ARIMA乘積季節(jié)模型在財政收入預(yù)測中的應(yīng)用

蔣澤迪，程毛林

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

財政收入是衡量一個國家綜合經(jīng)濟(jì)實力的重要指標(biāo)之一，是國家制定相關(guān)經(jīng)濟(jì)政策的重要參考標(biāo)準(zhǔn)之一。對財政收入進(jìn)行提前預(yù)測，有利于國家對未來的財政支出作出更加合理的預(yù)算，有利于國家制定與未來經(jīng)濟(jì)走勢更加吻合的經(jīng)濟(jì)財政政策。國家財政季度收入是隨著時間變化的一組隨機數(shù)字序列，序列的整體變化呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。因此，可以利用時間序列分析方法，對國家財政季度收入建立模型，利用建立的模型對未來的財政季度收入進(jìn)行預(yù)測。

文中介紹了ARIMA乘積季節(jié)模型的基本知識，通過乘積季節(jié)模型對2004年第一季度至2016年第三季度的中國國家財政收入的季度數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，利用建立的模型對未來國家財政的季度收入進(jìn)行預(yù)測，得到了未來國家財政季度收入的預(yù)測值，可以為國家制定合理的財政政策提供一定的參考。

1 ARIMA乘積季節(jié)模型結(jié)構(gòu)與建模步驟

ARMA模型是由美國學(xué)者博克斯（George Box）和英國統(tǒng)計學(xué)家詹金斯（Gwilym Jenkins）共同建立的，也稱為博克斯-詹金斯法，簡稱B-J法[1]。ARMA模型主要的組成部分包括了AR自回歸模型與MA移動平均模型。

1.1 ARIMA 模型[2－3]結(jié)構(gòu)

如果時間序列{Yt}是一個非平穩(wěn)序列，通過對其進(jìn)行d階的差分運算，可以使其成為一個平穩(wěn)的時間序列，那么就稱{Yt}是一個具有階p，d，q的求和自回歸移動平均模型（ARIMA），模型的結(jié)構(gòu)為

其中，▽d=（1-B）d，B 為后移算子，BYt＝Y(jié)t－1，▽為差分運算，▽＝（1-B），d 為差分階數(shù)，Φ（B）＝1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，φ1，φ2，…，φp為自回歸系數(shù)，Θ（B）＝1-θ1B-θ2B2-…θqBq，θ1，θ2，…，θq為移動平均系數(shù)，E（εt）＝0，Var（εt）＝σt2，?s≤t，E（Yt·εt）＝0。

1.2 乘積季節(jié)ARIMA模型[4-5]結(jié)構(gòu)

季節(jié)性時間序列的典型特征主要表現(xiàn)為在時間間隔為周期長度S的兩個時間點上的隨機變量有相對較

其中，D 是非負(fù)整數(shù)，▽SD=（1-BS）D，S 為季節(jié)性周期，D 為季節(jié)性差分階數(shù)，▽S=1-BS為季節(jié)差分算子，U（BS）=1-Γ1BS-Γ2B2S-…-ΓPBPS，Γ1，Γ2，…，ΓP為季節(jié)自回歸系數(shù)，V（BS）＝1-H1BS-H2B2S-…-HQBQS，H1，H2，…，HQ為季節(jié)移動平均系數(shù)。

如果假設(shè) εt是 ARIMA（p，d，q）模型，那么（1）式可以改寫為

稱（2）式為乘積季節(jié) ARIMA 模型[2]，其中，Φ（B）＝1-φ1B-φ2B2-…-φpBp，U（BS）=1-Γ1BS-Γ2B2S-…-ΓPBPS，▽d=（1-B）d，▽SD=（1-BS）D，Θ（B）＝1-θ1B-θ2B2-…θqBq，V（BS）＝1-H1BS-H2B2S-…-HQBQS。

1.3 建模的基本步驟

（1）數(shù)據(jù)的獲取：通過國家統(tǒng)計局網(wǎng)站獲得2004年到2016年的國家財政收入的相關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)過計算和處理得到2004年第一季度到2016年第三季度的國家財政收入的季度數(shù)據(jù)，建立財政收入的時間序列；

（2）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗及處理：利用ADF單位根檢驗的方法，對時間序列進(jìn)行單位根檢驗，確定序列是否為平穩(wěn)的時間序列，如果序列是非平穩(wěn)的時間序列，則需要對原序列進(jìn)行普通差分和季節(jié)差分[6]，使其成為平穩(wěn)的時間序列；

（3）模型的識別與建立：利用Box-Jenkins方法對乘積季節(jié)模型的階數(shù)和模型的參數(shù)進(jìn)行估計，通過觀察時間序列的自相關(guān)、偏自相關(guān)函數(shù)的截尾或者拖尾特性，確定模型的參數(shù)p、d、P、D；

（4）模型的檢驗與診斷：對建立模型的殘差序列進(jìn)行診斷，判斷殘差序列是否是白噪聲序列，如果殘差序列不是白噪聲序列，則需要對已經(jīng)建立的模型進(jìn)行修改，重新建立模型；

