少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的剛度與應(yīng)力解析計算

王鳳娟，周長城，于曰偉，張云山，汪 曉，邵明磊

(1. 山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，山東 淄博 255049；2.山東彈簧廠淄博有限公司，山東 淄博 256410)

隨著汽車輕量化相關(guān)政策的實(shí)施，少片變截面鋼板彈簧日益受到汽車懸架研究領(lǐng)域?qū)＜壹吧a(chǎn)企業(yè)的重視。 為了滿足板簧設(shè)計的剛度要求和應(yīng)力約束條件，通常在板簧根部平直段與拋物線段之間增設(shè)斜線段結(jié)構(gòu)，且由于首片板簧端部所受載荷復(fù)雜，須使首片板簧的端部平直段厚度和長度的設(shè)計值大于其余各片，即采用端部非等構(gòu)式的少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧。 目前，國內(nèi)外很多學(xué)者借助于有限元仿真分析法[1-2]、多體動力學(xué)仿真分析法[3]和板簧試驗(yàn)法[4-6]等對少片變截面鋼板彈簧力學(xué)特性進(jìn)行了研究。 其中，針對少片鋼板彈簧輕量化優(yōu)化設(shè)計方法的研究，有學(xué)者采用CAE建模仿真和板簧臺架試驗(yàn)，對少片鋼板彈簧力學(xué)特性剛度和應(yīng)力進(jìn)行對比分析[7-10]；有學(xué)者采用Adams/Chassis Leaf spring專業(yè)模塊的二次開發(fā)模型，對懸架鋼板彈簧進(jìn)行力學(xué)特性試驗(yàn)和不同工況下的仿真分析[11]；有學(xué)者采用ANSYS有限元仿真軟件和樣機(jī)試驗(yàn)相結(jié)合的方法對鋼板彈簧的剛度、應(yīng)力等力學(xué)特性進(jìn)行研究[12-15]。 然而，上述研究方法都未給出精確的少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧剛度及應(yīng)力解析計算式，不能滿足板簧現(xiàn)代化CAD設(shè)計以及數(shù)字化工廠的要求，這給少片變截面板簧的精準(zhǔn)設(shè)計與產(chǎn)品開發(fā)帶來了不便。

本文基于單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧力學(xué)模型，對其剛度及應(yīng)力進(jìn)行解析計算，在此基礎(chǔ)上建立少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的剛度及應(yīng)力計算公式，通過實(shí)例對所建立的少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧剛度及應(yīng)力計算公式進(jìn)行解析計算和ANSYS仿真驗(yàn)證。

1 單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的剛度及應(yīng)力解析計算

1.1 單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧結(jié)構(gòu)及力學(xué)模型

單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧對稱結(jié)構(gòu)力學(xué)模型如圖1所示，其由根部直線段、斜線段、拋物線段和端部直線段四部分構(gòu)成，板簧自由端處所受單端點(diǎn)載荷為F，長度為L，寬度為b，彈性模量為E；根部厚度為h2，根部直線段為安裝間距的一半，其長度為l3；斜線段的厚度比為γ，其水平長度為Δl，斜線段部分厚度為hd(x)，其根部至板簧自由端處長度為ld；拋物線段的厚度比為β，厚度為hp(x)，近根部端處厚度為h2p，其根部至板簧自由端處長度為l2；端部長度為l1，厚度為h1；坐標(biāo)原點(diǎn)O在模型右部自由端處，水平向左指向x軸正方向。

圖1 單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧力學(xué)模型Fig.1 Mechanics model of single-chip root-intensive parabolic leaf spring

根據(jù)圖1所示的單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的力學(xué)模型，板簧端部厚度h1為

h1=βh2p=βγh2

(1)

式中：β=h1/h2p；γ=h2p/h2。

板簧端部直線段長度l1為

l1=(βγ)2l2

(2)

板簧拋物線段部分厚度hp(x)為

(3)

根部斜線段部分過(l2，h2p)、(ld，h2)兩點(diǎn)，則板簧根部斜線段部分厚度hd(x)為

(4)

綜上，單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的厚度表達(dá)式h(x)為

(5)

1.2 單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧剛度及應(yīng)力的解析計算

當(dāng)在板簧端部施加載荷F時，其變形能為

(6)

式中:I1、I2、I3、I4分別為板簧端部直線段、拋物線段、斜線段、根部直線段部分的截面慣性矩，其中

(7)

根據(jù)卡式第二定理，板簧端部撓度為

(8)

將式(5)—式(7)代入式(8)整理可得，單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的撓度解析計算式為

(9)

