分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程的時(shí)間分裂算法

，

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分的計(jì)算是一個(gè)古老而新鮮的研究領(lǐng)域，特別是近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階偏微分方程在數(shù)學(xué)，生物，化學(xué)，醫(yī)學(xué)，控制理論，信號(hào)和圖像處理，以及物理中的應(yīng)用受到越來(lái)越廣泛的關(guān)注。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分算子在很多地方比整數(shù)階微分算子更貼近實(shí)際，如分?jǐn)?shù)階微分算子具有的非局限性，使得它能較好地用于描述事物的記憶性以及遺傳性質(zhì)。在數(shù)值計(jì)算方面，由于分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解或者很難顯式給出，或者含有特殊函數(shù)，使其計(jì)算相當(dāng)困難。所以，用數(shù)值方法模擬其解是一個(gè)自然的想法，也使得分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值解法成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)之一，很多學(xué)者對(duì)此也已取得了一定的研究成果，如：文獻(xiàn)[1-2]對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散問(wèn)題，用G-L逼近建立了向前Euler差分格式和加權(quán)差分格式，并分析了兩種差分格式的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[3-4]對(duì)慢擴(kuò)散方程初邊值問(wèn)題建立了幾個(gè)隱式差分格式，并分析了差分格式的穩(wěn)定性和收斂性；文獻(xiàn)[5]對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值離散，分析了差分格式的逼近誤差，并用Fourier方法分析了所得差分格式的無(wú)條件穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[6]對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程提出在時(shí)間方向采用有限差分，在空間方向采用譜方法，并證明了時(shí)間方向上(2-α)階收斂，而空間方向上具有譜精度；文獻(xiàn)[7]對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，用換元法將一個(gè)高階方程轉(zhuǎn)化成低階擴(kuò)散方程組來(lái)逼近并構(gòu)造其差分格式，且嚴(yán)格證明了時(shí)間方向上的收斂階為(2-α)階。

作為經(jīng)典的Schr?dinger方程，其數(shù)值解法一直是學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)之一，由應(yīng)用而擴(kuò)展出的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程，也有不少成果，如：文獻(xiàn)[8]針對(duì)線性分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程提出了配點(diǎn)法；文獻(xiàn)[9]對(duì)Hartree方程提出了時(shí)間分裂擬譜法。這些研究主要集中在線性方程，對(duì)分?jǐn)?shù)階非線性微分方程還沒(méi)有太多的數(shù)值解法，文獻(xiàn)[10]通過(guò)能量方法研究了分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程光滑解的整體唯一性；文獻(xiàn)[11]則對(duì)耦合非線性分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程給出了Crank-Nicolson(C-N)格式。

本文利用分裂算法來(lái)研究一維分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程，將原方程分裂成一個(gè)線性方程和一個(gè)非線性方程。對(duì)線性方程采用C-N格式離散，其中Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)-(-Δx)α/2u采用了中心差分算子近似。對(duì)非線性方程利用其“點(diǎn)點(diǎn)守恒”的特性可精確求解。本文提供了一種分步計(jì)算方法，首先證明了該分裂算法在離散意義下保持了原方程所具有的質(zhì)量及能量守恒性，也證明了格式的收斂性和穩(wěn)定性，收斂精度為二階精度，且無(wú)條件穩(wěn)定。最后利用數(shù)值例子驗(yàn)證了質(zhì)量及能量的守恒性及收斂精度，理論和數(shù)值都表明，該方法是一個(gè)簡(jiǎn)單有效且守恒的新的算法。

1 分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程

本文考慮如下分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程初邊值問(wèn)題：

(1)

u(x,0)=u0(x),a≤x≤b,

(2)

u(a,t)=u(b,t)=0, 0

(3)

(4)

引理1[13]設(shè)u(x,t)是問(wèn)題(1)～(3)的解，問(wèn)題(1)～(3)具有質(zhì)量守恒Q(t)和能量守恒E(t)兩個(gè)守恒律。

Q(t)=Q(0), 0≤t≤T，E(t)=E(0), 0≤t≤T。

(5)

