度全嚙合板簧進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，取得了良好的效果。

2 建立兩片變剛度全嚙合主副簧數(shù)學(xué)模型

由于鋼板彈簧左右對(duì)稱，故可取其一半進(jìn)行分析。對(duì)于梯形變截面板簧，其設(shè)計(jì)參數(shù)包括：半主簧長(zhǎng)度lm；主簧板端長(zhǎng)度x（1）；主簧根部長(zhǎng)度lm2；主簧板端厚度x（2）；主簧根部厚度x（3）；半副簧長(zhǎng)度 x（4）；副簧根部長(zhǎng)度 la2；副簧板端厚度 x（5）；副簧根部厚度x（6）。主副簧共同作用時(shí)板簧二分之一模型，如圖1所示。

圖1 主副簧共同作用時(shí)板簧二分之一模型Fig.1 One Half of Leaf Spring Model When Main Spring and Auxiliary Spring Acting Together

當(dāng)主副簧開始共同起作用，即從開始接觸，直到完全接觸，主副簧質(zhì)量與空載偏頻不隨接觸過程變化。單片板簧的質(zhì)量與剛度空載偏頻計(jì)算[7]，此處不再贅述，全嚙合過程主副簧最大工作應(yīng)力的計(jì)算方法推導(dǎo)如下。

當(dāng)主副簧接觸位置距離主簧端部為x，此時(shí)加載在主簧端部的載荷為：

式中：p1—主副簧剛要開始接觸時(shí)加載在主簧端部載荷p的取值；p2—主副簧剛好完全接觸時(shí)加載在主簧端部載荷p的取值。

接觸過程中主副簧最大工作應(yīng)力按以下兩種情形計(jì)算：

第一種情形：當(dāng) x（1）≤lm-x（4）時(shí)；

當(dāng) 0≤x≤x（1），hz=（2）；

第二種情形：當(dāng) x（1）≥lm-x（4）時(shí)；

當(dāng) 0≤x≤lm-x（4），hz=x（2）；

當(dāng) lm-x（4）≤x≤x（1），hz=x（2），變截面區(qū)間 hf與 x 呈線性變化；

式中：pw—滿載時(shí)主簧端部載荷；wz—主簧各截面斷面系數(shù)；Iz—主簧各截面慣性矩；wf—副簧各截面斷面系數(shù)；If—副簧各截面慣性矩；σmax_z—主簧最大工作應(yīng)力；σmax_f—副簧最大工作應(yīng)力。

主副簧的最大工作應(yīng)力可按下式計(jì)算：

3 兩片變剛度全嚙合主副簧多目標(biāo)優(yōu)化試驗(yàn)設(shè)計(jì)

以該牽引車兩片變剛度全嚙合鋼板彈簧的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)為例來驗(yàn)證結(jié)果是否可靠。該牽引車的前橋鋼板彈簧已經(jīng)做到兩片變截面定剛度鋼板彈簧，原質(zhì)量為37kg。具體設(shè)計(jì)參數(shù)如下：lm=765mm，lm2=la2=115mm，B=90mm。按超載設(shè)計(jì)，空載軸荷：19000N；滿載軸荷：47400N。板簧材料為51CrV4，抗拉強(qiáng)度達(dá)到1350MPa以上。

一般來說，板簧質(zhì)量越輕，滿載剛度越小，滿載偏頻越小，這兩者不相矛盾，不用尋求平衡解。而理想的板簧設(shè)計(jì)參數(shù)是在做到輕量化的同時(shí)可靠性能和平順性能都較優(yōu)，因此利用多目標(biāo)算法對(duì)板簧質(zhì)量、最大工作應(yīng)力以及空載偏頻進(jìn)行優(yōu)化，以尋求三個(gè)目標(biāo)之間的平衡解，找到滿足理想性能的板簧設(shè)計(jì)參數(shù)。板簧的多目標(biāo)優(yōu)化問題可以用公式表示：

式中：fm—鋼板彈簧質(zhì)量；

σmax—主副簧最大工作應(yīng)力；

fz—空載偏頻。

而在影響質(zhì)量、應(yīng)力和空載偏頻的諸多因素中，對(duì)板長(zhǎng)和板厚的優(yōu)化是最為可行的，因此選取板簧主簧板端長(zhǎng)度x（1）；主簧板端厚度 x（2）；主簧根部厚度 x（3）；半副簧長(zhǎng)度 x（4）；副簧板端厚度 x（5）；副簧根部厚度 x（6）作為此次優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量[8]。上述的取值范圍是根據(jù)板簧設(shè)計(jì)規(guī)格和加工要求確定的。各變量的優(yōu)化區(qū)間，如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化區(qū)間Tab.1 Design Variable Bounds

