粘彈性層厚度對(duì)復(fù)合材料夾芯梁自由振動(dòng)的影響

翟彥春，王紹清，梁 森

（青島理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 青島 266520）

1 引言

在當(dāng)今的工業(yè)領(lǐng)域，比如帆桅桿以、機(jī)器人手臂及直升飛機(jī)機(jī)翼等等，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在其整體結(jié)構(gòu)中的使用比例正變得越來(lái)越高。這是因?yàn)閺?fù)合材料的大量應(yīng)用在最大化的降低結(jié)構(gòu)的重量的同時(shí)還能極大地提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、可設(shè)計(jì)性以及疲勞壽命。帆桅桿、機(jī)器人手臂、風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片及直升飛機(jī)機(jī)翼等類(lèi)似結(jié)構(gòu)可以近似的看成是復(fù)合材料層合梁結(jié)構(gòu)[1-3]。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者專(zhuān)家對(duì)這一結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[4]在高階剪切理論的基礎(chǔ)上基于有限元模型研究了不同邊界條件和邊長(zhǎng)比下的復(fù)合材料梁的自由振動(dòng)；文獻(xiàn)[5]基于Kirchhoff-Love理論和C1型有限元模型研究了梁的彎曲振動(dòng)；在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，考慮橫向剪切變形影響的基礎(chǔ)上，又研究了梁的自由振動(dòng)[6]。文獻(xiàn)[7]基于漸進(jìn)數(shù)值方法結(jié)合有限元模型對(duì)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[8]基于有限元模型，采用一階折線理論對(duì)五層復(fù)合材料梁的阻尼特性進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[9]應(yīng)用三節(jié)點(diǎn)有限元模型分析了層合梁的自由振動(dòng)，使用正弦函數(shù)表征了沿厚度方向振動(dòng)位移的變化規(guī)律，使用余弦功能函數(shù)表征了橫向剪切應(yīng)變，得到了正弦振動(dòng)模型。文獻(xiàn)[10]建立了復(fù)合材料薄壁梁的模型及非線性平衡方程，得到了在不同鋪層角度下時(shí)間位移曲線和非線性振動(dòng)幅度隨鋪層角的變化情況；文獻(xiàn)[11]分別使用FSDT和HSDT對(duì)四邊簡(jiǎn)支矩形復(fù)合材料三明治板的自然振動(dòng)進(jìn)行研究，結(jié)果表明這兩種理論對(duì)于分析中厚三明治板的動(dòng)態(tài)特性具有較高的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[12]使用擴(kuò)展哈密爾頓原理和瑞利-里茲法研究了包含增強(qiáng)型主動(dòng)約束阻尼層的對(duì)邊簡(jiǎn)支梁的模型頻率和損耗因子。

由于經(jīng)典的歐拉-伯努利梁理論忽略了梁在振動(dòng)過(guò)程中的剪切變形的影響，使得對(duì)于中厚板的振動(dòng)計(jì)算中精度不夠，因此，考慮剪切變形影響的鐵木辛柯梁理論被采用。在之前研究的基礎(chǔ)上，基于鐵木辛柯梁理論結(jié)合哈密爾頓原理推導(dǎo)了粘彈性復(fù)合材料梁的振動(dòng)平衡方程，并通過(guò)與公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)的計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證方程推導(dǎo)的正確性，最后研究了粘彈性層厚度對(duì)阻尼層復(fù)合材料梁的振動(dòng)平衡方程的影響，即對(duì)構(gòu)件的頻率和損耗因子的影響，得到的結(jié)論可為工程人員設(shè)計(jì)復(fù)合材料梁提供參考。

圖1 粘彈性復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)Fig．1 Structure of Viscoelastic Layer Composite Beam

2 振動(dòng)平衡方程的推導(dǎo)

鐵木辛柯梁理論位移模型：

根據(jù)彈性體動(dòng)力學(xué)的哈密爾頓原理，粘彈性復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)的變分方程為：