一個(gè)算法的好壞，除了精度、收斂速度、穩(wěn)定性問(wèn)題之外，還有一個(gè)很重要的指標(biāo)，即構(gòu)造的格式是否很好地模擬了原方程具有的特性，如守恒性。

2 時(shí)間分裂算法

2.1 記號(hào)

引理2 對(duì)于0<α≤2，Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)-(-Δx)α/2u中心差分算子定義[2]如下：

因?yàn)楫?dāng)x∈(-∞,a)∪(b,+∞)時(shí)，u*(x,t)=0，從而

(6)

(7)

2.2 分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程時(shí)間分裂方法

對(duì)于分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程，采用時(shí)間分裂方法。 對(duì)時(shí)間變量從t=tn到t=tn+1，將式(1)分裂為兩個(gè)方程來(lái)進(jìn)行分步計(jì)算。

第一步是計(jì)算線性方程

i?tu(x,t)-(-Δx)α/2u(x,t)=0,a

(8)

其滿足齊次邊界條件式(3)。

第二步是計(jì)算非線性方程

(9)

(10)

即

(11)

對(duì)式(9)在(tn,t)上積分，并利用式(11)得

u(x,t)=eiq|u(x,tn)| 2(t-tn)u(x,tn),a

(12)

對(duì)線性方程式(8)，考慮如下的Crank-Nicolson差分格式，并利用引理1得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(15)改寫成

(18)

記μ=τ/(2hα)，式(18)也可寫成(I+iμCx)U(2)=(I-iμCx)U(1)的矩陣表示形式，于是對(duì)式(1)可建立如下時(shí)間為二階的分步計(jì)算格式：

(19)

(I+iμCx)U(2)=(I-iμCx)U(1)，

(20)

(21)

(22)

(23)

2.3 分裂算法解的守恒性

該分裂算法是一個(gè)守恒的格式，即在離散意義下滿足質(zhì)量和能量守恒這一原方程的特性。由Cx的性質(zhì)可知(I+iμCx)可逆，于是

U(2)=(I+iμCx)-1(I-iμCx)U(1)=HU(1)，

(24)

其中H∶=(I+iμCx)-1(I-iμCx)。

引理4 矩陣H是酉矩陣(H*為H的酉共軛矩陣)。

證明因?yàn)镃x對(duì)稱，(I+iμCx)-1與(I-iμCx)可交換，H*=(I-iμCx)*((I+iμCx)-1)*=(I+iμCx)((I+iμCx)*)-1=(I+iμCx)(I-iμCx)-1=(I-iμCx)-1(I+iμCx)，所以HH*=I，故H是酉矩陣。

(25)

2.4 分裂算法的收斂性

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

圖1和圖2分別表明了α各種取值狀態(tài)下的質(zhì)量值和能量值，從圖1和圖2可以看出，其質(zhì)量值Qk和能量值Ek基本保持了一個(gè)數(shù)值，且質(zhì)量值Qk與α的取值無(wú)關(guān)，而能量值Ek則與α相關(guān)，與理論完全相吻合，同時(shí)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)取得較大。

對(duì)于分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程，取q=1，從圖3和圖4可以看出，該數(shù)值格式也保持了質(zhì)量和能量的守恒。同時(shí)注意到，該計(jì)算格式是在取得步長(zhǎng)較大的情況下進(jìn)行模擬的，數(shù)值結(jié)果仍然保持了非常好的穩(wěn)定性，這也很好地說(shuō)明了該格式的優(yōu)越性。

對(duì)于非線性方程，取時(shí)間區(qū)間為[0,1]，α分別取1.3，1.6及2，計(jì)算相同時(shí)間步長(zhǎng)及空間步長(zhǎng)下能量的誤差值及誤差的階，階的計(jì)算公式為：order=log2(e(τ1,h1)/e(τ2,h2))。從表1中可以看出階的精度達(dá)到O(h2+τ2)，完全符合理論結(jié)果。由表1還可以看出，隨著α值的增加，階的精度在提高，表明其收斂階與α有關(guān)，具體需進(jìn)一步研究討論。