（5）預(yù)測：利用已經(jīng)建立的模型對序列在未來某個時刻的取值進(jìn)行預(yù)測，比較預(yù)測值與實際值的相對誤差[7－8]，如果相對誤差小于5%，則說明已經(jīng)建立的模型的預(yù)測精度比較高，對未來的預(yù)測值比較準(zhǔn)確。強的相關(guān)性。如果時間序列{Yt}是一個季節(jié)性時間序列，關(guān)于{Yt}的季節(jié)性模型結(jié)構(gòu)為

2 模型的建立

2.1 數(shù)據(jù)來源

文中的財政數(shù)據(jù)來源于中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站，通過對歷年財政收入（億元）的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算與處理，得到了2004年第一季度到2016年第三季度的中國國家財政收入的51個季度數(shù)據(jù)，將51個季度數(shù)據(jù)構(gòu)成的時間序列記為X。

2.2 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗和處理[9]

通過軟件Eviews8.0對數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗，將由2004年第一季度到2016年第三季度的中國國家財政收入的51個季度數(shù)據(jù)所構(gòu)成的時間序列X導(dǎo)入到Eviews8.0[10－11]中，對序列X做對數(shù)處理，記為Y=log（X），生成新的序列Y，對序列Y作出時間序列折線圖（圖1）。通過對Y序列折線圖的觀察，可以發(fā)現(xiàn)序列Y具有趨勢性和季節(jié)性波動。采用ADF單位根檢驗的方法對序列Y進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗（圖2），通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，檢驗t統(tǒng)計量的值為-2.729 691，大于顯著性水平為5%的臨界值-2.928 142。因此，認(rèn)為序列Y存在著單位根，是非平穩(wěn)序列。

圖1 Y序列的時間序列折線圖

圖2 Y序列的ADF單位根檢驗結(jié)果

所以，下面對序列Y做一階差分處理，記為DY，對DY采用ADF單位根檢驗的方法進(jìn)行檢驗，如圖3?？梢杂^察到t統(tǒng)計量的值為-3.210 999，小于顯著性水平在5%的臨界值-2.928 142，對應(yīng)的概率為0.025 8，小于0.05，所以認(rèn)為序列DY不存在單位根，是平穩(wěn)的序列。通過對DY的自相關(guān)和偏自相關(guān)分析圖（圖4）的觀察，可以發(fā)現(xiàn)，序列DY的趨勢基本消除，但季節(jié)性依舊存在。

為了消除序列DY的季節(jié)性影響，需要對序列DY做一階季節(jié)差分，記為SDY，繪制序列SDY的自相關(guān)和偏自相關(guān)分析圖（圖5）。由圖觀察發(fā)現(xiàn)，序列SDY的季節(jié)性基本消除，采用ADF單位根檢驗的方法對SDY進(jìn)行單位根檢驗（圖6）。從圖6中可以看出，統(tǒng)計量t的值為-5.367 031，小于顯著性水平1%的臨界值-3.592 462，對應(yīng)的概率為0.000 1，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05，所以SDY是平穩(wěn)序列。

圖3 序列DY的ADF單位根檢驗結(jié)果

圖4 時間序列DY的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

圖5 時間序列SDY的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

圖6 序列SDY的ADF單位根檢驗結(jié)果

2.3 模型的識別與建立

筆者發(fā)現(xiàn)序列Y經(jīng)過一階差分和一階季節(jié)差分之后，序列的周期性和季節(jié)性基本消除，所以d=1，D=1。由圖5可以知道，s=4的時候，偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為0，所以選擇P=1。自相關(guān)系數(shù)顯著不為0，所以選擇Q=1，初步判斷ARIMA乘積季節(jié)模型為（p，1，q）×（1，1，1）4。 根據(jù)對圖 5 關(guān)于 SDY 的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖的觀察，可以發(fā)現(xiàn)SDY的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖都是拖尾的，結(jié)合ARMA（p，q）模型定階的基本原則，主要考慮的模型[12－13]為 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4，ARIMA（4，1，3）×（1，1，1）4，ARIMA（3，1，3）×（1，1，1）4。 模型選擇之后，就要對選擇的模型的參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗，并且根據(jù)AIC準(zhǔn)則選擇最優(yōu)模型。三個模型的參數(shù)估計結(jié)果分別如圖7，圖8和圖9，比較三個模型的參數(shù)檢驗結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4為最優(yōu)模型，AIC=-2.795 602為最小的，SC值也比較小，R2值達(dá)到了最大，所以選擇第一個模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4是合適的。

圖 7 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4

圖 8 ARIMA（4，1，3）×（1，1，1）4

圖 9 ARIMA（3，1，3）×（1，1，1）4

根據(jù)圖 7 可以得到模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的參數(shù)估計，從而得到模型的擬合方程為

2.4 模型的檢驗與診斷[14-15]