式中:Gd為單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的撓度系數(shù)，其表達(dá)式為

由單片板簧剛度、撓度與載荷的相互關(guān)系可知，單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的剛度解析計算式為

(10)

單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧在x位置處的彎矩M(x)為

M(x)=Fx

(11)

由材料力學(xué)可知，板簧在x位置處的應(yīng)力為

(12)

式中:W(x)為板簧抗彎截面系數(shù)，即W(x)=bh2(x)/6。

將式(5)代入式(12)整理可得，單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的應(yīng)力計算模型為

(13)

2 少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的剛度及應(yīng)力解析計算

少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧由單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧疊加而成，其力學(xué)模型如圖2所示。少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧端部為非等構(gòu)結(jié)構(gòu)，即首片板簧的端部直線段的厚度和長度大于其他各片板簧，使得首片板簧能夠滿足端部復(fù)雜受力的需求。 板簧片數(shù)為n(n≤5)，彈性模量為E。 各片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的根部厚度為hi2，拋物線段近根部端處厚度為h2pi，端部厚度為hi1，端部長度為li1=(βiγi)2l2，斜線段厚度比為γi，拋物線段的厚度比為βi。

圖2 少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧力學(xué)模型Fig.2 Mechanics model of few-chip root-intensive parabolic leaf spring

由式(10)可得，少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的各片加緊剛度Ki為

(14)

式中：Gdi為加緊狀態(tài)下的各片板簧撓度系數(shù)，有

其中，βi=hi1/h2pi，γi=h2pi/hi2。

因此，少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的加緊剛度計算式為

(15)

在端部載荷F的作用下，少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的撓度wmax為

(16)

由式(13)可知，在加緊狀態(tài)下，少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的各片板簧任意位置處的應(yīng)力計算式為

(17)

式中:Fi為各片板簧端部所受載荷，基于各片板簧剛度Ki與載荷Fi之間的關(guān)系，有

3 解析計算實(shí)例和仿真分析

3.1 解析計算實(shí)例

某款車型前懸架板簧采用少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧，彈簧片數(shù)n=3，板簧寬度b=70 mm，彈簧一半長度L=600 mm，U型螺栓中心距的一半l3=44 mm，根部平直段厚度hi2=17 mm，根部斜線段水平長度Δ=30 mm，拋物線段近根部端處厚度為h2pi=15.98 mm；端部直線段厚度分別為h11=8.79 mm、h21=h31=8.32 mm，長度分別為l11=159.12 mm、l21=l31=142.64 mm；各片板簧拋物線段厚度比為β1=8.79/15.98=0.55，β2=β3=8.32/15.98=0.52，各片板簧斜線段厚度比為γi=15.98/17=0.94，板簧端部所受單端點(diǎn)載荷F=8146 N，彈性模量E=200 GPa。

由式(14)可得，該根部加強(qiáng)型拋物線板簧的各片加緊剛度Ki為

式中，加緊狀態(tài)下的各片板簧的撓度系數(shù)Gdi為

Gd1=106.11 mm4/N，

Gd2=Gd3=108.18 mm4/N

因此，該板簧的加緊剛度為

K=274.2 N/mm

該板簧在端部載荷F=8146 N下的撓度為

少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的各片端部所受載荷為

由式(17)可得，各片板簧在任意位置處的應(yīng)力為

σ2(x)=σ3(x)=

在端部載荷F作用下，各片板簧在不同位置處的應(yīng)力變化曲線分別如圖3和圖4所示。

圖3 第1片板簧應(yīng)力變化曲線Fig. 3 Stress changing curve of first-chip leaf spring

圖4 第2、3片板簧應(yīng)力變化曲線Fig. 4 Stress changing curve of second and third chip leaf spring

由圖3和圖4可知，各片根部加強(qiáng)型拋物線板簧在端部直線段隨位置x的增加其應(yīng)力呈線性上升趨勢，在拋物線段部分應(yīng)力不變且應(yīng)力值最大，根部斜線段處的應(yīng)力隨位置x的增加呈直線下降，根部直線段處的應(yīng)力隨位置x的增加呈線性增加趨勢. 由于首片板簧端部直線段的厚度與長度大于其余各片，使得第1片板簧最大應(yīng)力大于第2、3片板簧。根部斜線段結(jié)構(gòu)使得各片板簧應(yīng)力降低，起到改善板簧強(qiáng)度的作用. 由于根部斜線段結(jié)構(gòu)的存在，使得各片板簧最大應(yīng)力出現(xiàn)在根部位置處或拋物線段部分。

