具有廣義Marshall-Olkin分布部件并聯(lián)系統(tǒng)隨機比較性質(zhì)

，

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

定義1 設(shè)(X1,X2)的聯(lián)合生存函數(shù)為

(1)

其中常數(shù)λ1，λ2，λ12>0,稱(X1,X2)服從參數(shù)為λ1，λ2，λ12的二維Marshall-Olkin指數(shù)分布，記為(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)。

二維Marshall-Olkin指數(shù)分布由Marshall-Olkin[1]首次提出，該分布的概率解釋可參見文獻[2]。容易得出，二維Marshall-Olkin指數(shù)分布是不相互獨立。

下面給出廣義二維Marshall-Olkin分布的定義。

定義2 設(shè)非負隨機變量Si的分布函數(shù)為Gi,i=1,2,3。如果(X1,X2)的聯(lián)合生存函數(shù)為

(2)

稱(X1,X2)為廣義二維Marshall-Olkin分布，記為(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3)。

廣義二維Marshall-Olkin分布見文獻[3]。

設(shè)(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3)，則邊際生存函數(shù)分別為：

隨機序的定義可參見文獻[4-6]，它們在可靠性理論、保險精算領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

顯然上面隨機序有如下關(guān)系:X≤lrY?X≤hrY?X≤stY,X≤stY?X≤icvY(見文獻[5])。

從定義3可以得出隨機序概念的意義。設(shè)X,Y分別表示兩個元件的壽命，X≤stY表示元件X的可靠度小于元件Y的可靠度；X≤hrY表示元件X的故障率大于元件Y的故障率。

次序統(tǒng)計量的研究是學(xué)界的研究熱點，已引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，最大次序統(tǒng)計量對應(yīng)著并聯(lián)系統(tǒng)壽命。近年來，很多學(xué)者在獨立假設(shè)下研究次序統(tǒng)計量，如：文獻[7]探討了相互獨立不同分布的樣本次序統(tǒng)計量在故障率序下的隨機比較性質(zhì)，并得到了兩個獨立具有指數(shù)分布的部件并聯(lián)系統(tǒng)的故障率的上界； 文獻[8]研究了多個相互獨立具有不同指數(shù)分布的部件并聯(lián)系統(tǒng)故障率的性質(zhì)，并得到了多個不同的指數(shù)分布部件并聯(lián)系統(tǒng)故障率的上界，該上界優(yōu)于文獻[7]得到的。更多的結(jié)果，可參見文獻[9]。

文獻[10]在相依假設(shè)下研究了兩個部件的并聯(lián)、串聯(lián)系統(tǒng)的隨機比較性質(zhì)。在兩部件服從Marshall-Olkin指數(shù)分布條件下，研究了兩個部件的并聯(lián)、串聯(lián)系統(tǒng)在故障率序意義下的隨機比較性質(zhì)。

設(shè)(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12),λ1，λ2，λ12>0。由元件X1,X2組成并聯(lián)系統(tǒng)壽命X(2)=max(X1,X2)，則X(2)的生存函數(shù)

(3)

X(2)密度函數(shù)

f(2)(t)=(λ1+λ12)e-(λ1+λ12)t+(λ2+λ12)e-(λ2+λ12)t-λe-λt，t>0，

(4)

其中λ=λ1+λ2+λ12。

引理1[10]設(shè)(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)，(Y1,Y2)～BVE(γ1,γ2,γ12)，λ1≤γ1≤γ2≤λ2，λ1+λ2≤γ1+γ2，λ12≤γ12。X(2)=max(X1,X2),Y(2)=max(Y1,Y2)， 則Y(2)≤hrX(2)。

本文對引理1做了部分推廣，證明了在一定條件下,引理1在似然比序意義下仍然成立。并考慮了部件服從廣義二維Marshall-Olkin分布時,并聯(lián)系統(tǒng)的隨機序、增凹序的隨機比較性質(zhì)。

文中，均假設(shè)隨機變量非負，分布函數(shù)是絕對連續(xù)的，具有概率密度函數(shù)， 文中提到“單調(diào)增加”均指“單調(diào)不降”， “單調(diào)下降”均指“單調(diào)不增”。

1 二維Marshall-Olkin指數(shù)分布并聯(lián)系統(tǒng)似然比序性質(zhì)

本節(jié)將研究具有二維Marshall-Olkin指數(shù)分布的相依部件組成的并聯(lián)系統(tǒng)的似然比序性質(zhì),有下面的定理1。

定理1 設(shè)(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)，(Y1,Y2)～BVE(γ1,γ2,γ12)，X(2)=max(X1,X2)，Y(2)=max(Y1,Y2)。設(shè)λ1=γ1=λ2=γ2，λ12<γ12，λ1，λ2，λ12,γ1,γ2,γ12>0，則Y(2)≤lrX(2)。