其具體優(yōu)化流程，如圖2所示。

圖2 板簧多目標(biāo)優(yōu)化流程圖Fig.2 Flow Chart of Leaf Spring Multi-Objective Optimization

3.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

基于回歸分析的近似模型方法是針對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行操作的，因此樣本點(diǎn)選取的優(yōu)劣決定了所構(gòu)建的近似模型的正確性。為建立精度和效率都較高的近似模型，需要選取合適的樣本點(diǎn)，如果樣本選擇不當(dāng)則有可能造成近似模型精度較低，甚至錯(cuò)誤等結(jié)果。采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，該方法的基本思想是將每個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的設(shè)計(jì)空間均勻地劃分為邊長(zhǎng)為N的方陣，然后在方陣中隨機(jī)取得不同行不同列的N個(gè)采樣點(diǎn)。此方法的采樣點(diǎn)比較均勻，可獲得充分的模型信息。

采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，獲取100組樣本點(diǎn)。即得到100組板簧長(zhǎng)度厚度參數(shù)，由于篇幅原因僅列出一些樣本，數(shù)據(jù)所列，如表2所示。

表2 板簧參數(shù)樣本點(diǎn)Tab.2 Parameters of Leaf Spring Sample Points

根據(jù)100組樣本點(diǎn)，分別建立100組板簧的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出各自的質(zhì)量，并得到每組的最大工作應(yīng)力值和空載偏頻。

3.2 二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型

近似模型的基本思想是，通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)和試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，在設(shè)計(jì)變量和相應(yīng)值之間建立一種現(xiàn)實(shí)的函數(shù)關(guān)系來近似復(fù)雜的實(shí)際問題或函數(shù)。常用的近似模型方法有Kriging響應(yīng)面法、徑向基函數(shù)法、多項(xiàng)式響應(yīng)面法及移動(dòng)最小二乘法等。

求解復(fù)雜問題時(shí)通常需要更高階次的多項(xiàng)式函數(shù)來提高擬合精度，此時(shí)響應(yīng)面模型的回歸系數(shù)也會(huì)隨之大幅增加，尤其對(duì)于多變量的問題，其計(jì)算量很大且計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，難以滿足工程需求。研究表明，二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型基本能滿足絕大多數(shù)工程問題的求解，有較好的計(jì)算精度和求解效率，因此，采用二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型來構(gòu)造目標(biāo)與變量之間的函數(shù)關(guān)系，其對(duì)目標(biāo)估計(jì)的基本形式可以表示為[9]：

式中：x∈Rm—設(shè)計(jì)變量；m—x 的維數(shù)；β0、βi、βm-1+i+j—常數(shù)項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)。

由樣本點(diǎn)得到二次多項(xiàng)式近似模型的關(guān)鍵是求解系數(shù)矩陣β，該矩陣可通過最小二乘法求得：

質(zhì)量fm本身就是關(guān)于x的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)，其系數(shù)矩陣β1為：

β1=［0，0，0.4592，0.6217，0，-0.0812，0.0812，0，0，0，0，0，0，0.0007，

-0.0007，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0.0007，0.0007，0］。

對(duì)于應(yīng)力的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)σmax的系數(shù)矩陣，系數(shù)矩陣β2取如下值時(shí)，二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型與采樣點(diǎn)擬合最好。

對(duì)于空載偏頻的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面函數(shù)fk的系數(shù)矩陣，系數(shù)矩陣β3取如下值時(shí)，二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型與采樣點(diǎn)擬合最好。

3.3 基于粒子群算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)

粒子群優(yōu)化算法源于對(duì)鳥類群體覓食行為的研究，有學(xué)者觀察到鳥類在尋覓食物的時(shí)候會(huì)經(jīng)常變換尋找方向，并且有時(shí)聚攏、有時(shí)分散，飛行軌跡難以猜測(cè)，但是全體鳥群卻總是能夠持續(xù)同步，鳥群中每個(gè)個(gè)體之間同樣能夠維持適當(dāng)?shù)木嚯x，學(xué)者們對(duì)這種生物種群進(jìn)行了深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)在種群活動(dòng)時(shí)群體內(nèi)會(huì)進(jìn)行信息傳遞與溝通，這就為種群的共同進(jìn)化創(chuàng)造了條件，這便是PSO優(yōu)化算法形成的基礎(chǔ)。該種理論的核心便是個(gè)體間的溝通和交流，這是在全局范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解的基礎(chǔ)，通過群體中每個(gè)個(gè)體之間的相互協(xié)作和信息交流來尋求問題的全局最優(yōu)解。