由于面內(nèi)位移較橫向位移小得多，為簡(jiǎn)化計(jì)算，只考慮橫向位移的動(dòng)能。將式（2）、帶入式（3），整理可得振動(dòng)平衡方程。

3 振動(dòng)分析

3.1 模型驗(yàn)證

采用Navier型解法，使用MATLAB軟件對(duì)滿足對(duì)邊簡(jiǎn)支邊界條件的（0°/90°/0°）鋪設(shè)的阻尼層復(fù)合材料梁的振動(dòng)平衡方程進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[13]中的模型尺寸為：長(zhǎng)度為300mm，表層和底層梁的厚度分別為 0．5mm 和 5mm，他們的密度都是 7．8×103kg/m3，并且他們的彈性模量同為E=207×109Pa；阻尼層厚度hc=2．5mm，密度為 2×103kg/m3，剪切模量 G*=0．2615MPa，損耗因子 0．38。經(jīng)計(jì)算得到的固有頻率和損耗因子的對(duì)照結(jié)果，如表1、表2所示。

從表1和表2可以看出，固有頻率的計(jì)算誤差都在5%以內(nèi)，損耗因子的誤差都在9%以內(nèi)，說(shuō)明所推導(dǎo)的公式是正確的。之所以存在一定的誤差，在于和文獻(xiàn)[13]采用的計(jì)算方法不同，采用Navia型解法，而文獻(xiàn)中采用的是廣義微分積分法。

表1 固有頻率對(duì)照表Tab.1 Contrast of Inherent Frequency

表2 損耗因子對(duì)照表Tab.2 Contrast of Loss Factor

3.2 彈性層厚度不定，阻尼層厚度對(duì)自振的影響

保持彈性層梁的厚度不變，通過(guò)改變粘彈性層梁的厚度來(lái)探究阻尼層厚度對(duì)頻率和損耗因子的影響，如表3和表4所示。

從表3和表4可以看出，隨著阻尼層厚度的增大，損耗因子值逐漸增大，而固有頻率的值逐漸減小。并且一階固有頻率和四階損耗因子的變化區(qū)間最大，而四階固有頻率和一階損耗因子的變動(dòng)最小，基本趨于直線狀態(tài)。

表3 阻尼層厚度對(duì)損耗因子的影響Tab.3 Influence of Damping Layer Thickness on Loss Factor

表4 阻尼層厚度對(duì)固有頻率的影響Tab.4 Influence of Damping Layer Thickness on Inherent Frequency

3.3 總厚度不定，阻尼層厚度對(duì)自振的影響

在保持粘彈性復(fù)合材料梁總厚度不變的前提下，逐漸增大阻尼層的厚度，同時(shí)復(fù)合材料層的厚度會(huì)逐漸減小。在此種計(jì)算情況下，梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：總厚度=80mm，底層和表層的厚度相等，性能參數(shù)不變，計(jì)算結(jié)果，如表5、表6所示。

從表5和表6中可以看出，前四階固有頻率的變化趨勢(shì)隨厚度的增大而減小，變化趨勢(shì)與上一種情形相同，但是變動(dòng)區(qū)間更大，呈現(xiàn)急劇下降的趨勢(shì)。

損耗因子變化趨勢(shì)在阻尼層厚度值小于0，005時(shí)基本不變，變化較平緩，但是當(dāng)厚度大于0.005時(shí)，整體構(gòu)件的損耗因子值急劇增大，并且越接近阻尼層的損耗因子值。

表5 阻尼層厚度對(duì)固有頻率的影響Tab.5 Influence of Damping Layer Thickness on Inherent Frequency

表6 阻尼層厚度對(duì)損耗因子的影響Tab.6 Influence of Damping Layer Thickness on Loss Factor

4 結(jié)論

基于鐵木辛柯梁理論位移模型，推導(dǎo)了阻尼層復(fù)合材料梁的振動(dòng)平衡方程，使用Navier型解法驗(yàn)證了所推導(dǎo)方程的正確性，其次分兩種情況研究了阻尼層厚度對(duì)復(fù)合材料梁的自由振動(dòng)的影響，結(jié)果表明：