3.2 仿真分析

利用ANSYS仿真軟件對上述少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧進(jìn)行靜力學(xué)特性仿真，并與解析值進(jìn)行對比分析。 通過Contacts確定各片板簧模型之間的接觸區(qū)域，設(shè)置接觸類型為No Separation，各片板簧根部直線段之間設(shè)置為面與面接觸，端部位置處設(shè)置為線與面接觸；在劃分網(wǎng)格時，通過Sizing進(jìn)行網(wǎng)格尺寸的相關(guān)設(shè)置，在Relevance Center設(shè)置中選擇Fine，使幾何模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)量與單元數(shù)量增加，以達(dá)到細(xì)化網(wǎng)格的目的；在Element Size中選擇Element Size=4 mm，通過網(wǎng)格尺寸大小來控制幾何尺寸網(wǎng)格劃分的粗細(xì)程度。 其中，該板簧的網(wǎng)格模型如圖5所示。

圖5 少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧網(wǎng)格模型Fig. 5 Mesh model of few-chip root-intensive parabolic leaf spring

在首片板簧端部上邊緣位置處沿Y方向施加集中載荷F=8146.3 N，在各片板簧根部截面位置處施加固定約束，并對模型進(jìn)行求解，分別給出該板簧在Y方向的變形云圖和各片板簧沿X方向的應(yīng)力云圖。 其中，變形云圖如圖6所示，可知，該板簧在集中載荷F=8146.3 N作用下的撓度為wmax=58.94 mm。

圖6 少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧變形云圖Fig. 6 Deformatione nephogram of first-chip root-intensive parabolic leaf spring

同時，對該板簧撓度及剛度的解析結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行分析，見表1。

表1 板簧撓度及剛度結(jié)果分析
Tab. 1 Deflection and stiffness analysis of leaf spring

參數(shù)撓度/mm剛度/N·mm-1解析值59.4274.2仿真值58.94276.4相對偏差值/%0.780.80

由表1可知，該少片根部加強(qiáng)型板簧撓度、剛度的解析值與仿真值的相對偏差值在0.80%范圍內(nèi)，結(jié)果分析表明，所建立的少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧撓度和剛度解析式是正確的。

各片板簧的應(yīng)力云圖及其在拋物線段部分的應(yīng)力分別如圖7和圖8所示。由圖可知，第1片板簧拋物線段部分的應(yīng)力為484.51 MPa，第2、3片的為478.46 MPa。

圖7 第1片板簧應(yīng)力云圖 Fig. 7 Stress nephogram of first-chip leaf spring

圖8 第2、3片板簧應(yīng)力云圖Fig.8 Stress nephogram of second and third chip leaf spring

同時，對該板簧在拋物線段部分的應(yīng)力解析值與仿真值進(jìn)行對比，其結(jié)果見表2。

表2 板簧應(yīng)力結(jié)果分析
Tab. 2 Stress analysis of leaf spring

參數(shù)第1片/MPa第2、3片/MPa解析值485.71476.26仿真值484.51478.46相對偏差值/%0.250.46

由該板簧的應(yīng)力云圖和表2可知，該少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧各片最大應(yīng)力并非在根部位置處，根部斜線段結(jié)構(gòu)使得各片板簧最大應(yīng)力在拋物線段部分；該板簧各片應(yīng)力解析值與其仿真值的相對偏差值均在0.5%范圍內(nèi)，對比結(jié)果表明，所建立的少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧任意位置處的應(yīng)力計算式是正確的。

4 結(jié)論

(1)基于單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧力學(xué)模型，結(jié)合板簧厚度表達(dá)式，利用卡氏第二定理，推導(dǎo)出了單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧撓度和剛度計算公式。 由材料力學(xué)，結(jié)合板簧端部所受載荷，建立了單片根部加強(qiáng)型拋物線板簧應(yīng)力計算公式。

(2)根據(jù)少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧剛度等于各片板簧剛度之和，利用板簧撓度、剛度及所受載荷的相互關(guān)系，建立了其剛度計算公式；依據(jù)各片板簧端部所受載荷與剛度的關(guān)系，建立了其各片板簧任意位置處的應(yīng)力計算公式。

(3)由解析計算實(shí)例和ANSYS仿真驗(yàn)證可知，少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的撓度、剛度及任意位置處的應(yīng)力解析值與其仿真值均相吻合，相對偏差均在0.80%以內(nèi)。 仿真結(jié)果表明，所建立的板簧撓度、剛度及任意位置處的應(yīng)力計算公式是精確的，這對少片根部加強(qiáng)型拋物線板簧的優(yōu)化設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義。