由定義3,只要證明

H(t)=[2(a+λ)e-(a+λ)t-(2a+λ)e-(2a+λ)t]/[2(a+μ)e-(a+μ)t-(2a+μ)e-(2a+μ)t]

(5)

關(guān)于t單調(diào)增即可。

計算得：t>0，[g(2)(t;a,μ)]2H′(t)=(μ-λ)e-(μ-λ)t[(2a+2λ)(2a+2μ)-(6a2+6aλ+6aμ+4λμ)e-at+(2a+λ)(2a+μ)e-2at] 。

令y=e-at，A=(2a+λ)(2a+μ)，B=-(6a2+6aλ+6aμ+4λμ)，C=(2a+2λ)(2a+2μ)。由于λ<μ，只需證：

?y∈(0,1],J(y)=Ay2+By+C≥0

(6)

即可。

令y0=-(B/2A)=[3a2+3aλ+3aμ+2λμ]/[(2a+λ)(2a+μ)]。

ⅰ)當(dāng)y0≥1，因為J(0)=C>0，計算得J(1)=A+B+C=λμ>0，所以，?y∈(0,1]，J(y)≥0。

ⅱ)當(dāng)0

J(y0)=C-[B2/(4A)]=4(a+λ)(a+μ)-[(6a2+6aλ+6aμ+4λμ)2]/[4(2a+λ)(2a+μ)]≥4(a+λ)(a+μ)-(2a+λ)(2a+μ)=2aλ+2aμ+3λμ>0,所以，?y∈(0,1]，均有J(y)>0。故式(6)成立,從而式(5)關(guān)于t單調(diào)增,定理1得證。

注1 定理1中,λ1,λ2,γ1,γ2,λ12,γ12滿足的條件是引理1條件的加強特殊情形,這時定理1的結(jié)論比引理1強。

命題1 設(shè)(X1,X2)～BVE(λ1,λ2,λ12)，(Y1,Y2)～BVE(γ1,γ2,γ12)，X(2)=max(X1,X2)，Y(2)=max(Y1,Y2)。有：1) 當(dāng)λ1<γ1=γ2=λ2，λ12=γ12，不能得出Y(2)≤lrX(2)；2)當(dāng)λ1<γ1，λ1+λ2=γ1+γ2，λ12=γ12，不能得出Y(2)≤lrX(2)。

證明由式(4)，Y(2)≤lrX(2)?[(λ1+λ12)e-(λ1+λ12)t+(λ2+λ12)e-(λ2+λ12)t-(λ1+λ2+λ12)e-(λ1+λ2+λ12)t]/[(γ1+γ12)e-(γ1+γ12)t+(γ2+γ12)e-(γ2+γ12)t-(γ1+γ2+γ12)e-(γ1+γ2+γ12)t]關(guān)于t>0單調(diào)不降。

?I(y)=[(λ1+λ12)yλ1+λ12+(λ2+λ12)yλ2+λ12-(λ1+λ2+λ12)yλ1+λ2+λ12]/[(γ1+γ12)yγ1+γ12+

(γ2+γ12)yγ2+γ12-(γ1+γ2+γ12)yγ1+γ2+γ12]

(7)

關(guān)于y∈(0,1]單調(diào)不增，其中y=e-t。

1)當(dāng)λ1=0.4,γ1=γ2=λ2=0.7，λ12=γ12=0.6，從圖1可以看出，I(y)關(guān)于y∈(0,1]先單調(diào)降后單調(diào)增，利用式(7)，不成立Y(2)≤lrX(2)。

2)當(dāng)λ1=0.4,γ1=0.5,λ2=0.6,γ2=0.5，λ12=γ12=0.7，從圖2可以看出，I(y)關(guān)于y∈(0,1]先單調(diào)降后單調(diào)增，利用式(7)，不成立Y(2)≤lrX(2)。

注2 命題1中，λ1,λ2,γ1,γ2,λ12,γ12均滿足引理1的條件，但是引理1的結(jié)論不能加強為Y(2)≤lrX(2)。

2 廣義的二維Marshall-Olkin分布并聯(lián)系統(tǒng)隨機比較

在隨機序、增凹序意義下,本節(jié)討論了具有廣義二維Marshall-Olkin分布的并聯(lián)系統(tǒng)的隨機比較性質(zhì)。

下面介紹引理2、引理3，可參見文獻[6]。

引理2 設(shè)X1,…,Xn和Y1,…,Yn分別是相互獨立的隨機變量,且Xi≤stYi,i=1,…,n，則對任意n元單調(diào)不減函數(shù)(即對每一變元都是單調(diào)不減的)ψ，有ψ(X1,…,Xn)≤stψ(Y1,…,Yn)。