（1）分別保持梁的復(fù)合材料層厚度不變和總厚度不變的情況下，都是隨著阻尼層厚度的增大，前四階固有頻率逐漸降低，損耗因子值逐漸增大。

（2）梁的總厚度不變時(shí)，前四階固有頻率隨阻尼層厚度的增大而減小，變動(dòng)區(qū)間較大，呈現(xiàn)急劇下降的趨勢(shì)；損耗因子在阻尼層厚度值小于總厚度的一半時(shí)基本不變，變化較平緩，但是當(dāng)厚度大于總厚度的一半時(shí)，整體構(gòu)件的損耗因子值急劇增大，并且越接近阻尼層的損耗因子值。

［1］Mead D J.The effect of a damping compound on jet-efflux excited vibrations：an article in two parts presenting theory and results of experimental investigation part i the structural damping due to the compound［J］.Aircraft Engineering and Aerospace Technology，1960，32（3）：64-72.

［2］曹巖，沈冰，劉紅軍.某太陽(yáng)能無(wú)人機(jī)復(fù)合材料機(jī)身結(jié)構(gòu)梁選型與優(yōu)化［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2016（7）：205-208.（Cao Yan，Shen Bing，Liu Hong-jun.Selection and optimization of new solar uav composite fuselage structural beams［J］.Mechinery Design&Manufacture，2016（7）：205-208.）

［3］江舒揚(yáng)，蔡晶，傅潔.夾芯復(fù)合材料風(fēng)力機(jī)葉片的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2014（1）：33-36.（Jiang Shu-yang，Cai Jing，F(xiàn)u Jie.Structural design method of sandwich composite wind turbine blade［J］.Mechinery Design&Manufacture，2014（1）：33-36.）

［4］Marur S R，Kant T.Free vibration analysis of fiber reinforced composite beams using higher order theories and finite element modelling［J］.Journal of Sound&Vibration，1996，194（3）：337-351.

［5］Ahmed K M.Free vibration of curved sandwich beams by the method of finite elements［J］.Journal of Sound&Vibration，1971，18（1）：61-74.

［6］Ahmed K M.Dynamic analysis of sandwich beams［J］.Journal of Sound&Vibration，1972，21（3）：263-276.

［7］Akoussan K，Boudaoud H，Carrera E M E.Vibration modeling of multilayer composite structures with viscoelastic layers［J］.Mechanics of Advanced Materials&Structures，2015，22（1-2）：136-149.

［8］Adessina A，Hamdaoui M，Xu C.Damping properties of bi-dimensional sandwich structures with multi-layered frequency-dependent viscoelastic cores［J］.Composite Structures，2016（154）：334-343.

［9］Vidal P，Polit O.Vibration of multilayered beams using sinus finite elements with transverse normal stress ［J］.Steel Construction，2010，92（6）：1524-1534.

［10］朱由鋒，薛風(fēng)先.復(fù)合材料薄壁箱梁的非線性自由振動(dòng)分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2015（1）：7-10.（Zhu You-feng，Xue Feng-xian.Non-linear free vibration analysis of composite thin-walled box beams［J］.Mechinery Design&Manufacture，2015（1）：7-10.）

［11］Meunier M，Shenoi R A.Free vibration analysis of composite sandwich plates［J］.ARCHIVE Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part C Journal of Mechanical Engineering Science，1999，213（7）：715-727.

［12］Gao J X，Liao W H.Vibration analysis of simply supported beams with enhanced self-sensing active constrained layer damping treatments［J］.Journal of Sound&Vibration，2005，280（1-2）：329-357.

［13］Arikoglu A，Ozkol I.Vibration analysis of composite sandwich beams with viscoelastic core by using differential transform method［J］.Composite Structures，2010，92（12）：3031-3039.