表1 T=1，q=1時(shí)不同的α，τ，h計(jì)算出的能量誤差

αh=0．2，τ=0．2h=0．1，τ=0．1h=0．05，τ=0．051．3eEOrder1．229548e-014．279556e-021．52261．451656e-021．59361．6eEOrder7．481111e-02 1．630393e-022．19803．502252e-032．21892．0eEOrder3．549441e-02 3．954015e-033．16624．641902e-043．0905

4 結(jié)論

本文對(duì)分?jǐn)?shù)階非線性Schr?dinger方程構(gòu)造了一個(gè)守恒的數(shù)值格式，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)利用中心差分算子進(jìn)行了離散，利用二階時(shí)間分裂算法將一非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一線性子問(wèn)題和一可精確求解的非線性子問(wèn)題。從數(shù)值實(shí)例中也可以看出，該方法簡(jiǎn)單有效，并保證了原方程的質(zhì)量守恒和能量守恒，且可以取大步長(zhǎng)的，無(wú)條件穩(wěn)定的，其精度為二階精度。該方法不僅適用于一維問(wèn)題，而且多維問(wèn)題及耦合分?jǐn)?shù)階非線性方程也可以采用該算法進(jìn)行數(shù)值模擬。下一步將繼續(xù)深入研究，致力于尋找更高效率、高精度的數(shù)值解法。

[1]YUSTE S B.Weighted average finite difference method for fractional diffusion equations[J].Comput Phys,2006,216:264-274.DOI:10.1016/j.jcp.2005.12.006.

[2]YUSTE S B,ACEDO L.An explicit finite difference method and a new von Neumann-type satability analysis for fractional diffusion equations[J].SIAM J Numer Ana,2005,42:1862-1874.DOI:10.1137/030602666.

[3]CHEN C M,LIU F,ANH V,et al.Numerical schemes with high spatial accuracy for a variable-order anomalous subdiffusion equations[J].SIAM J Sci Comput,2010,32:1740-1760.DOI:10.1137/090771715.

[4]ZHUANG P,LIU F,ANH V,et al.New solution and analytical techniques of the implicit numerical method for the anomalous subdiffusion equations[J].SIAM J Numer Anal,2008,46:1079-1095.DOI:10.1137/060673114.

[5]LANGLANDS T A M,HENRY B I.The accuracy and stablility of an implicit solution mehod for the fractional diffusion equations[J].Comput Phys,2005,205:719-736.DOI:10.1016/j.jcp.2004.11.025.

[6]LIN Y M,XU C J.Finite difference/spectral approximation for the time fractional diffusion equations[J].Comput Phys,2007,2(3):1533-1552.DOI:10.1016/j.jcp.2007.02.001.

[7]SUN Z,WU X.A fully discrete difference scheme for a diffusion-wave system[J].Appl Numer Math,2006,56(2):193-209.DOI:10.1016/j.apnum.2005.03.003.

[9]BAO W Z,DONG X C.Numerical mathods for computing guound state and dynamics of nonlinear relativestic Hartree equation for boson stars[J].J Comut Phys,2011,230:5449-5469.DOI:10.1016/j.jcp.2011.03.051.

[10]郭柏靈，蒲學(xué)科，黃鳳輝.分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[11]WANG D L,XIAO G A,YANG W.Crank-Nicolson difference scheme for the coupled nonlinear Schr?dinger equation with Riesz space fractional derivative[J].J Comput Phys,2013,242:670-681.DOI:10.1016/j.jcp.2013.02.037.

[12]孫志忠，高廣花.分?jǐn)?shù)階微分方程的有限差分方法 [M].北京：科學(xué)出版社，2015.

[13]WANG D L,XIAO A G,YANG W.A linearly implicit conservative difference scheme for the space fractional coupled nonlinear Schr?dinger equations[J].Comput Phys,2014,272:644-655.DOI:10.1016/j.jcp.2014.04.047.