引理3 設(shè)X1,…,Xn和Y1,…,Yn分別是相互獨立的隨機變量,且Xi≤cvYi,i=1,…,n，則對任意n元單調(diào)不減凹函數(shù)f(即對每一變元都是單調(diào)不減和凹的),有f(X1,…,Xn)≤cvf(Y1,…,Yn)。

為了研究并聯(lián)系統(tǒng)的隨機序性質(zhì)，先證明引理4。

2)X(2)=min{max(S1,S2),S3}。

2)證明略。

引理5 1) 設(shè)f(x1,x2)=max(x1,x2)，則f(x1,x2)是關(guān)于每個變量xi(i=1,2)單調(diào)不降凸函數(shù)；2)設(shè)g(x1,x2)=min{x1,x2}，則g(x1,x2)關(guān)于是每個變量xi(i=1,2)單調(diào)不降凹函數(shù)。

2)固定

是關(guān)于x1單調(diào)不降凹函數(shù)，同理可證，固定x1,g(x1,x2)關(guān)于x2單調(diào)不降凹函數(shù)。

關(guān)于部件具有廣義Marshall-Olkin分布的并聯(lián)系統(tǒng)，有如下的隨機序性質(zhì)，即定理2。

定理2 設(shè)S1,S2,S3相互獨立,T1,T2,T3相互獨立。(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3),(Y1,Y2)～GMO(T1,T2,T3)，Si≤stTi，i=1,2,3。令X(2)=max(X1,X2)，Y(2)=max(Y1,Y2)，則X(2)≤stY(2)。

證明令f(x1,x2)=max(x1,x2)，因為Si≤stTi，i=1,2。由引理2得：

max(S1,S2)=f(S1,S2)≤stf(T1,T2)=max(T1,T2)。

(8)

因S3≤stT3，且max(S1,S2)與S3相互獨立，max(T1,T2)與T3相互獨立。令g(x1,x2)=min{x1,x2}，由引理3、引理4及式(8)得：X(2)=min(max(S1,S2),S3)=g(max(S1,S2),S3)≤stg(max(T1,T2),T3)=min(max(T1,T2),T3)=Y(2)。定理2得證。

定理3 設(shè)S1,S2,S3相互獨立，T1,T2,T3相互獨立。(X1,X2)～GMO(S1,S2,S3)，(Y1,Y2)～GMO(T1,T2,T3)，Si≤stTi，i=1,2，S3≤icvT3。令X(2)=max(X1,X2)，Y(2)=max(Y1,Y2)，則X(2)≤icvY(2)。

證明令f(x1,x2)=max(x1,x2)，因為Si≤stTi，i=1,2。由引理2得： max(S1,S2)=f(S1,S2)≤

stf(T1,T2)=max(T1,T2)。從而有 max(S1,S2)≤icvmax(T1,T2)。

又因為S3≤icvT3，且max(S1,S2)與S3相互獨立，max(T1,T2)與T3相互獨立，因為g(x1,x2)=min{x1,x2}是關(guān)于每個變量xi(i=1,2)單調(diào)不降凹函數(shù)。由引理4的2)得：X(2)=min(max(S1,S2),S3)≤icvmin(max(T1,T2),T3)=Y(2)，定理3得證。

[1]MARSHALL A W,OLKIN I.A generalized bivariate exponential distribution[J].J Appl Prob,1967,4:291-302.

[2]曹晉華.可靠性數(shù)學(xué)引論[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]LI X,PELLEREY F.Generalized Marshall-Olkin distributions and related bivariate aging properties[J].Journal of Multivariate Analysis,2011,102:1399-1409.DOI：10.1016/j.jmva.2011.05.006.

[4]MüLLER A,STOYAN D.Comparison methods for stochastic models and risks[M].Chichester:Wiley,West Sussex,2002.

[5]SHAKED M,SHANTHIKUMAR J G.Stochastic orders and their applications[M].New York:Academic Press,1994.

[6]鄧永錄.隨機模型及其應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社,1994.

[7]BOLAND P J,EL-NEWEIHI E,PROSCHAN F.Applications of the hazard rate ordering in reliability and order statistics[J].Journal of Applied Probability,1994,31(1):180-192.DOI:10.2307/3215245.

[8]KHALEDI B E,KOCHAR S.Some new results on stochastic comparisons of parallel systems[J].Journal of Applied Probability,2000,37(4):1123-1128.DOI:10.1239/jap/1014843091.

[9]BALAKRISHNAN N,ZHAO P.Ordering properties of order statistics from heterogeneous populations:a review with an emphasis on some recent developments[J].Probability in the Engineering and Informational Science,2013,27(4):403- 443.

[10]JOO S,MI J.Some properties of hazard rate functions of systems with two components[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2010,140(2):445- 451.DOI:10.1016/j.jspi.2009.07.023.