通過模型的識別與建立，筆者選擇了模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4作為最佳模型。 現(xiàn)在對模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4進(jìn)行殘差檢驗，如果殘差為白噪聲序列，說明已經(jīng)建立的模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4包含了原始序列的所有趨勢，提取了原始數(shù)據(jù)中所包含的信息，則模型通過適應(yīng)性檢驗。如果殘差序列不是白噪聲序列，那么說明模型還需要改建，需要重新進(jìn)行模型的識別和建立。對模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的殘差序列進(jìn)行檢驗，作出模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（圖10），如圖所示。殘差序列的各滯后階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于零；對殘差序列進(jìn)行單位根檢驗，檢驗結(jié)果如圖11。檢驗t統(tǒng)計量的值為-6.542 360，小于顯著性水平為1%的臨界值，殘差序列為白噪聲序列，所以 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4模型通過了殘差檢驗，該模型可以很好的擬合時間序列的變化趨勢。

圖10 殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖

圖11 殘差序列的ADF單位根檢驗結(jié)果

表1 財政收入預(yù)測數(shù)值與實際數(shù)值的比較

2.5 預(yù)測

通過運用已經(jīng)建立的 ARIMA （4，1，4）×（1，1，1）4模型進(jìn)行預(yù)測。將預(yù)測的數(shù)值進(jìn)行指數(shù)變換，即可得到2015年第一季度到2017年第三季度的財政收入季度數(shù)據(jù)的預(yù)測數(shù)值，并將預(yù)測數(shù)值與實際數(shù)值進(jìn)行比較分析，結(jié)果如表1所示。同時，通過模型可以得到X時間序列的所有預(yù)測值，畫出時間序列X的真實值和模型預(yù)測值的時間序列圖（如圖 12）。

通過對表1的觀察可以發(fā)現(xiàn)，將2015年第一季度到2016年第三季度的預(yù)測數(shù)值與實際數(shù)值進(jìn)行比較，相對誤差都在 5%以內(nèi)，說明模型 ARIMA（4，1，4）×（1，1，1）4的擬合效果比較好。同時，由圖12可以看出X序列的真實數(shù)值和預(yù)測數(shù)值的變化趨勢基本一致，預(yù)測數(shù)值與實際數(shù)值基本吻合。所以，文中建立的模型的擬合效果比較好，預(yù)測精度比較高。

圖12 X序列真實值和預(yù)測值

3 結(jié)語

通過對2004年第一季度到2016年第三季度的財政收入數(shù)據(jù)進(jìn)行時間序列分析，運用Eviews8.0軟件進(jìn)行探究財政收入趨勢性和季節(jié)性的內(nèi)在變化規(guī)律，建立 ARIMA 乘積季節(jié)模型 ARIMA（4，1，4）（1，1，1）4。該模型很好的擬合了財政收入季度數(shù)據(jù)時間序列的趨勢性和季節(jié)性，可以在短期內(nèi)預(yù)測國家的財政收入，對政府制定相應(yīng)的宏觀經(jīng)濟(jì)政策和財政政策都具有一定的參考意義。

[1]易丹輝.時間序列分析方法與應(yīng)用[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011：48-54.

[2]史代敏，謝小燕.應(yīng)用時間序列分析[M].北京：高等教育出版社，2011：138-142.

[3]薛冬梅.ARIMA模型及其在時間序列分析中的應(yīng)用[J].吉林化工學(xué)院學(xué)報，2010，27（3）：80-83.

[4]王黎明，王連，楊楠.應(yīng)用時間序列分析[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2012：156-185.

[5]GEORGE E P BOX，JENKINS G M.Time Series Analysis：Forecasting and Control[M].San Francisco：Holden 2 day，2005.

[6]王燕.應(yīng)用時間序列分析[M].2版.北京：中國人民大學(xué)出版社，2008.

[7]BROCKWELL P J，DAVIS R A.時間序列的理論與方法[M].田錚，譯.北京：高等教育出版社，2001.

[8]何書元.應(yīng)用時間序列分析[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.

[9]劉曉宏，金丕煥，陳啟明.ARIMA模型中時間序列平穩(wěn)性的統(tǒng)計檢驗方法及應(yīng)用[J].中國衛(wèi)生統(tǒng)計，1998，15（3）：12-4.

[10]李嫣怡，劉榮，丁維岱.EViews統(tǒng)計分析與應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2013：295-305.

[11]樊歡歡，劉榮.Eviews統(tǒng)計分析與應(yīng)用[M].2版.北京：機械工業(yè)出版社，2014：138-167.

[12]CHRISTODOULOS CHARISIOS，MICHALAKELIS CHRISTOS，VAROUTAS DIMITRIS.Forecasting with limited data：Combining ARIMA and diffusion models[J].Technological Forecasting and Social Change，2010，77（4）：558-565.

[13]梁鑫.乘積季節(jié)模型在商品房市場中的應(yīng)用研究[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報，2006，23（2）：8-12.

[14]BOWERMAN B L，O'CONNELL R T.Forecasting and TimeSeries：An Applied Approach[M].3th ed.Beijing：China Ma2chine Press，2003：117-156.

[15]王振龍，胡永宏.應(yīng)用時間序列分析[M].北京：科學(xué)出版社，2007.