二元Kundu-Gupta型幾何分布參數(shù)的最大似然估計(jì)

李建峰，李國安

（寧波大學(xué) 金融工程系，浙江 寧波 315211）

0 引言

Freund于1961年在文獻(xiàn)[1]中引入了一類二元指數(shù)分布，其二元分布結(jié)構(gòu)稱之為Freund型。Marshall和Olkin于1967年在文獻(xiàn)[2]中基于沖擊模型提出了一類二元指數(shù)分布，其二元分布結(jié)構(gòu)稱之為Marshall-Olkin型。Sun和Basu在文獻(xiàn)[3]中獲得了二元Marshall-Olkin型幾何分布的一個特征。Basu和Dhar在文獻(xiàn)[4]中討論了二元Marshall-Olkin型幾何分布的概率統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。Krishna和Pundir在文獻(xiàn)[5]中討論了二元Marshall-Olkin型幾何分布在可靠性模型中的應(yīng)用。Dhar在文獻(xiàn)[6]中用二元Freund型幾何分布進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，并給出了參數(shù)估計(jì)。Li和Dhar在文獻(xiàn)[7]中提出了一類二參數(shù)二元幾何分布。李國安和李建峰在文獻(xiàn)[8]中提出了一類新的二參數(shù)二元幾何分布，并拓展至多元形式。Kundu和Gupta在文獻(xiàn)[9]中提出了二元一般指數(shù)分布，并給出了參數(shù)估計(jì)。其二元隨機(jī)變量的構(gòu)造為雙maximun型混合結(jié)構(gòu)，稱之為Kundu-Gupta型。在本文中引入二元Kundu-Gupta型幾何分布，根據(jù)參數(shù)的可識別性說明參數(shù)的可估計(jì)性，先討論二元Kundu-Gupta型幾何分布的參數(shù)的識別性，然后討論二元Kundu-Gupta型幾何分布的參數(shù)估計(jì)。在1978年，Basu和Ghosh在文獻(xiàn)[10]中討論了二元分布函數(shù)參數(shù)的識別性，并完整地解決了二元正態(tài)分布參數(shù)的識別性。本文從二元分布參數(shù)的識別性著手，導(dǎo)出了二元Kundu-Gupta型幾何分布的識別特征，由此說明了總體(X，Y)與對應(yīng)識別總體(U，I)的等價性，并得到了基于來自總體(U，I)之樣本的參數(shù)的最大似然估計(jì)。

1 二元Kundu-Gupta幾何分布的識別性

二元Kundu-Gupta型幾何分布定義如下：

定義1：稱(X，Y)服從二元Kundu-Gupta型幾何分布，是指當(dāng)且僅當(dāng)存在三個相互獨(dú)立的服從幾何分布的隨機(jī)變量U1，U2，U3，其中U1～G(p1)，U2～G(p2)，U3～G(p3)；使得X=max(U1，U3) ，Y=max(U2，U3) ，記 作 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)。記 p=1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)。

引理 1：若 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)，則 U 的分布函數(shù)為：

證明：

引理2：若 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)，則 (U，I)的聯(lián)合生存分布為：

得(U，I)的聯(lián)合生存分布：

定 理 1：若 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3) ，(X′，Y′)～BGD，若已知U與U′同分布，則所有參數(shù)皆不可識別。

證明：略。

定 理 2：若 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3) ，(X′，Y′)～BGD若已知 (U，I)與 (U′，I′)同分布，則所有參數(shù)皆可識別。

證明：由

2 二元Kundu-Gupta型幾何分布的參數(shù)估計(jì)

引理3：若(X，Y)服從二元Kundu-Gupta型幾何分布，則(X，Y)～BGD(p1，p2，p3)當(dāng)且僅當(dāng)(U，I)的聯(lián)合生存分布為：

證明：略

由此可見：來自總體 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)的樣本與來自對應(yīng)總體(U，I)的樣本等價，從引理3出發(fā)，直接獲得了所有參數(shù)的最大似然估計(jì)。

定理 3：設(shè) (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)是總體，(X1，Y1)，...，(Xn，Yn)是來自總體(X，Y)的容量為 n的樣本，記Ui=max(Xi，Yi)，定義隨機(jī)變量 Ii=1，2，3 分別對應(yīng)于 Xi>Yi，Yi>Xi，Xi=Yi時，i=1，...，n ，(U1，I1)，...，(Un，In)是來自總體(U，I)的容量為n的樣本，則參數(shù) p1，p2，p3的最大似然估計(jì)分別為以下方程的解：

證明：似然函數(shù)為：

并有似然方程：

記：

則有：

因此，在參數(shù)空間(0,1)上，似然方程有唯一解。

注記：上述方程只有隱式解，需通過數(shù)值計(jì)算及模擬，才能得到參數(shù)估計(jì)的近擬值

3 模擬分析

選取 p1=0.3，p2=0.6，p3=0.9；得到模擬，結(jié)果見表1所示。

表1 二元隨機(jī)變量 (X，Y)～BGD(p1，p2，p3)之隨機(jī)數(shù)的模擬結(jié)果

由模擬分析可知：僅是U的分布已知時，所有參數(shù)皆不可識別，當(dāng)(U，I)的分布已知時，所有參數(shù)皆可識別，即所有參數(shù)皆可估計(jì)。

[1]Freund J E.A Bivariate Extension of the Exponential Distribution[J].Amer.Statist.Assoc.,1961,(56).

[2]Marshall A W,Olkin I.A Multivariate Exponential Distribution[J].Am?er.Statist.Assoc.,1967,62(1).

[3]Sun K,Basu A P.A Characterization of a Bivariate Geometric Distribu?tion[J].Statist.Probab.Lett,1995,(23).

[4]Basu A P,Dhar S K.Bivariate Geometric Distribution[J].Appl.Statist.Sci.1995,(2).

[5]Krishna H,Pundir P S.A Bivariate Geometric Distribution With Appli?cations to Reliability[J].Communications in Statistics-Theory and Methods,2009,38(7).

[6]Dhar S K.Data Analysis With Discete Analogue of Freund's Model[J].J.Appl.Statist.Sci.1998,(7).

[7]Li J,Dhar S K.Modeling With a Bivariate Geometric Distribution[J].Communications in Statistics-Theory and Methods,2013,42(2).

[8]李國安,李建峰.一個新的二參數(shù)二元幾何分布及其多元推廣[J].寧波大學(xué)學(xué)報(bào),2017,30(1).

[9]Kundu D,Gupta R D.Bivariate Generalized Exponential Distributions[J].Journal of Multivariate Analysis,2009,(100).

[10]Basu A P,Ghosh J K.Identifiability of the Multinorma and Other Dis?tributions Under Competing Risks Model[J].Journal of Multivariate Analysis,1978,8(3).