對(duì)于多數(shù)的多目標(biāo)尋優(yōu)問題，其各目標(biāo)往往不可比較，有時(shí)甚至?xí)ハ鄾_突，提升一個(gè)目標(biāo)的性能往往會(huì)導(dǎo)致其它目標(biāo)性能的下降，因此，此類問題無法找到確定的最優(yōu)解來同時(shí)滿足所有目標(biāo)，但我們能夠?qū)で鬂M足如下條件的解：其中的某個(gè)或者多個(gè)目標(biāo)無法獲得更優(yōu)值，而其余所有目標(biāo)的性能也不會(huì)惡化，我們通常利用這種Pareto非劣解集來指導(dǎo)工程中的優(yōu)化設(shè)計(jì)[10-12]。利用多目標(biāo)粒子群算法對(duì)鋼板彈簧三個(gè)目標(biāo)函數(shù)尋找平衡解，設(shè)置粒子群算法控制參數(shù)：取慣性權(quán)值w=0.7，加速因子c1=c2=1.5，種群規(guī)模nPop=100，存儲(chǔ)大小nRep=100，最大迭代次數(shù)MaxIt=100，經(jīng)過100代優(yōu)化計(jì)算，得到滿足設(shè)計(jì)要求的Pareto非劣解集。根據(jù)設(shè)計(jì)需求從Pareto解集中選取期望的設(shè)計(jì)參數(shù)，最后選取的一組優(yōu)化目標(biāo)值：質(zhì)量為31kg，最大工作應(yīng)力為629.7MPa，空載偏頻為3.173Hz。對(duì)應(yīng)板簧設(shè)計(jì)參數(shù)為 X=［149.5，14.1，24.7，498.4，9.1，19.2］。

3.4 優(yōu)化結(jié)果分析

將優(yōu)化后的板簧設(shè)計(jì)參數(shù)代入到數(shù)學(xué)模型中計(jì)算得到空載偏頻為2.998Hz，滿載偏頻為1.865Hz，質(zhì)量為31kg，最大工作應(yīng)力為654.6MPa。在MATLAB中畫出最大工作應(yīng)力，如圖3所示。

圖3 MATLAB工作應(yīng)力圖Fig.3 Stress Drawing in MATLAB

利用優(yōu)化后得到的板簧設(shè)計(jì)參數(shù)擬合出板簧自由狀態(tài)曲線，在三維軟件中建模，通過專業(yè)的有限元前處理軟件Hypermesh和ANSYS后處理功能，得到新的結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖，如圖4所示。結(jié)果顯示板簧的最大工作應(yīng)力為644.4MPa。對(duì)比近似模型的優(yōu)化結(jié)果和圖3、圖4可以看出：優(yōu)化后利用理論數(shù)學(xué)模型與有限元模型都驗(yàn)證了結(jié)果的可靠性。其最大工作應(yīng)力值（均在650MPa左右）遠(yuǎn)低于其材料的抗拉強(qiáng)度1350MPa，安全系數(shù)為2.1，可以滿足材料應(yīng)力要求。由多目標(biāo)粒子群算法優(yōu)化所得的板簧性能參數(shù)與優(yōu)化前的設(shè)計(jì)對(duì)比，如表3所示。

圖4 ANSYS工作應(yīng)力云圖Fig.4 Stress Drawing in ANSYS

表3 優(yōu)化前后懸架性能對(duì)比Tab.3 The Performance of Suspension Before and After Optimization

4 結(jié)論

針對(duì)某牽引車鋼板彈簧的優(yōu)化問題，建立該車型的兩片變剛度全嚙合鋼板彈簧數(shù)學(xué)模型，對(duì)鋼板彈簧質(zhì)量、最大工作應(yīng)力和空載偏頻進(jìn)行多目標(biāo)粒子群優(yōu)化設(shè)計(jì)，再通過仿真和有限元分析驗(yàn)證了結(jié)果的可靠性。變剛度全嚙合鋼板彈簧保證了主副簧每一點(diǎn)都充分接觸，由圖4可知，板簧材料的利用率非常高，大部分區(qū)域應(yīng)力都按等強(qiáng)度分布。兩種仿真應(yīng)力預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)誤差在5%以下。由表3可知，在保證可靠性的前提下，空滿載偏頻分別從3.5Hz和1.91Hz降到了2.998Hz和1.865Hz，空滿載平順性能得到了較大改善，同時(shí)，板簧質(zhì)量在少片簧的基礎(chǔ)上由37kg減少到了31kg，又減輕了16.2%，實(shí)現(xiàn)了輕量化。

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